直线系应用
问题: 1、确定一条直线需 ____ 个互相独立的条件； 2、若只给了一个独立条件的情况将如何？ 二 具有某种共同性质的所有直线 直线系 —— ____________________________ 方程 —— _________________________________ 直线系方程 (方程中至少含有一参数)
常见直线系方程： 1、平行直线系方程： 与定直线 Ax + By + C = 0 平行的直线系方 程为 ____________________________ (2)与定直线 y = kx + b 平行的直线系方程为 __________________________ 2、垂直直线系方程： 与定直线 Ax + By + C = 0 垂直的直线系方程 为 ____________________________ Ax + By + m = 0 ( m 为参数 ) y = kx + n ( n 为参数 ) Bx －Ay + m = 0 ( m 为参数 )
3、过定点的直线系方程： (1) 过定点 ( 0 , b ) 但不包括 y 轴的直线系方 程为 _________________________________ (2) 过定点 ( x o , y o ) 但不包括直线 x = x o 的直 线系方程为_____________________________ y = kx + b ( k 为参数，b 为常数 ) y －y o = k ( x －x o ) ( k 为参数 ) A(x-x0)+B(y-y0)=0
4、中心直线系方程： 过相交直线 A 1x + B 1y + C 1 = 0 和 A 2x + B 2y + C 2 = 0 的交点的直线系方程为 _______________________________________ A 1x + B 1y + C 1 + ( A 2x + B 2y + C 2 ) = 0 m ( A 1x + B 1y + C 1 ) + ( A 2x + B 2y + C 2 ) = 0
例1、过两直线 x + y －3 = 0 和 x －y －5 = 0 的 交点，且平行于直线 3x + y －4 = 0 的直线，求 此直线的方程。 解：设所求直线方程为 x + y －3 + ( x － y －5 ) = 0 故所求直线方程为 3x + y －11 = 0
例2、△ABC 的顶点A ( 3, －4 )，两条高的方 程为 7x －2y －1 = 0 及 2x －7y －6 = 0，不求 交点，求 BC 边上的高所在直线方程。 解：设所求直线方程为 7x －2 y －1 + ( 2x －7y －6 ) = 0 ∵ 此直线过点 A ( 3, －4 ) 故所求方程为 x + y + 1 = 0
例3、直线 平行于两平行直线 3x + 4y －10 = 0 和 3x + 4y －35 = 0 且分这两平行线间的距离为 2：3，求 的方程。 解：设 ：3x + 4y + m = 0 (－35 < m < －10) 即 m = －20 或 m = －25 故所求方程为 3x + 4y －20 = 0 或 3x + 4y －25 = 0
例4.求证：无论m取何实数时，直线 (m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点，并求出定点的坐标。 例5、若a Z，方程y2-xy+ax2-5x-1=0表示两条直线，求此两条直线的夹角。
练习： 1、直线系 4x －3y －12 + λ ( x + y －4 ) = 0 中 经过点 ( 3，4 ) 的直线方程是 ______________ 2、直线系 kx + 4y = k 经过定点 _________ 3、过点 ( 2，4 ) 且与直线 x －y + 2 = 0 垂直的 直线方程为________________________ 4、过点 ( 3，2 ) 且与直线 4x + y －2 = 0 平行 的直线方程为________________________ 8x + y －28 = 0 ( 1，0 ) x + y －6 = 0 4x + y －14 = 0
5、垂直于直线 3x －4y －7 = 0 且与坐标轴构 成三角形的周长为 10 的直线方程为 ____________________________________ 6、 过两直线 2x －y + 4 = 0 和 x －y + 5 = 0 的交点，且与点P ( 2，－1 ) 的距离为 5,则直 线 的方程为 ___________________________ 4x + 3y + 10 = 0 或 4x + 3y －10 = 0 3x+4y－27=0 或 4x－3y+14=0