第三节 泰勒公式 一、泰勒公式的建立 二、几个初等函数的麦克劳林公式 三、泰勒公式的应用 第三章 理论分析 目的－用多项式近似表示函数. 近似计算 一、泰勒公式的建立 二、几个初等函数的麦克劳林公式 三、泰勒公式的应用
一、泰勒公式的建立 在微分应用中已知近似公式 : x 的一次多项式 特点: 以直代曲 如何提高精度 ? 需要解决的问题 如何估计误差 ?
1. 求 n 次近似多项式 要求: 令 则 故
2. 余项估计 令 (称为余项) , 则有
泰勒(Taylor)中值定理 : 阶的导数 , 则当 时, 有 ① 其中 ② 公式 ① 称为 的 n 阶泰勒公式 . 运行时, 点击按钮“泰勒”, 或相片 , 可显示泰勒简介,演示结束自动返回. 公式 ① 称为 的 n 阶泰勒公式 . 公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 . 泰勒
在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为 注意到 ③ 在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为 ④ 公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 . * 证明见江泽坚“数学分析”（上册） * 可以证明: ④ 式成立
特例: 给出拉格朗日中值定理 (1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为 (2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为 可见 误差
在泰勒公式中若取 则有 称为麦克劳林( Maclaurin )公式 . 由此得近似公式 若在公式成立的区间上 则有误差估计式 运行时, 点击按钮“麦克劳林” , 或 相片 , 可显示麦克劳林简介, 演示结束自动返回. 若在公式成立的区间上 则有误差估计式 麦克劳林
二、几个初等函数的麦克劳林公式 其中 麦克劳林公式
其中 麦克劳林公式
类似可得 其中 麦克劳林公式
其中 麦克劳林公式
已知 因此可得 其中 麦克劳林公式
三、泰勒公式的应用 1. 在近似计算中的应用 误差 M 为 在包含 0 , x 的某区间上的上界. 需解问题的类型: 1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ; 2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差; 3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围.
例1. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过 解: 已知 的麦克劳林公式为 令 x = 1 , 得 由于 欲使 因此 由计算可知当 n = 9 时上式成立 ,
说明: 注意舍入误差对计算结果的影响. 本例 若每项四舍五入到小数点后 6 位,则 各项舍入误差之和不超过 总误差限为 这时得到的近似值不能保证误差不超过 因此计算时中间结果应比精度要求多取一位 .
例2. 用近似公式 计算 cos x 的近似值, 使其精确到 0.005 , 试确定 x 的适用范围. 解: 近似公式的误差 令 解得 即当 时, 由给定的近似公式计算的结果 能准确到 0.005 .
2. 利用泰勒公式求极限 用洛必达法则不方便 ! 例3. 求 解: 用泰勒公式将分子展到 项, 由于
3. 利用泰勒公式证明不等式 例4. 证明 证: +
内容小结 1. 泰勒公式 其中余项 当 时为麦克劳林公式 .
2. 常用函数的麦克劳林公式 ( P142 ~ P144 ) 3. 泰勒公式的应用 (1) 近似计算 (2) 利用多项式逼近函数 (3) 其他应用 求极限 , 证明不等式 等. 运行时, 点击按钮“例如”, 或 “例如…“ 即可显示动画 例如
思考与练习 作业 P145 1 ; 4 ; 5 ; 7 ; 8; *10 (1), (2) 计算 解: 原式 第四节
备用题 1. 且 点 证: 由题设对 有
下式减上式 , 得 令
2. 证明 e 为无理数 . 证: 两边同乘 n ! = 整数 + ( p , q 为正整数) , 假设 e 为有理数 则当 时, 等式左边为整数; 时, 当 等式右边不可能为整数. 矛盾 ! 故 e 为无理数 .