第七章 FIR数字滤波器的设计方法 IIR数字滤波器： FIR数字滤波器： 可以利用模拟滤波器设计 但相位非线性 离散时间信号—序列 可以严格线性相位，又可任意幅度特性 因果稳定系统 可用FFT计算 但阶次比IIR滤波器要高得多

学习目标 掌握线性相位FIR数字滤波器的特点 掌握窗函数设计法 理解频率抽样设计法 了解设计FIR滤波器的最优化方法 理解IIR与FIR数字滤波器的比较

一、线性相位FIR滤波器的特点 FIR滤波器的单位冲激响应： 系统函数： 在 z 平面有N –1 个零点

1、线性相位条件 h(n)为实序列时，其频率响应： 线性相位是指 是 的线性函数 即群延时 是常数 第一类线性相位： 第二类线性相位：

第一类线性相位：

第一类线性相位 的充要条件： n = (N – 1) /2 为h(n)的偶对称中心

第二类线性相位 的充要条件： n = (N – 1) /2 为h(n)的奇对称中心

2、线性相位FIR滤波器频率响应的特点 由 系统函数：

1）h(n)偶对称 频率响应： 相位函数： 为第一类线性相位

2）h(n)奇对称 频率响应： 相位函数： 为第二类线性相位

3、幅度函数的特点 1）h(n)偶对称，N为奇数 幅度函数：

其中：

其中：

2）h(n)偶对称，N为偶数 幅度函数：

其中：

其中：

故不能设计成高通、带阻滤波器

3）h(n)奇对称，N为奇数 幅度函数：

其中：

其中：

4）h(n)奇对称，N为偶数 幅度函数：

其中：

其中：

h(n)为奇对称时，有900相移，适用于微分器和900移相器，而选频滤波器采用h(n)为偶对称时

4、零点位置 由 得： 1）若 z = zi 是H(z)的零点，则 z = zi-1 也是零点 2）h(n)为实数，则零点共轭成对 线性相位滤波器的零点是互为倒数的共轭对 即共轭成对且镜像成对

1） 零点：

2） ，即零点在单位圆上 零点：

3） ，即零点在实轴上 零点：

4） 即零点既在实轴上，又在单位圆上 零点：

二、窗函数设计法 1、设计方法 w(n)：窗函数序列 要选择合适的形状和长度

以低通滤波器为例讨论： 线性相位理想低通滤波器的频率响应： 其理想单位抽样响应： 中心点为 α 的偶对称无限长非因果序列

取矩形窗： 则FIR滤波器的单位抽样响应： 按第一类线性相位条件，得

加窗处理后对频率响应的影响： 时域乘积相当于频域卷积 而矩形窗的频率响应：

理想滤波器的频率响应： 其幅度函数： 则FIR滤波器的频率响应：

幅度函数：

加窗函数的影响： 不连续点处边沿加宽形成过渡带，其宽度（两肩峰之间的宽度）等于窗函数频率响应的主瓣宽度。 在 处出现肩峰值，两侧形成起伏振 荡，振荡的幅度和多少取决于旁瓣的幅度和多少 改变N只能改变窗谱的主瓣宽度，但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例。其相对比例由窗函数形状决定，称为Gibbs效应

2、各种窗函数 窗函数的要求： 窗谱主瓣尽可能窄以获得较陡的过渡带 尽量减少窗谱最大旁瓣的相对幅度 以减小肩峰和波纹

矩形窗 窗谱： 幅度函数： 主瓣宽度最窄： 旁瓣幅度大

三角形（Bartlett）窗 窗谱： 幅度函数： 主瓣宽度宽： 旁瓣幅度较小

汉宁（Hanning）窗 （升余弦窗） 幅度函数： 主瓣宽度宽： 旁瓣幅度小

海明（Hamming）窗 （改进的升余弦窗） 幅度函数： 主瓣宽度宽： 旁瓣幅度更小

布莱克曼（Blackman）窗 （二阶升余弦窗） 幅度函数： 主瓣宽度最宽： 旁瓣幅度最小

凯泽（Kaiser）窗 ：第一类变形零阶 贝塞尔函数

阻带最小衰减只由窗形状决定 过渡带宽则与窗形状和窗宽N都有关 窗函数 窗谱性能指标 加窗后滤波器性能指标 矩形窗 三角形窗 汉宁窗 海明窗 旁瓣峰值 /dB 主瓣宽度 过渡带宽 阻带最小衰减 矩形窗 三角形窗 汉宁窗 海明窗 布拉克曼窗 凯泽窗 -13 -25 -31 -41 -57 2 4 6 0.9 2.1 3.1 3.3 5.5 5 -21 -44 -53 -74 -80 阻带最小衰减只由窗形状决定 过渡带宽则与窗形状和窗宽N都有关

3、窗函数法的设计步骤 给定理想的频率响应函数 及技术指标 求出理想的单位抽样响应 根据阻带衰减选择窗函数 根据过渡带宽度确定N值 求所设计的FIR滤波器的单位抽样响应 计算频率响应 ，验算指标是否满足要求

公式法： IFFT法： 对 M点等间隔抽样： 计算其IFFT，得：

4、线性相位FIR低通滤波器的设计 例：设计一个线性相位FIR低通滤波器， 给定抽样频率为 ， 通带截止频率为 ， 阻带起始频率为 ， 给定抽样频率为 ， 通带截止频率为 ， 阻带起始频率为 ， 阻带衰减不小于-50dB，幅度特性如图所示 解： 1）求数字频率

2）求hd(n)

3）选择窗函数：由 确定海明窗（-53dB） 4）确定N 值

5）确定FIR滤波器的h(n) 6）求 ，验证 若不满足，则改变N或窗形状重新设计

5、线性相位FIR高通滤波器的设计 理想高通的频响： 其单位抽样响应：

6、线性相位FIR带通滤波器的设计 理想带通的频响： 其单位抽样响应：

7、线性相位FIR带阻滤波器的设计 理想带阻的频响： 其单位抽样响应：

三、频率抽样设计法 1、设计方法 对理想频率响应等间隔抽样 作为实际FIR数字滤波器的频率特性的抽样值

窗函数设计法：

内插公式：

抽样点上，频率响应严格相等 抽样点之间，加权内插函数的延伸叠加 变化越平缓，内插越接近理想值，逼近误差较小

1、线性相位的约束 1）h(n)偶对称，N为奇数 幅度偶对称： 相位函数：

2）h(n)偶对称，N为偶数 幅度奇对称： 相位函数：

2、频率抽样的两种方法

1）第一种频率抽样 系统函数： 频率响应：

2）第二种频率抽样 系统函数： 频率响应：

3、线性相位第一种频率抽样 h(n)为实数序列时，H(k)圆周共轭对称 即： 对称中心： 又线性相位：

当N为奇数时： 当N为偶数时：

当N为奇数时： 当N为偶数时：

频率响应： 当N为奇数时： 当N为偶数时：

4、线性相位第二种频率抽样 h(n)为实数序列时，H(k)圆周共轭对称 即： 对称中心： 又线性相位：

当N为奇数时： 当N为偶数时：

当N为奇数时： 当N为偶数时：

频率响应： 当N为奇数时： 当N为偶数时：

5、过渡带抽样的优化设计 增加过渡带抽样点，可加大阻带衰减 不加过渡抽样点： 加一点： 加两点： 加三点：

增加过渡带抽样点，可加大阻带衰减，但导致过渡带变宽 增加N，使抽样点变密，减小过渡带宽度，但增加了计算量 优点：频域直接设计 缺点：抽样频率只能是 或 的整数倍， 截止频率 不能任意取值

例：利用频率抽样法设计一个频率特性为矩形的理想低通滤波器，截止频率为0.5π，抽样点数为N=33，要求滤波器具有线性相位。 解： 按第一种频率抽样方式，N=33，得抽样点

得线性相位FIR滤波器的频率响应： 过渡带宽： 阻带衰减：-20dB

增加一点过渡带抽样点 令H(9)=0.5 过渡带宽： 阻带衰减：-40dB

增加两点过渡带抽样点 且增加抽样点数为N=65 令H(17)=0.5886 H(18)=0.1065 过渡带宽： 阻带衰减：-60dB

四、设计FIR滤波器的最优化方法 1、均方误差最小准则 频率响应误差： 实际频响 理想频响

均方误差： 当 时 即 相当于矩形窗 ∴矩形窗设计结果必满足最小均方误差准则

2、最大误差最小化准则 （加权chebyshev等波纹逼近） 当 为偶/奇对称，N为奇/偶数的四种情况 其频响 为偶对称时 N为奇数： N为偶数：

为奇对称时 N为奇数： N为偶数： 利用三角恒等式将 表示成两项相乘形式

N为奇数 N为偶数 1 奇对称 偶对称

其中： 由下而上由 求

加权逼近误差函数： 逼近函数 加权函数 加权chebyshev等波纹逼近： 求一组系数 使各频带上 的最大绝对值最小 A — 各通带和阻带

交错定理：若 是r个余弦函数的线性组合。即 A是 内的一个闭区间(包括各通带、阻带，但不包括过渡带)， 是A上的一个连续函数, 则 是 的唯一地和最佳的加权chebyshev逼近的充分必要条件是： 加权逼近误差函数 在A中至少有 个极值点，即A中至少有 个点 ，且 使得 且

， ， ， ，N 设要求滤波器频率响应： 寻找一个 使其在通带和阻带内最佳地一致逼近 参数： 根据交错定理： 若 最佳一致逼近 则 在通、阻带内具等波纹性 故又称等波纹逼近

极值点数目 最大极值点数 的极值点数＋ 单有极点 根据 知 的极值点数为： 偶对称 N为奇数 N为偶数 奇对称 单有的极值点是除 外的频带端点处 如低通有2个，带通有4个

最优线性相位FIR滤波器的设计步骤 1）输入数据，滤波器性能要求，滤波器类型 2）根据类型和 的长度N，确定 的个数r 3）在 频率区间，用密集的格点表示离散频率 4）计算各格点频率上的 和 函数值 加权逼近误差： 将 ， 表示成 5）用公式表示逼近问题 6）用Remez算法，求逼近问解的解 7）计算滤波器的单位抽样响应

Remez算法 1）按等间隔设定 个极值点频率的初始值 其中： ， ， 设误差函数值为δ，则

未知数： 和δ，但求解困难 可求

2）用解析法求 其中：

3）求 值 利用重心形式的拉格朗日内插公式得 其中：

4）求 5）判断是否所有频率上皆有 若是，结束计算 为最佳逼近， 若否， 误差曲线的 个局部极值频率点 求 作为新的一组交错点组频率，返回步骤2） 重新计算 值， ， 前后两次迭代的 值相等， 终止条件： 即收敛于其上限 误差曲线每个格点频率上 (r+1)个极值点频率处 ，且正负交错。

加权函数及其它参数的确定： 、 已知N、 ，求最佳 ，通、阻带加权误差相同 若 、 已知，则可规定加权函数 则经Remez解法迭代得 若 、 已知，则固定 ，改变 值，重复迭代 使 满足要求

计算滤波器的单位抽样响应 由 对 频域抽样得P(k)，L点 时不混叠） （ 求 的L点IDFT即得

偶对称，N为奇数时 如 由 可求得h(n) 偶对称，N为偶数时 如

五、IIR和FIR数字滤波器的比较 IIR滤波器 FIR滤波器 h(n)无限长 h(n)有限长 极点位于z平面任意位置 极点固定在原点 滤波器阶次低 滤波器阶次高得多 非线性相位 可严格的线性相位 递归结构 一般采用非递归结构 不能用FFT计算 可用FFT计算 可用模拟滤波器设计 设计借助于计算机 用于设计规格化的选频滤波器 可设计各种幅频特性和相频特性的滤波器