计算机问题求解 – 论题4-3 - 群同态基本定理 2019年3月20日.

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计算机问题求解 – 论题4-3 - 群同态基本定理 2019年3月20日

问题1:我们为什么定义“同构”函数 ? iso-morphology 同构其实可在任何代数结构(系统)上讨论 保持结构的双射 图的同构; 格的同构;

问题2:从这个定理中,你能解释我们为什么研究“同构”吗? 1,两个同构的代数系统,其元素及运算(对象及操作)会有“雷同”:个数、特性等;其结构会有“雷同”:某个结构上成立的命题,在另一个结构上也会存在; 2,深入研究某个系统,意味着掌握了与其同构的所有系统;

如何判断两个系统的同构? 观察 构造 证明

如何判断两个系统不同构?

问题3.1:这个定理给我们什么感觉? 群亦可群分 证明同构关系是等价关系:自反、对称、传递 如何去证明这个定理?

几个有趣的同构结论 素数阶群一定是循环群;

Carley定理的证明 从任意一个群G出发,构造一个置换群G’: 构造群G到置换群G’的同构函数 由置换函数组成的群 证明这个函数的双射 证明这个函数是G到G’的同构

请问,这里涉及到几个证明? (ga,gb,gc,…,gg,…,….) (ha,hb,hc,…,hg,…,….) 函数是置换 各置换构成群 请问,这里涉及到几个证明? 如果 是置换,是否所有这样的置换在某个运算上构成群?

两个群,同构吗? G g ? h 如何证明这个函数是同构函数?

两个群的外直积

问题4:为什么下面的结论不叫“定理”? 后会有期 问题5.1:这个符号是什么意思? 问题5.2:这个操作从何而来? Well defined,结论的成立,取决于G*H集合上的运算 为什么我们对长度为n的01位串构成的群,采用这个符号来表述?用01群的外积来解读这个群的操作? 操作来自于Z2的操作:00,11得0,其余得1:Z2加法群 后会有期 问题5.1:这个符号是什么意思? 问题5.2:这个操作从何而来?

不难理解的几个定理: 直积群中元素的阶就是各个元素分量的阶的乘积 问题6:如果诸ri互素,会有什么结论?

以下几个结论,余味袅袅 一个数总是可以分解为若干素因子的乘积;大数的素因子分解是非常困难的。将互质的两个大素数乘积得到的大数作为公钥的部分发布,将素因子作为私钥信息保密。

两个群的内直积

如果一个群能够表示成两个子群的内直积 第一感觉上,这个定理证明的思路是什么? Well define:g唯一确定hk,才能保证fi函数的良定义

问题7:为什么我们在正规子群概念下讨论商群? 子群会导致一个群的划分,但我们不能保证在划分下的所有陪集形成一个群; 如果是正规子群,我们完全可以由群操作定义陪集上的操作,进而建立一个陪集集合上的群:单位元就是该子群,aH的逆就是a(-1)H.

问题8:为什么有了同构概念,我们还需要研究同态? 通常情况下,我们对满同态更有兴趣! 同构的性质要求太强了。 其实我们可以将群内元素进行分类,研究商群,将商群和某个群进行同构研究。进而从某个群的性质中,得到“代表性元素群”的性质

问题9:同态映射是否也保持了两个系统的结构“相似性”? 看逆像和像的结构相似性;

正规子群的同态保持证明

以下定理奠定了群基本同态定理的基础 nZ ?

问题10:下图中的kernel和f-1(a’)之间有什么结论? 群G 群G’ 同态f e’ a’ kernel e f-1(a’) a Kernel和任意的G’中非单位元元素的逆像不相交 Kernel和任意的G’中非单位元元素的逆像同势 任意的G’中元素的逆像不相交且同势 任意的G’中元素的逆像必定是kernel的某个陪集

问题11:下图中的G和商群会有什么关系? 同态f ? 群G 群H 商群G/K kernel e’ e a [e] [a] 同态关系,同态映射就是aK 商群G/K a ? [e] [a]

问题12:下图中的群G、f同态群H和K商群会有什么关系? e’ kernel e ? 同构关系:由同态映射f导出的同构关系: Φ(aKernel(f)) =f(a) 商群G/K a 同态 [e] [a]

群同态第一定理 一般的正规子群尚不能让我们“看穿”同态映射 给我们带来的清晰结构 Psai,eta,

为什么? 良定义:代表元素非特定 K的g1陪集

H/H∩N 和HN/N到底是什么样子的群? 两个商群同构 H∩N 是正规子群? H/H∩N 和HN/N到底是什么样子的群?

Open Topics: 证明群同构第二定理 证明问题10中得到的猜想 S24的一个子群

子群

正规子群

同构