12.2提公因式法

问题1：观察下列多项式的各项都含有相同的因式吗？ ab +bc; 3x2+x; mb2+nb+b. 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。

议一议 如何确定公因式？ 多项式2x2+6x3，12a2b3-8a3b2-16ab4各项的公因式是什么？ 系数：找各项系数的最大公约数。 字母：找各项的相同字母 指数：找各项相同字母的最低次幂

请说出下列多项式各项的公因式 1、ma + mb 2、4kx - 8ky 3、5y3+20y2 4、a2b-2ab2+ab 5、 4x2-8ax+2x 6、3(a+b)2-6(a+b)3 m 4k 5y2 ab 2x 3(a+b)2

探索发现 因式分解： 解: 公因式 提公因式法 把公因式提出来，多项式ma+mb+mc 就可以分解成两个因式m和(a+b+c)的乘积。像这种因式分解的方法，叫做提公因式法。

【例1】 把 3a2-9ab分解因式. 例题精讲 =3a(a-3b) 解：原式 =3a•a-3a•3b 温馨提示 分两步 第一步，找出公因式； 第二步，提取公因式 ， (即将多项式化为两个因式的乘积)

【例2】把4a3b－6a2b2＋2a2b分解因式 例题精讲 解：原式=2a2b·2a－2a2b·3b＋2a2b·1 =2a2b (2a－3b＋1) ←不能漏掉

当多项式第一项系数是负数，通常先提出“-”号，使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号。 例题精讲 【例3】 把 -24x3 –12x2 +28x 分解因式. 解：原式= = 当多项式第一项系数是负数，通常先提出“-”号，使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号。 提负号 要变号

(1) a2 - a (2) -4m3n2+6m2n-2mn (3) ax2 - a3 (4) 2xy2 - 50x =a(a-1) 练习：把下列各式因式分解： (1) a2 - a (2) -4m3n2+6m2n-2mn (3) ax2 - a3 (4) 2xy2 - 50x =a(a-1) =-2mn(2m2n - 3m+1) =a(x2-a2) =a(x+a)(x-a) =2x(y2-25) =2x(y+5)(y - 5) 温馨提示:（1）公因式要提尽,分解因式要彻底； （2）小心漏掉1

解： a(x-3)+2b(x-3) ＝(ｘ－３)(ａ＋２ｂ) 分析：多项式可看成a(x-3) 与 2b(x-3) 两项，公因式为x-3 例题精讲 【例4】把 a(x-3)+2b(x-3) 分解因式. 分析：多项式可看成a(x-3) 与 2b(x-3) 两项，公因式为x-3 解： a(x-3)+2b(x-3)　　　　　　　　　　　　　　　 ＝(ｘ－３)(ａ＋２ｂ)

- - - + + + + + 做一做：在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立： 问题2：你发现了什么规律？ (a-b) =___(b-a); (2) (a-b)2 =___(b-a)2; - + (3) (a-b)3 =___(b-a)3; (4) (a-b)4 =___(b-a)4; - + (5) (a+b)5 =___(b+a)5; (6) (a+b)6 =___(b+a)6. + +  (8) (a+b)2 =___(-a-b)2. (7) (a+b) =___(-b-a); - + 问题2：你发现了什么规律？

(1)a-b 与 -a+b 互为相反数. 由此可知规律： (a-b)n = (b-a)n (n是偶数） (-a-b)n = (a+b)n (n是偶数） (-a-b)n = -(a+b)n (n是奇数） (2) a+b与b+a 互为相同数, (a+b)n = (b+a)n (n是整数）

解： a(x-y)+b(y-x) ＝ a(x-y)-b(x-y) ＝ (x-y)(a-b) 例题精讲 【例5】. 把a(x-y)+b(y-x)分解因式. 分析：多项式可看成a(x-y)与+b(y-x)两项。其中x-y与y-x互为相反数，可将+b(y-x)变为-b(x-y)，则a(x-y)与-b(x-y)的公因式为x-y 解： a(x-y)+b(y-x) ＝ a(x-y)-b(x-y) ＝ (x-y)(a-b)

解：6(m-n)3-12(n-m)2 ＝ 6(m-n)3-12(m-n)2 ＝ 6(m-n)2(m-n-2) 例题精讲 【例6】把6(m-n)3-12(n-m)2分解因式. 分析：其中(m-n)与(n-m)互为相反数.可将-12(n-m)2变为-12(m-n)2，则6(m-n)3与-12(m-n)2 公因式为6(m-n)2 解：6(m-n)3-12(n-m)2 ＝ 6(m-n)3-12(m-n)2 ＝ 6(m-n)2(m-n-2)

小试身手 1.选择 （1）多项式6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式（ ） （A）6ab2c （B）ab2 （C）6ab2 （D）6a3b2C C D （2）分解-4x3+8x2+16x的结果是（ ） （A）-x（4x2-8x+16） （B）x（-4x2+8x-16） （C）4（-x3+2x2-4x） （D）-4x（x2-2x-4）

(a+b)x (4)若多项式(a+b)x2+(a+b)x要分解因式,则要提的公因式是 . (3)若多项式-6ab+18abx+24aby的一个因式是 -6ab，那么另一 个因式是（ ） （A）-1-3x+4y （B）1+3x-4y （C）-1-3x-4y （D）1-3x-4y D (4)若多项式(a+b)x2+(a+b)x要分解因式,则要提的公因式是 . (a+b)x

小结 1、确定公因式的方法： （1）公因式要提尽 2、提公因式法分解因式步骤(分两步)： 第一步，找出公因式； 第二步，提公因式 一看系数　二看字母　三看指数 2、提公因式法分解因式步骤(分两步)： 第一步，找出公因式； 第二步，提公因式 3、用提公因式法分解因式应注意的问题： （1）公因式要提尽 （2）小心漏掉1 （3）多项式的首项是负系数时通常要先提取负号 （4）多项式各项中含互为相反数的因式时，要注意是奇次幂还是偶次幂