隨機變數與機率分配 間斷機率分配 聯合機率分配 期望值與變異數 共變異數與相關係數 2019/5/23 間斷機率分配 隨機變數與機率分配 間斷機率分配 聯合機率分配 期望值與變異數 共變異數與相關係數 2001/10/30 間斷機率分配 間斷機率分配

隨機變數 在很多隨機實驗中，通常我們只對實驗的某些情況有興趣，而這些情況通常是與數字有關的。為了用數字表達這些情況，我們就引進了隨機變數的觀念。 例如： 丟銅板2次的實驗，我們不會去注意結果是{HT}或是{TH}，我們只會注意這2次實驗當中，有幾次是正面（或反面）的。也就是說，我們只會注意丟2次銅板中出現正面的次數。（這與數字有關） 如果令 X 表丟2次銅板中出現正面的次數，在統計上，我們稱 X 為一隨機變數。 2001/10/30 間斷機率分配

隨機變數 為什麼叫隨機變數？ 因為每次實驗的結果不是可預期的，為隨機的情況。 因為實驗結果每次都不一定相同，故為一種變數。 每一次丟兩次銅板出現正面的次數，都不能預期。 因為實驗結果每次都不一定相同，故為一種變數。 這一次丟兩次銅板出現正面的次數，與下一次兩次銅板出現正面的次數，不一定相同。 2001/10/30 間斷機率分配

隨機變數 定義：隨機變數（random variable, r.v.） 隨機變數為一函數 將樣本空間的樣本點對應至一實數 X：S → R 2019/5/23 隨機變數 定義：隨機變數（random variable, r.v.） 隨機變數為一函數 將樣本空間的樣本點對應至一實數 X：S → R 2001/10/30 間斷機率分配 間斷機率分配

隨機變數 例：投銅板兩次 X：表示出現正面的次數 S → R（變量） 2001/10/30 間斷機率分配

隨機變數 例：投銅板兩次 X：表示出現正面的次數 S → R（變量） （正，正） → 2 2001/10/30 間斷機率分配

隨機變數 例：投銅板兩次 X：表示出現正面的次數 S → R（變量） （正，正） → 2 （正，反） ↘ （反，正） → 1 （正，正） → 2 （正，反） ↘ （反，正） → 1 2001/10/30 間斷機率分配

隨機變數 例：投銅板兩次 X：表示出現正面的次數 S → R（變量） （正，正） → 2 （正，反） ↘ （反，正） → 1 （正，正） → 2 （正，反） ↘ （反，正） → 1 （反，反） → 0 2001/10/30 間斷機率分配

隨機變數 例：投銅板兩次 X：表示出現正面的次數 S → R（變量） （正，正） → 2 （正，反） ↘ （反，正） → 1 （正，正） → 2 （正，反） ↘ （反，正） → 1 （反，反） → 0 事件 [X=1] 相當於事件 [（正，反）,（反，正） ] 通常大寫的X(Y)表隨機變數，小寫的x(y)表其變量 2001/10/30 間斷機率分配

隨機變數 例：投銅板四次 X：表示出現正面的次數 樣本空間？（以正反表示） 變量有哪些？（以數字表示） 2019/5/23 隨機變數 例：投銅板四次 X：表示出現正面的次數 樣本空間？（以正反表示） 變量有哪些？（以數字表示） [X=1] 對應於樣本空間有幾個樣本點？ P(X=1)=？ [X=2] 對應於樣本空間有幾個樣本點？ P(X=2)=？ 2001/10/30 間斷機率分配 間斷機率分配

隨機變數 例：投銅板四次 X：表示出現正面的次數 樣本空間？（以正反表示） 變量有哪些？（以數字表示） 2019/5/23 隨機變數 例：投銅板四次 X：表示出現正面的次數 樣本空間？（以正反表示） （反反反反，反反反正，反反正反，反反正正，等等）共16點。 變量有哪些？（以數字表示） 0,1,2,3,4 [X=1] 對應於樣本空間有幾個樣本點？ （反反反正，反反正反，反正反反，正反反反）共四點。 P(X=1)=4/16=1/4。 2001/10/30 間斷機率分配 間斷機率分配

隨機變數 [X=2] 對應於樣本空間有幾個樣本點？ P(X=2)=6/16=3/8 （反反正正，反正反正，反正正反，正反反正，正反正反，正正反反）共六點。 P(X=2)=6/16=3/8 2001/10/30 間斷機率分配

隨機變數 種類 間斷隨機變數(discrete r.v.) 連續隨機變數(continuous r.v.) 2019/5/23 隨機變數 種類 間斷隨機變數(discrete r.v.) 若一隨機變數的變量的個數有限，或無限但可數則稱此隨機變數為間斷隨機變數 骰子點數，高速公路車禍次數 連續隨機變數(continuous r.v.) 若一隨機變數的變量的個數無限且不可數，則稱此隨機變數為連續隨機變數 身高，體重 2001/10/30 間斷機率分配 間斷機率分配

2019/5/23 隨機變數的機率分配 例：投公正銅板兩次，X 表示出現正面的次數。 2001/10/30 間斷機率分配 間斷機率分配

隨機變數的機率分配 例：投公正銅板兩次，X 表示出現正面的次數。 2019/5/23 隨機變數的機率分配 例：投公正銅板兩次，X 表示出現正面的次數。 這就稱為隨機變數 X 的機率分配(probability distribution)。 描述隨機變數之變量出現情況的一種機制。 底下我們針對間斷隨機變數的機率分配來做介紹。 2001/10/30 間斷機率分配 間斷機率分配

間斷隨機變數的機率分配 間斷隨機變數的機率分配： f(x) = P(X=x) 丟銅板兩次的例子： 若 f(x) 為一間斷 r.v. X 的機率分配，則 f(x) = P(X=x) 描寫一間斷 r.v. X在 X= x 時的機率 丟銅板兩次的例子： f(1)=P(X=1)=0.5 有著X的變量與其發生的機率。 表示的方式可以是圖、表或函數。 2001/10/30 間斷機率分配

間斷隨機變數的機率分配 表格表示法 圖形表示法： 0.5 1 2 2001/10/30 間斷機率分配

間斷隨機變數的機率分配 函數表示法 2001/10/30 間斷機率分配

間斷隨機變數的機率分配 F(x) = P (X ≦ x) 累積機率分配(cumulative probability distribution) F(x) = P (X ≦ x) 丟銅板兩次的例子 2001/10/30 間斷機率分配

間斷隨機變數的機率分配 F(x) = P (X ≦ x) 累積機率分配(cumulative probability distribution) F(x) = P (X ≦ x) 丟銅板兩次的例子 2001/10/30 間斷機率分配

間斷隨機變數的機率分配 F(x) = P (X ≦ x) 累積機率分配(cumulative probability distribution) F(x) = P (X ≦ x) 丟銅板兩次的例子 2001/10/30 間斷機率分配

間斷隨機變數的機率分配 F(x) = P (X ≦ x) 累積機率分配(cumulative probability distribution) F(x) = P (X ≦ x) 丟銅板兩次的例子 2001/10/30 間斷機率分配

間斷隨機變數的機率分配 例：若 f(x) 為 r.v. X 的機率分配 P(X=3)=？ P(X≦3)=？ P(1≦X≦3)=？ 2019/5/23 間斷隨機變數的機率分配 例：若 f(x) 為 r.v. X 的機率分配 P(X=3)=？ P(X≦3)=？ P(1≦X≦3)=？ P(1.5≦X≦3)=？ x 1 2 3 4 f(x) 0.5 0.2 0.15 0.1 0.05 2001/10/30 間斷機率分配 間斷機率分配

間斷隨機變數的機率分配 例：若 f(x) 為 r.v. X 的機率分配 P(X=3)=f(3)=0.1 2019/5/23 間斷隨機變數的機率分配 例：若 f(x) 為 r.v. X 的機率分配 P(X=3)=f(3)=0.1 P(X≦3)=f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0.95=F(3) =1-P(X>3)=1-P(X=4)=1-f(4) P(1≦X≦3)=f(1)+f(2)+f(3)=0.45 P(1.5≦X≦3)=f(2)+f(3)=0.25 x 1 2 3 4 f(x) 0.5 0.2 0.15 0.1 0.05 2001/10/30 間斷機率分配 間斷機率分配

間斷機率分配的性質 性質： 0≦f(x) ≦ 1 Σf(x) = 1（因為全部的可能性為1） P(a≦X≦b) = Σa≦x≦bP(X=x) = Σa≦x≦bf(x) P(X≦a) = 1 – P(X>a) F(x) = P(X ≦ x) =Σy≦xf(y) （累積機率函數） F(b)-F(a) = P(a<X ≦ b) 2001/10/30 間斷機率分配

間斷機率分配的性質 P(X≦a) =？ P(X<a) P(a≦X≦b) =? P(a < X ≦ b) 看 a 這一點的機率值, f(a), 而定。若 X 在 a 這點沒有機率值，f(a)=0，則等式成立。否則不成立。 例如例三中，P(X ≦ 2.5) = P(X < 2.5)。因為f(2.5)=P(X=2.5)=0。 P(a≦X≦b) =? P(a < X ≦ b) 同理。看 a 這一點的機率值而定。 2001/10/30 間斷機率分配

間斷機率分配的性質 例：若 r.v. X 的機率分配如下: Y=X+3 的機率分配為何? Z=4X的機率分配為何? M=X2 的機率分配為何? x 20 40 60 f(x) 0.5 0.25 2001/10/30 間斷機率分配

間斷機率分配的性質 Y=X+3 的機率分配。 x 20 40 60 f(x) 0.5 0.25 y 23 43 63 2001/10/30

間斷機率分配的性質 Y=X+3 的機率分配。 Z=4X的機率分配。 x 20 40 60 f(x) 0.5 0.25 y 23 43 63 80 160 240 2001/10/30 間斷機率分配

間斷機率分配的性質 Y=X+3 的機率分配。 Z=4X的機率分配。 M=X2 的機率分配。 x 20 40 60 f(x) 0.5 0.25 23 43 63 z 80 160 240 m 400 1600 3600 2001/10/30 間斷機率分配

間斷機率分配的性質 例：若 r.v. X 的機率分配如下: M=X2 的機率分配為何? x -1 1 2 3 f(x) 0.2 0.1 1 2 3 f(x) 0.2 0.1 0.15 0.35 2001/10/30 間斷機率分配

間斷機率分配的性質 M=X2 的機率分配。 x -1 1 2 3 f(x) 0.2 0.1 0.15 0.35 m 4 9 1 2 3 f(x) 0.2 0.1 0.15 0.35 m 4 9 2001/10/30 間斷機率分配

間斷機率分配的性質 M=X2 的機率分配。 x -1 1 2 3 f(x) 0.2 0.1 0.15 0.35 m 4 9 m 1 4 9 1 2 3 f(x) 0.2 0.1 0.15 0.35 m 4 9 m 1 4 9 f(m) 0.1 0.35 0.2 2001/10/30 間斷機率分配

間斷機率分配的含意 以前有資料時，不管是母體資料或樣本資料。當我們想要瞭解這群資料的一些特性時，我們可以去做一些統計圖表。 如今，我們想做理論的探討，引進了隨機變數的觀念。也有描述此隨機變數變量出現的可能性的機率分配。 隨機變數的機率分配與以前的統計圖表有沒有一些關係？ 2001/10/30 間斷機率分配

間斷機率分配的含意 間斷隨機變數的機率分配就是母體資料的相對次數分配表。 例如某學校一年級學生有300位，二年級學生有300位，三年級學生有250位，四年級學生有150位。 在該校學生中隨機抽一人，令X表該生的年級數。則X為一間斷隨機變數。X的機率分配為 x 1 2 3 4 f(x) 0.3 0.25 0.15 2001/10/30 間斷機率分配

間斷機率分配的含意 間斷隨機變數的機率分配就是母體資料的相對次數分配表。 例如某學校一年級學生有300位，二年級學生有300位，三年級學生有250位，四年級學生有150位。 在該校學生中隨機抽一人，令X表該生的年級數。則X為一間斷隨機變數。X的機率分配為 這也就是母體資 料的相對次數分 配表 x 1 2 3 4 f(x) 0.3 0.25 0.15 2001/10/30 間斷機率分配

間斷機率分配的含意 間斷隨機變數的機率分配也可以想做是，當我們做實驗無數遍之後，所得到的那一群資料的相對次數分配表。 想了解每天賣出車子的情況 記錄了100天之後，我們可以做出其相對次數分配表。 每天賣車的數量 1 2 3 4 次數 5 15 25 35 20 相對次數 0.05 0.15 0.25 0.35 0.2 2001/10/30 間斷機率分配

間斷機率分配的含意 令X表每天賣出的車子數目。 X 的機率分配？ 剛剛的相對次數分配表，就可以視為X的機率分配。 x 1 2 3 4 1 2 3 4 f(x) 0.05 0.15 0.25 0.35 0.2 2001/10/30 間斷機率分配

間斷機率分配的含意 令X表每天賣出的車子數目。 X 的機率分配？ 剛剛的相對次數分配表，就可以視為X的機率分配。 1 2 3 4 f(x) 0.05 0.15 0.25 0.35 0.2 2001/10/30 間斷機率分配

間斷機率分配的含意 我們可以由機率分配模擬產生資料。 例：令Y表示某一投資的獲利情況，若Y的機率分配如下： 投資一千次之後，這一千次的獲利情況為何？ 獲利20單位大約有幾次？ Y 20 40 60 f(y) 0.5 0.25 2001/10/30 間斷機率分配

間斷機率分配的含意 我們可以由機率分配模擬產生資料。 例：令Y表示某一投資的獲利情況，若Y的機率分配如下： 投資一千次之後，這一千次的獲利情況為何？ 獲利20單位大約有幾次？ Y 20 40 60 f(y) 0.5 0.25 次數 500 250 2001/10/30 間斷機率分配

聯合機率分配 到目前為止，我們都只考慮一個隨機變數的情況。但有很多情況，可能需要同時考慮兩個或兩個以上的隨機變數。 例如剛剛的投資獲利的例子，我們可能同時考慮： X：投資的獲利情況。 Y：基金種類 。 例如想瞭解某一產品銷售的市場情況，我們可能同時考慮： X：年齡層。 Y：性別。 2001/10/30 間斷機率分配

聯合機率分配 那如何同時形容這些隨機變數的變量組合發生的情況呢？ 聯合機率分配(joint probability distribution)。 2001/10/30 間斷機率分配

聯合機率分配 例：丟兩公正骰子，令X表示第一個骰子出現的點數，Y表示第二個骰子出現的點數。如何表現出X與Y聯合出現情況的可能性。 每一種組合出現的機率為1/36。 這種描寫兩個或兩個以上隨機變數之變量組合發生的可能性的機制，叫做聯合的機率分配。 2001/10/30 間斷機率分配

2019/5/23 聯合機率分配 2001/10/30 間斷機率分配 間斷機率分配

聯合機率分配 聯合間斷機率分配： 若 f(x,y) 為兩間斷 r.v. X，Y的聯合機率分配，則 f(x,y) = P(X=x,Y=y)。 描寫兩間斷 r.v.，在 (X,Y) = (x,y) 時的機率。 2001/10/30 間斷機率分配

聯合機率分配 邊際機率分配： marginal probability distribution. 若我們只考慮一個隨機變數的機率分配，為了與聯合機率分配有所區隔，我們把這個隨機變數的機率分配叫做邊際機率分配。 fx(x)=P(X=x)=Σyf(x,y) fy(y)=P(Y=y)=Σxf(x,y) 2001/10/30 間斷機率分配

2019/5/23 聯合機率分配 邊際機率分配，可由聯合機率分配得到。 2001/10/30 間斷機率分配 間斷機率分配

聯合機率分配 聯合機率分配與邊際機率分配都是機率分配。 聯合機率分配是針對兩個以上的隨機變數。 邊際機率分配是針對單一個隨機變數。 所以間斷機率分配的一些性質，聯合機率分配、邊際機率分配都有。 2001/10/30 間斷機率分配

聯合機率分配 獨立隨機變數： 若兩隨機變數的聯合機率分配等於個別邊際機率分配相乘，則稱這兩個隨機變數獨立（independent）。 f(x,y)=fx(x)fy(y) for all x,y 2001/10/30 間斷機率分配

聯合機率分配 例： 若間斷隨機變數 X,Y 的聯合機率分配為 f(x,y)=cxy, x=1,2,3,y=1,2,3 請問： 2019/5/23 聯合機率分配 例： 若間斷隨機變數 X,Y 的聯合機率分配為 f(x,y)=cxy, x=1,2,3,y=1,2,3 請問： 請問 c 為多少？ 請求出隨機變數X與Y的邊際機率分配？ X,Y 獨立嗎？ 2001/10/30 間斷機率分配 間斷機率分配

聯合機率分配 1 2 3 c 2c 3c 4c 6c 9c 2001/10/30 間斷機率分配

聯合機率分配 因為全部機率和為1。所以36c=1，可得c=1/36。 1 2 3 c 2c 3c 4c 6c 9c 2001/10/30 間斷機率分配

聯合機率分配 因為全部機率和為1。所以36c=1，可得c=1/36。 1 2 3 fY(y) 1/6 1/3 1/2 fx(x) 1/36 2/36 3/36 1/6 4/36 6/36 1/3 9/36 1/2 fx(x) 2001/10/30 間斷機率分配

聯合機率分配 因為全部機率和為1。所以36c=1，可得c=1/36。 因為f(x,y)=fX(x)*fY(y)對所有的x,y均成立。故X，Y獨立。 1 2 3 fY(y) 1/36 2/36 3/36 1/6 4/36 6/36 1/3 9/36 1/2 fx(x) 2001/10/30 間斷機率分配

聯合機率分配 例：兩隨機變數之聯合機率如下： 請求出隨機變數X與Y的邊際機率分配？ X,Y 獨立嗎？ 2001/10/30 間斷機率分配 2019/5/23 聯合機率分配 例：兩隨機變數之聯合機率如下： 請求出隨機變數X與Y的邊際機率分配？ X,Y 獨立嗎？ 2001/10/30 間斷機率分配 間斷機率分配

2019/5/23 聯合機率分配 2001/10/30 間斷機率分配 間斷機率分配

2019/5/23 聯合機率分配 不獨立 2001/10/30 間斷機率分配 間斷機率分配

聯合機率分配 例：假設一母體中有四個數字(1,2,3,4)，每個 數字被抽中的機會一樣。若由此一母體中，抽 兩個樣本（取後放回）。令 X 表第一個樣本之 數字，Y 表第二個樣本之數字。 則X與Y的聯合機率分配為何？ 求X＋Y的機率分配？ 若上述的抽樣方式改成不投返式，則X與Y 的聯合機率分配為何？ 2001/10/30 間斷機率分配

聯合機率分配 X與Y的聯合機率分配（投返式） 令 M=X＋Y y x 1 2 3 4 1/16 m 2 3 4 5 6 7 8 f(m) 2/16 3/16 4/16 2001/10/30 間斷機率分配

聯合機率分配 X與Y的聯合機率分配（不投返式） y x 1 2 3 4 1/12 2001/10/30 間斷機率分配

聯合機率分配 例子：若X與Y的聯合機率分配如下，求 X的機率分配 Y的機率分配 x 10 20 5 y f(x,y) 0.2 0.4 0.3 0.1 2001/10/30 間斷機率分配

聯合機率分配的期望值 X的機率分配 x 10 20 5 y f(x,y) 0.2 0.4 0.3 0.1 x 5 10 20 fx(x) 0.5 0.4 2001/10/30 間斷機率分配

聯合機率分配的期望值 Y的機率分配 x 10 20 5 y f(x,y) 0.2 0.4 0.3 0.1 y 10 20 fY(y) 0.7 2001/10/30 間斷機率分配

期望值 一間斷隨機變數 X 的期望值（expected value, mean）定義為 E(X)=μx 2001/10/30 間斷機率分配 2019/5/23 期望值 一間斷隨機變數 X 的期望值（expected value, mean）定義為 E(X)=μx 2001/10/30 間斷機率分配 間斷機率分配

期望值 一間斷隨機變數 X 的期望值（expected value, mean）定義為 E(X)=μx=Σxxf(x) 2019/5/23 期望值 一間斷隨機變數 X 的期望值（expected value, mean）定義為 E(X)=μx=Σxxf(x) 變量乘上他相對應的機率之和 2001/10/30 間斷機率分配 間斷機率分配

期望值 一間斷隨機變數 X 的期望值（expected value, mean）定義為 E(X)=μx=Σxxf(x) 2019/5/23 期望值 一間斷隨機變數 X 的期望值（expected value, mean）定義為 E(X)=μx=Σxxf(x) 變量乘上他相對應的機率之和 例：若隨機變數X的機率分配如下，則X的期望值為何？ X 20 40 60 f(x) 0.5 0.25 2001/10/30 間斷機率分配 間斷機率分配

期望值 一間斷隨機變數 X 的期望值（expected value, mean）定義為 E(X)=μx=Σxxf(x) 2019/5/23 期望值 一間斷隨機變數 X 的期望值（expected value, mean）定義為 E(X)=μx=Σxxf(x) 變量乘上他相對應的機率之和 例：若隨機變數X的機率分配如下，則X的期望值為何？ X 20 40 60 f(x) 0.5 0.25 xf(x) 10 15 35 2001/10/30 間斷機率分配 間斷機率分配

期望值的意義 例：一堆數字中有5個0， 15個1， 25個2， 35個3， 20個4。令X表從此堆數字中抽出的數字，則X的抽樣分配為： 請問這堆數字的平均數為何？ 請問X的期望值為何？ X 1 2 3 4 次數 5 15 25 35 20 f(x) 0.05 0.15 0.25 0.35 0.2 2001/10/30 間斷機率分配

期望值的意義 請問這堆數字的平均數 X 1 2 3 4 次數 5 15 25 35 20 f(x) 0.05 0.15 0.25 0.35 1 2 3 4 次數 5 15 25 35 20 f(x) 0.05 0.15 0.25 0.35 0.2 2001/10/30 間斷機率分配

期望值的意義 請問這堆數字的平均數 X 1 2 3 4 次數 5 15 25 35 20 f(x) 0.05 0.15 0.25 0.35 1 2 3 4 次數 5 15 25 35 20 f(x) 0.05 0.15 0.25 0.35 0.2 2001/10/30 間斷機率分配

期望值的意義 母體平均數的算法可視變量與其發生的機率的乘積的總和，這就是隨機變數X的期望值。 隨機變數的期望值可以想做母體平均數 2001/10/30 間斷機率分配

期望值的意義 例：令X表示某一投資的獲利情況，若X的機率分配如下。投資一千次之後，這一千次的平均獲利大概為何？ μ=(20*500+40*250+60*250)/1000=35 x 20 40 60 f(x) 0.5 0.25 次數 500 250 2001/10/30 間斷機率分配

期望值的意義 例：令X表示某一投資的獲利情況，若X的機率分配如下。投資一千次之後，這一千次的平均獲利大概為何？ μ=(20*500+40*250+60*250)/1000=35 =20*0.5+40*0.25+60*0.25=E(X) 隨機變數的期望值可以想做當你實驗多次之後那群資料的平均數。 x 20 40 60 f(x) 0.5 0.25 次數 500 250 2001/10/30 間斷機率分配

期望值的意義 需不需要真的去投資才知道平均獲利？ 剛剛算出投資一千次的平均獲利為35。請問投資一萬次之後的平均獲利為何？ 不需要。 剛剛算出投資一千次的平均獲利為35。請問投資一萬次之後的平均獲利為何？ 大概仍為35。 若已知機率分配，可以不需要真的做實驗（抽樣），就可以分析母體的某些特性。這就是有機率分配的好處。 2001/10/30 間斷機率分配

期望值的意義 隨機變數的期望值可以想做 期望值本身有平均的觀念 母體平均數 當你實驗多次之後那群資料的平均數。 2001/10/30 間斷機率分配

期望值的意義 例：X表示丟一不均勻骰子出現的點數 x 1 2 3 4 5 6 f(x) 0.1 0.3 0.2 2019/5/23 期望值的意義 例：X表示丟一不均勻骰子出現的點數 請問若你丟了一千次該骰子，會有一千的數字。請問這些數字的平均數大概應該會是多少？ E(X) 需不需要真的去丟？ 不需要。 x 1 2 3 4 5 6 f(x) 0.1 0.3 0.2 2001/10/30 間斷機率分配 間斷機率分配

期望值的性質 例：若隨機變數X的機率分配如下。 令Y=X+3，請問 Y 的期望值？ 令Z=4X，請問 Z 的期望值？ 令M=X2，請問 M 的期望值？ 先求M的機率分配為何？再經由此機率分配算期望值。 但須先求出機率分配才能算期望值嗎? x 20 40 60 f(x) 0.5 0.25 2001/10/30 間斷機率分配

期望值的性質 性質： E(c)=c E(g(X))= Σxg(x)f(x) E(X+b)=E(X)+b E(aX)=aE(X) 期望值為變量乘上相對應的機率之總和。 E(X2)= Σxx2f(x) E(X+b)=E(X)+b E(aX)=aE(X) 2001/10/30 間斷機率分配

期望值的性質 E(X+b)=E(X)+b 這個觀念與我們以前在算平均數的觀念一致。 以某班的考試分數為例，將每位同學加五分之後的平均成績（E(X+5)）為原始分數的平均成績再加五分（E(X)+5）。 2001/10/30 間斷機率分配

期望值的性質 E(aX)=aE(X) 這個觀念與我們以前在算平均數的觀念一致。 以某班的考試分數為例，將每位同學乘上五倍之後的平均成績（E(5X)）為原始分數的平均成績的五倍（5E(X)）。 2001/10/30 間斷機率分配

期望值的性質 例：若隨機變數X的機率分配如下。 令Y=X+3，請問 Y 的期望值？ 令Z=4X，請問 Z 的期望值？ E(Y)=E(X)+3 令Z=4X，請問 Z 的期望值？ E(Z)=4E(X) 令M=X2，請問 M 的期望值？ 須先求出機率分配才能算期望值。 x 20 40 60 f(x) 0.5 0.25 2001/10/30 間斷機率分配

變異數 一間斷隨機變數 X 的變異數（variance）定義為 V(X)=σ2x 2001/10/30 間斷機率分配 2019/5/23

變異數 一間斷隨機變數 X 的變異數（variance）定義為 V(X)=σ2x=E(X - μx )2 2001/10/30 間斷機率分配 2019/5/23 變異數 一間斷隨機變數 X 的變異數（variance）定義為 V(X)=σ2x=E(X - μx )2 2001/10/30 間斷機率分配 間斷機率分配

變異數 一間斷隨機變數 X 的變異數（variance）定義為 V(X)=σ2x=E(X - μx )2 =Σx(x-μx )2f(x) 2019/5/23 變異數 一間斷隨機變數 X 的變異數（variance）定義為 V(X)=σ2x=E(X - μx )2 =Σx(x-μx )2f(x) 2001/10/30 間斷機率分配 間斷機率分配

變異數 一間斷隨機變數 X 的變異數（variance）定義為 V(X)=σ2x=E(X - μx )2 2019/5/23 變異數 一間斷隨機變數 X 的變異數（variance）定義為 V(X)=σ2x=E(X - μx )2 =Σx(x-μx )2f(x)=E(X2)- (μx )2 2001/10/30 間斷機率分配 間斷機率分配

變異數 一間斷隨機變數 X 的變異數（variance）定義為 V(X)=σ2x=E(X - μx )2 2019/5/23 變異數 一間斷隨機變數 X 的變異數（variance）定義為 V(X)=σ2x=E(X - μx )2 =Σx(x-μx )2f(x)=E(X2)- (μx )2 X 20 40 60 f(x) 0.5 0.25 2001/10/30 間斷機率分配 間斷機率分配

變異數 一間斷隨機變數 X 的變異數（variance）定義為 V(X)=σ2x=E(X - μx )2 2019/5/23 變異數 一間斷隨機變數 X 的變異數（variance）定義為 V(X)=σ2x=E(X - μx )2 =Σx(x-μx )2f(x)=E(X2)- (μx )2 X 20 40 60 f(x) 0.5 0.25 xf(x) 10 15 35 2001/10/30 間斷機率分配 間斷機率分配

變異數 一間斷隨機變數 X 的變異數（variance）定義為 V(X)=σ2x=E(X - μx )2 2019/5/23 變異數 一間斷隨機變數 X 的變異數（variance）定義為 V(X)=σ2x=E(X - μx )2 =Σx(x-μx )2f(x)=E(X2)- (μx )2 X 20 40 60 f(x) 0.5 0.25 xf(x) 10 15 35 (x-μx )2 225 25 625 (x-μx )2 f(x) 112.5 6.25 156.25 275 2001/10/30 間斷機率分配 間斷機率分配

變異數 一間斷隨機變數 X 的變異數（variance）定義為 V(X)=σ2x=E(X - μx )2 2019/5/23 變異數 一間斷隨機變數 X 的變異數（variance）定義為 V(X)=σ2x=E(X - μx )2 =Σx(x-μx )2f(x)=E(X2)- (μx )2 X 20 40 60 f(x) 0.5 0.25 xf(x) 10 15 35 (x-μx )2 225 25 625 (x-μx )2 f(x) 112.5 6.25 156.25 275 x2 400 1600 3600 X2 f(x) 200 900 1500 2001/10/30 間斷機率分配 間斷機率分配

變異數 一間斷隨機變數 X 的變異數（variance）定義為 V(X)=σ2x=E(X - μx )2 2019/5/23 變異數 一間斷隨機變數 X 的變異數（variance）定義為 V(X)=σ2x=E(X - μx )2 =Σx(x-μx )2f(x)=E(X2)- (μx )2 X 20 40 60 f(x) 0.5 0.25 xf(x) 10 15 35 (x-μx )2 225 25 625 (x-μx )2 f(x) 112.5 6.25 156.25 275 x2 400 1600 3600 X2 f(x) 200 900 1500 1500-352=275 2001/10/30 間斷機率分配 間斷機率分配

變異數 例：下表為隨機變數 X 的機率分配， 求其標準差。 x 1 2 3 4 Sum f(x) 0.05 0.15 0.35 0.25 1 2 3 4 Sum f(x) 0.05 0.15 0.35 0.25 0.2 2001/10/30 間斷機率分配

變異數 例：下表為隨機變數 X 的機率分配， 求其標準差。 x 1 2 3 4 Sum f(x) 0.05 0.15 0.35 0.25 1 2 3 4 Sum f(x) 0.05 0.15 0.35 0.25 0.2 xf(x) 0.7 0.75 0.8 2.4=E(X) 2001/10/30 間斷機率分配

變異數 例：下表為隨機變數 X 的機率分配， 求其標準差。 x 1 2 3 4 Sum f(x) 0.05 0.15 0.35 0.25 1 2 3 4 Sum f(x) 0.05 0.15 0.35 0.25 0.2 xf(x) 0.7 0.75 0.8 2.4=E(X) x2 9 16 x2f(x) 1.4 2.25 3.2 7=E(X2) 2001/10/30 間斷機率分配

變異數 例：下表為隨機變數 X 的機率分配， 求其標準差。 x 1 2 3 4 Sum f(x) 0.05 0.15 0.35 0.25 1 2 3 4 Sum f(x) 0.05 0.15 0.35 0.25 0.2 xf(x) 0.7 0.75 0.8 2.4=E(X) x2 9 16 x2f(x) 1.4 2.25 3.2 7=E(X2) V(X)=7-2.42=1.24 σX=1.11 2001/10/30 間斷機率分配

變異數的意義 例：同前，令 X 表投資的獲利情況。請問投資一千次之後，一千次獲利情況的變異程度（投資一千次的風險） x 20 40 60 f(x) 0.5 0.25 2001/10/30 間斷機率分配

變異數的意義 例：同前，令 X 表投資的獲利情況。請問投資一千次之後，一千次獲利情況的變異程度（投資一千次的風險） x 20 40 60 f(x) 0.5 0.25 次數 500 250 2001/10/30 間斷機率分配

變異數的意義 例：同前，令 X 表投資的獲利情況。請問投資一千次之後，一千次獲利情況的變異程度（投資一千次的風險） {(20-35)2*500+(40-35)2*250+(60-35)2*250}/1000 x 20 40 60 f(x) 0.5 0.25 次數 500 250 2001/10/30 間斷機率分配

變異數的意義 例：同前，令 X 表投資的獲利情況。請問投資一千次之後，一千次獲利情況的變異程度（投資一千次的風險） {(20-35)2*500+(40-35)2*250+(60-35)2*250}/1000 = (20-35)2*0.5+(40-35)2*0.25+(60-35)2*0.25 =275=V(X) x 20 40 60 f(x) 0.5 0.25 次數 500 250 2001/10/30 間斷機率分配

變異數的意義 例：同前，令 X 表投資的獲利情況。請問投資一千次之後，一千次獲利情況的變異程度（投資一千次的風險） {(20-35)2*500+(40-35)2*250+(60-35)2*250}/1000 = (20-35)2*0.5+(40-35)2*0.25+(60-35)2*0.25 =275=V(X) 投資一萬次之後，風險如何？需不需要再算一遍？ x 20 40 60 f(x) 0.5 0.25 次數 500 250 2001/10/30 間斷機率分配

變異數的意義 隨機變數的變異數可以想做 此觀念與期望值一樣。 母體變異數 當你實驗多次之後那群資料的變異數。 2001/10/30 間斷機率分配

變異數的性質 例：若隨機變數X的機率分配如下。 令Y=X+3，請問 Y 的變異數？ 令Z=4X，請問 Z 的變異數？ 令M=X2，請問 M 的變異數？ 先求M的機率分配為何？再經由此機率分配算變異數。 需要先求機率分配，才能算變異數嗎？ x 20 40 60 f(x) 0.5 0.25 2001/10/30 間斷機率分配

變異數性質 公式： V(c)=0 V(X+b)=V(X) V(aX)=a2V(X) 2001/10/30 間斷機率分配

變異數的性質 例：若隨機變數X的機率分配如下。 令Y=X+3，請問 Y 的變異數？ 令Z=4X，請問 Z 的變異數？ V(Y)=V(X) 令Z=4X，請問 Z 的變異數？ V(Z)=16V(X) 令M=X2，請問 M 的變異數？ 需先求M的機率分配。 x 20 40 60 f(x) 0.5 0.25 2001/10/30 間斷機率分配

兩個隨機變數的期望值 期望值的算法： 例子：若X與Y的聯合機率分配如下，求 變量乘上他相對應的機率之和 E(XY)=？ E(X2Y)=？ x 10 20 y f(x,y) 0.4 0.6 2001/10/30 間斷機率分配

兩個隨機變數的期望值 期望值的算法： 例子：若X與Y的聯合機率分配如下，求 變量乘上他相對應的機率之和 E(XY)=200 10 20 y f(x,y) 0.4 0.6 xyf(x,y) 80 120 x2yf(x,y) 800 2400 2001/10/30 間斷機率分配

兩個隨機變數的期望值 例子：若X與Y的聯合機率分配如下，求 E(X), E(Y), E(XY), E(X+Y) x 10 20 5 y f(x,y) 0.2 0.4 0.3 0.1 2001/10/30 間斷機率分配

兩個隨機變數的期望值 E(X) 由聯合機率分配得到。 由邊際機率分配得到 x 10 20 5 y f(x,y) 0.2 0.4 0.3 0.1 xf(x,y) 2 8 3 0.5 13.5 x 5 10 20 fx(x) 0.1 0.5 0.4 x fx(x) 8 13.5 2001/10/30 間斷機率分配

兩個隨機變數的期望值 E(Y) 由聯合機率分配得到。 由邊際機率分配得到 x 10 20 5 y f(x,y) 0.2 0.4 0.3 0.1 yf(x,y) 4 3 2 13 y 10 20 fY(y) 0.7 0.3 13 2001/10/30 間斷機率分配

兩個隨機變數的期望值 E(XY) x 10 20 5 y f(x,y) 0.2 0.4 0.3 0.1 xyf(x,y) 40 80 30 由聯合機率分配得到。 x 10 20 5 y f(x,y) 0.2 0.4 0.3 0.1 xyf(x,y) 40 80 30 160 2001/10/30 間斷機率分配

兩個隨機變數的期望值 E(X+Y) x 10 20 5 y f(x,y) 0.2 0.4 0.3 0.1 (x+y)f(x,y) 6 12 由聯合機率分配得到。 x 10 20 5 y f(x,y) 0.2 0.4 0.3 0.1 (x+y)f(x,y) 6 12 2.5 26.5 2001/10/30 間斷機率分配

兩個隨機變數的期望值 性質： E(aX ± bY) = aE(X) ± bE(Y) E(XY)=？E(X)E(Y) 2001/10/30 間斷機率分配

共變異數 共變異數 衡量兩 r.v. X,Y 的直線關係 covariance 符號：Cov（X,Y）= σX,Y 算法： 2001/10/30 間斷機率分配

共變異數 共變異數 衡量兩 r.v. X,Y 的直線關係 covariance 符號：cov（X,Y）= σX,Y 算法： 2001/10/30 間斷機率分配

共變異數 例：若X與Y的聯合機率分配如下，求共變異數。(E(X)=13.5, E(Y)=13) x 10 20 5 y f(x,y) 0.2 0.4 0.3 0.1 2001/10/30 間斷機率分配

共變異數 例子：若X與Y的聯合機率分配如下，求共變異數。(E(X)=13.5, E(Y)=13) x 10 20 5 y f(x,y) 0.2 0.4 0.3 0.1 x-uX -3.5 6.5 -8.5 y-uY 7 -3 (x-ux)(y-uY)f(x,y) -4.9 -7.8 3.15 -5.95 -15.5 2001/10/30 間斷機率分配

共變異數 例：若X與Y的聯合機率分配如下，求共變異數。(E(X)=13.5, E(Y)=13) x 10 20 5 y f(x,y) 0.2 0.4 0.3 0.1 x-uX -3.5 6.5 -8.5 y-uY 7 -3 (x-ux)(y-uY)f(x,y) -4.9 -7.8 3.15 -5.95 -15.5 E(XY)-E(X)E(Y)=160-13.5*13=-15.5 2001/10/30 間斷機率分配

共變異數 意義： cov(X,Y) > 0 ：正相關 cov(X,Y) < 0 ：負相關 cov(X,Y) = 0 ：不相關 2001/10/30 間斷機率分配

共變異數 例：若X與Y的聯合機率分配如下，求下列之共變異數。(E(X)=13.5, E(Y)=13) cov(X+3, Y+4)=？ 10 20 5 y f(x,y) 0.2 0.4 0.3 0.1 2001/10/30 間斷機率分配

共變異數 cov(X+3, Y+4)=？ cov(3X,4Y)=？ 需要這麼麻煩嗎？ cov(X+3,Y+4)=E{(X+3)(Y+4)} – E(X+3)E(Y+4) cov(3X,4Y)=？ cov(3X,4Y)=E{(3X)(4Y)} – E(3X)E(4Y) 需要這麼麻煩嗎？ 2001/10/30 間斷機率分配

2019/5/23 共變異數 性質 2001/10/30 間斷機率分配 間斷機率分配

共變異數 cov(X+3, Y+4)=cov(X,Y)=-15.5 cov(3X,4Y)=3*4*cov(X,Y) =12*(-15.5)=-186 2001/10/30 間斷機率分配

共變異數 2001/10/30 間斷機率分配

共變異數 2001/10/30 間斷機率分配

共變異數 2001/10/30 間斷機率分配

相關係數 共變異數的缺點 相關係數(coefficient of correlation) 2019/5/23 相關係數 共變異數的缺點 沒有範圍。只能衡量r.v的正負向直線關係，不能衡量此直線關係的大小。 共變異數有單位，不能互相比較。 相關係數(coefficient of correlation) 2001/10/30 間斷機率分配 間斷機率分配

2019/5/23 相關係數 性質： 2001/10/30 間斷機率分配 間斷機率分配

相關係數 例： 若兩隨機變數 X 與 Y ， 有 X= 4Y 的關係。請問此兩隨機變數的相關係數為何？ 2001/10/30 間斷機率分配

相關係數 例： 若兩隨機變數 X 與 Y ， 有 X= 4Y 的關係。請問此兩隨機變數的相關係數為何？(1) 2001/10/30 間斷機率分配

相關係數 r 是樣本的相關係數 ρ是母體的相關係數 2001/10/30 間斷機率分配

獨立與不相關 兩r.v X,Y獨立(independent) 兩r.v X,Y不相關（uncorrelation, 沒有直線相關） 2019/5/23 獨立與不相關 兩r.v X,Y獨立(independent) 兩r.v X,Y不相關（uncorrelation, 沒有直線相關） 2001/10/30 間斷機率分配 間斷機率分配

獨立與不相關 例：若 r.v. X 與 Y 的聯合機率分配如下， 求cov(X,Y) X 與 Y 獨立嗎？ x y -2 2 0.5 4 2 0.5 4 0.25 2001/10/30 間斷機率分配

獨立與不相關 cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) =0-0*2=0 （不相關） 不獨立 x y -2 2 0.5 4 0.25 2 0.5 4 0.25 2001/10/30 間斷機率分配

獨立與不相關 兩r.v X,Y獨立(independent) 兩r.v X,Y不相關（uncorrelation, 沒有直線相關） 2019/5/23 獨立與不相關 兩r.v X,Y獨立(independent) 兩r.v X,Y不相關（uncorrelation, 沒有直線相關） 2001/10/30 間斷機率分配 間斷機率分配

獨立與不相關 若r.v X,Y 不相關 則 2001/10/30 間斷機率分配

兩個隨機變數之期望值與變異數 性質 E(X ± Y)=E(X) ± E(Y) V(aX ± bY)=a2V(X) + b2V(Y) ± 2abCov(X,Y) 若X，Y不相關 E(XY)=E(X)E(Y) V(aX ± bY)=a2V(X)+b2V(Y) 2001/10/30 間斷機率分配

兩個隨機變數之期望值與變異數 例：有三個隨機變數X1、X2、X3，其期望值均為μ，標準差均為σ。若此三個隨機變數獨立，求 2001/10/30 間斷機率分配

兩個隨機變數之期望值與變異數 2001/10/30 間斷機率分配

2019/5/23 例子 兩隨機變數之聯合機率如下： 2001/10/30 間斷機率分配 間斷機率分配

兩個隨機變數之期望值與變異數 例：有三個隨機變數X1、X2、X3，其期望值均為μ，標準差均為σ。若此三個隨機變數獨立，求 2001/10/30 間斷機率分配

2019/5/23 例子 兩隨機變數之聯合機率如下： 2001/10/30 間斷機率分配 間斷機率分配

例子 E(X),E(Y) E(X2),E(Y2),E(2X),E(X2+2X),E(X+Y),E(XY) E[(X+Y)2] V(X),V(Y),V(X2) V(X+Y) Cov(X,Y), Cov(3X,2Y) E(X-3Y+2),V(X-3Y+2) 2001/10/30 間斷機率分配

例子 有兩個均勻骰子A，B。今將A骰子上的偶數點改為1，並將B骰子上的4,5,改成6。現獨立的擲這兩個骰子，令X表擲A骰子的點數，Y表擲B骰子的點數。求 X與Y的聯合機率分配。 X的期望值與變異數。 Y的期望值與變異數。 X＋Y的期望值與變異數。 min(X,Y) 的機率分配。 2001/10/30 間斷機率分配

例子 某產品每週不良品退回工廠之數量 X 的機率分配如下： 求退回數量 X 的期望值與變異數。 如果更換一件不良品的成本為400元，求每週更換的期望成本。 x 1 2 3 4 f(x) 0.25 0.3 0.1 0.05 2001/10/30 間斷機率分配

例子 某袋中有3個綠球，4個黑球，3個白球。今自袋中以不投返式抽取三球。令X表示取出的紅球數，Y表示取出的黑球數。求 X與Y的聯合機率分配。 P(1≦X≦2, Y=1) 2001/10/30 間斷機率分配

隨機變數與機率分配 間斷機率分配 聯合機率分配 期望值與變異數 共變異數與相關係數 2019/5/23 間斷機率分配 隨機變數與機率分配 間斷機率分配 聯合機率分配 期望值與變異數 共變異數與相關係數 2001/10/30 間斷機率分配 間斷機率分配