掌握复数代数形式的乘法和除法运算. 理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 理解共轭复数的概念.

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掌握复数代数形式的乘法和除法运算. 理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 理解共轭复数的概念.

本节重点:复数的乘除运算及共轭复数的概念. 本节难点:共轭复数的求解及特殊复数的运算.

对于复数的代数形式乘除法法则,不必死记硬背,乘法可按多项式类似的办法进行,除法只需记住两个复数相除,就是先把它们的商写成分数的形式,然后把分子、分母都乘以分母的共轭复数,再把结果化简即可.

1.复数的乘法 设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2= (a,b,c,d∈R). (ac-bd)+(ad+bc)i

2.复数乘法的运算律 对于任意z1,z2,z3∈C,有 交换律 z1·z2= 结合律 (z1·z2)·z3= 乘法对加法的分配律 z1(z2+z3)= z2·z1 z1·(z2·z3) z1z2+z1·z3

3.共扼复数的概念 一般地,当两个复数的 ,虚部 数时,这两个复数叫做互为共轭复数.通常记复数z的共轭复数 ,虚部不等于0的两个共轭复数也叫做 . 实部相等 互为相反 共轭虚数

[点评] (1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,ω3=1,巧用这些性质,可以快速解答许多问题.因此,记住这些小结论将是有益的.

[答案] C

[解析] (1)设z=x+yi(x,y∈R).则集合 P={(x,y)|x2+y2-6y+5=0} ={(x,y)|x2+(y-3)2=4}, 故P表示以(0,3)为圆心,2为半径的圆. 设w=a+bi(a,b∈R). z=x0+y0i∈P(x0,y0∈R)且w=2iz.

[例3] 计算:i+i2+i3+…+i2011. [分析] 由题目可获取以下主要信息: 已知虚数单位i的幂,求和. 解答本题可利用等比数列求和公式化简或者利用in的周期性化简.

计算:1+2i+3i2+…+2009·i2008.

[例4] 已知1+i是关于x的方程x2+bx+c=0的一个根(b,c为实数).

[点评] 因为已知方程x2+bx+c=0的一根是复数根,故我们需将该已知根代入方程,根据复数相等的充要条件求解. 有关复数的方程问题一般有两种情况: ①方程的根为复数,系数为实数,已知方程的一个复数根,求实系数. ②方程的根为实数,系数为复数,求实根.

1.在解方程时,对未知量的系数必须准确判断,才能寻找出正确的解题思路. 2.解决关于方程有实根的问题或实系数方程有复数根的问题,即上面提到的①②,一般都是指实根或复数根代入方程,用复数相等的充要条件求解.

[例5] 解方程|x|=2+x-2i.

[辨析] 在解题中用了复数范围内不成立的等式 |z|2=z2.

[答案] C

[答案] D

[答案] A

二、填空题 4.若x-2+yi和3x-i互为共轭复数,则实数x=______,y=______. [答案] -1 1