节目录 第五章 随机变量的数字特征 5.1 数学期望 5.2 方差 5.3 协方差与相关系数 5.4 原点矩与中心矩 5.1 数学期望
在实际问题中, 我们常对随机变量的某些特征更为关注 在实际问题中, 我们常对随机变量的某些特征更为关注. 例如, 在检查一批灯泡的质量时, 既需要注意灯泡的平均寿命, 又需要注意这批灯泡的稳定性(即相对于平均寿命的偏离程度), 平均寿命越长、偏离程度越小, 质量就越好. 可见, 与随机变量有关的某些数字虽然不能完整地描述随机变量, 但能描述随机变量在某些方面的重要特征. 我们将介绍随机变量的几个常用的数字特征. 这一章
5.1 数学期望 例1 在检查一批灯泡的质量时, 从中抽取了10个灯泡, 测得各灯泡的寿命(单位: 小时)分别为 5.1 数学期望 例1 在检查一批灯泡的质量时, 从中抽取了10个灯泡, 测得各灯泡的寿命(单位: 小时)分别为 700, 750, 750, 800, 800, 800, 850, 850, 900, 900 试求这些灯泡的平均寿命. 解 显然, 这些灯泡的平均寿命为 出现频率 加权平均
定义1 对于离散型随机变量X, 设其分布律为 对于连续型随机变量X, 设其分布密度为f (x) ,
甲、乙两人进行打靶, 所得分数分别记为X,Y.设它们的分布律分别为 例2 试评定甲、乙两人成绩的好坏. 解 故乙的成绩不如甲. 5.1 数学期望
数学期望EX是一个实数, 而非变量,它是一种加权平均, 与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量 X 取可能值的真正平均值. 说明： 例3 求泊松分布X～P(λ)的数学期望EX. 解 泊松分布的分布律为 故
例4 求正态分布 的数学期望EX. 解 故
定理1 设 Y=g(X)是随机变量X的连续函数, 那么 (1) 若X的分布律为 则函数Y=g(X)的数学期望为 （级数绝对收敛时） (2) 若X的分布密度为 f (x), 则Y=g(X)的期望为 （积分绝对收敛时） 定理1的重要意义：当我们求E[g(X)]时,不必知道g(X)的分布而只需知道X的分布就可以了.
设Z=g(X,Y)是二维随机变量(X,Y)的连续函数, 那么 定理2 （级数绝对收敛时） (2) 若(X,Y)的密度为 f (x,y), 则Z=g(X,Y)的期望为 （积分绝对收敛时）
例5 设二维随机变量(X,Y )的分布密度为 试求XY 的数学期望. 解
某人有现金10万元, 想投资于某项目, 欲估成功的机会为30%, 可获利 8万元 , 失败的机会为70%, 将损失 2万元 某人有现金10万元, 想投资于某项目, 欲估成功的机会为30%, 可获利 8万元 , 失败的机会为70%, 将损失 2万元. 若存入银行, 同期间的利率为5% , 问是否作此项投资? 例6 解 设 X 为投资利润, 则 其利润的期望值为： 存入银行的利息为: 故应选择投资。 5.1 数学期望
例7 设 (X ,Y) 的分布律为 Y X -1 1 0.2 0.1 2 3 0.3 解 Y -1 1 pk 0.3 0.4 5.1 数学期望
重排分布律可得 对应数据相乘，可得 0.2 0.1 0.3 (X,Y ) (1,-1) (1,0) (1,1) (2,-1) (2,1) 概率 0.2 0.1 0.3 (X,Y ) (1,-1) (1,0) (1,1) (2,-1) (2,1) (3,0) (3,1) X 1 2 3 Y/X -1 -1/2 1/2 1/3 (X-Y)2 4 9 对应数据相乘，可得 5.1 数学期望
数学期望的性质 证明 设下面所遇随机变量的期望存在，那么有 上述性质可推广到多个随机变量的情形. 如：
例8 解 5.1 数学期望