第3讲 专题 带电粒子在磁场中运动题特例 一、带电粒子在有界匀强磁场中运动的极值问题 1．解决此类问题的关键是：找准临界点． 第3讲 专题 带电粒子在磁场中运动题特例 一、带电粒子在有界匀强磁场中运动的极值问题 1．解决此类问题的关键是：找准临界点． 2．找临界点的方法是： 以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口，借助半径R和速度v(或磁场B)之间的约束关系进行动态运动轨迹分析，确定轨迹圆和边界的关系，找出临界点，然后利用数学方法求解极值，

(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切． (2)当速度v一定时，弧长(或弦长)越长，圆周角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长． (3)当速率v变化时，圆周角大的，运动时间越长．

1．如图8－3－1所示，匀强磁场的磁感应强度为B，宽度为d，边界为CD和EF 1．如图8－3－1所示，匀强磁场的磁感应强度为B，宽度为d，边界为CD和EF.一电子从CD边界外侧以速率v0垂直匀强磁场射入，入射方向与CD边界间夹角为θ.已知电子的质量为m，电荷量为e，为使电子能从磁场的另一侧EF射出，求电子的速率v0至少多大？

解析：当入射速率v0很小时，电子会在磁场中转动一段圆弧后又从CD一侧射出，速率越大，轨道半径越大，当轨道的边界与EF相切时，电子恰好不能从EF射出，如图所示．电子恰好射出时，由几何知识可得：r＋rcos θ＝d① 又r＝ 由①②得： 故电子要射出磁场时速率至少应为 答案：

二、带电粒子在洛伦兹力作用下的多解问题 带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，使问题形成多解，多解形成原因一般包含下述几个方面： (1)带电粒子电性不确定形成多解：受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致形成双解． (2)磁场方向不确定形成多解：有些题目只告诉了磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑磁感应强度方向，由磁场方向不确定而形成的双解．

(3)临界状态不唯一形成多解：带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过磁场，可能转过180°从入射界面这边反向飞出，如图8－3－2所示，于是形成多解． (4)运动的重复性形成多解：带电粒子在部分是电场、部分是磁场空间运动时，往往运动具有往复性，因而形成多解．

2．如图8－3－3甲中所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′且正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示．有一束正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场．已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力．求：

(1)磁感应强度B0的大小； (2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值．

解析：设垂直纸面向里的磁场方向为正方向 (1)正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力 做匀速圆周运动的周期 联立①②两式得磁感应强度 (2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，v0的方向应如右图所示，两板之间正离子只运动一个周期即T0时，有R＝ 当两板之间正离子运动n个周期即nT0时，有R 联立求解，得正离子的速度的可能值为

【例1】在一空心圆柱面内有一垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度为B，其横截面如图8－3－4所示，磁场边界为同心圆，内、外半径分别为r和(＋1)r.圆心处有一粒子源不断地沿半径方向射出质量为m、电荷量为q的带电粒子，不计粒子重力．为使这些粒子不射出磁场外边界，粒子从圆心处射出时速度不能超过(　　)

解析：如图所示，带电粒子不从磁场中穿出，其临界条件是带电粒子在磁场中的运动轨迹应与外圆相切， 所以[( ＋1)r－rx]2＝r2＋ r2 x， 解上式可得rx＝r， 又由rx＝ 可得，选项A正确 答案：A

1－1人们到医院检查身体时，其中有一项就是做胸透，做胸透用的是X光，我们可以把做胸透的原理等效如下：如图8－3－5所示，P是一个放射源，从开口处在纸面内向各个方向放出某种粒子(不计重力)，而这些粒子最终必须全部垂直射到底片MN这一有效区域，并要求底片MN上每一地方都有粒子到达．假若放射源所放出的是质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，且所有的粒子速率都是v，M与放射源的出口在同一水平面上，底片MN竖直放置，底片MN长为L.为了实现上述目的，我们必须在P的出口处放置一有界匀强磁场．求：

(1)匀强磁场的方向； (2)画出所需最小有界匀强磁场的区域，并用阴影表示； (3)匀强磁场的磁感应强度B的大小以及最小有界匀强磁场的面积S.

解析：(1)匀强磁场的方向为垂直纸面向外． (2)最小有界磁场如答案图所示． (3)要想使所有的粒子都最终水平向右运动，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径必须与最小圆形有界匀强磁场的半径大小一致所以有：R＝L/2 根据牛顿第二定律： 联立解得： 如答案图所示，有界磁场的最小面积为： 答案：(1)垂直纸面向外 (2)

(2009·龙岩毕业班质检)如图8－3－6所示，直线MN下方无磁场，上方空间存在两个匀强磁场Ⅰ和Ⅱ，其分界线是半径为R的半圆弧，Ⅰ和Ⅱ的磁场方向相反且垂直于纸面，磁感应强度大小都为B.现有一质量为m、电荷量为q的带负电微粒从P点沿PM方向向左侧射出，不计微粒的重力．

(1)若微粒在磁场Ⅰ中做完整的圆周运动，其周期多大？ (2)若微粒从P点沿PM方向向左射出后直线从分界线的A点沿AO方向进入磁场Ⅱ并打到Q点，求微粒的运动速度大小； (3)若微粒从P点沿PM方向向左侧射出，最终能到达Q点，求其速度满足的条件．

解析：(1)qvB＝ (2)如右图所示，轨道半径r＝R 则由qvB (3)如图所示，θ

对于带电粒子在磁场中做圆周运动的问题由于多方面的原因而导致问题的多种答案，一是由于粒子电性的不确定；一是磁场方向的不确定性；一是临界状态的不唯一带来的多解；一是粒子做圆周运动的周期性导致多解．对于不同原因导致的多解问题一定要分清原因，然后根据不同原因采用不同的方法进行求解．

2－1如图8－3－7所示，在坐标系xOy中，第一象限内充满着两个匀强磁场a和b，OP为分界线，在区域a中，磁感应强度为2B，方向垂直纸面向里；在区域b中，磁感应强度为B，方向垂直纸面向外，P点坐标为(4l,3l)．一质量为m，电荷量为q的带正电的粒子从P点沿y轴负方向射入区域b，经过一段时间后，粒子恰能经过原点O，不计粒子重力．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)．求： (1)粒子从P点运动到O点的时间最少是多少？ (2)粒子运动的速度可能是多少？

解析：(1)设粒子的入射速度为v，用Ra、Rb、Ta、Tb分别表示粒子在磁场a区和b区运动的轨道半径和周期，则： 粒子先从b区运动，后进入a区运动，然后从O点射出时，粒子从P运动到O点所用时间最短．如图所示． 粒子在b区和a区运动的时间分别为：

故从P到O时间为：t＝ta＋tb (2)由题意及图可知 点击此处进入 作业手册