6.5 可对角化的矩阵 授课题目：6.5 可对角化的矩阵 授课时数：6学时 教学目标：掌握矩阵对角化的定义与方法 教学重点：矩阵对角化的方法 教学难点：矩阵对角化的方法

一. 矩阵的可对角化与线性变换的可对角化 定义1　设A是数域F上一个n阶矩阵，如果存在 F上的一个可逆矩阵T，使T-1AT是对角矩阵， 就说A可以对角化． 由矩阵与线性变换的对应关系，类似地有： 定义2　设σ是数域F上n(n≥1)维线性空间V的 一个线性变换,如果存在V的一个基,使得σ关于 这个基的矩阵是对角形，就说σ可以对角化．

根据定义和定理6.3.4知：n维线性空间的基取定 后，V的线性变换σ可以对角化当且仅当它关于 这个基的矩阵A可以对角化． 二. 线性变换可对角化的充要条件和充分条件 1. 线性变换可对角化的充要条件之一 定理6.5.1　设σ是数域F上n维线性空间V的线性 变换．σ可对角化的充分必要条件是：σ有n个 线性无关的特征向量．

2. 线性变换可对角化的两个充分条件 定理6.5.2　设数域F上线性空间V有一个线性变 换σ,ξ1,ξ2 ,…,ξm分别是σ的属于互不相同的 特征根λ1,λ2, …,λm的特征向量, 那么, 向量ξ1, ξ2, …,ξm线性无关． 证　对m使用数学归纳法． 当m＝1, ξ1≠0,ξ1线性无关. 假设定理对于m-1(m＞1)个向量结论成立． 现设λ1,λ2,…,λm是σ的两两不同的特征根,

ξi是属于λi的特征向量，即 σ(ξi)=λiξi, i=1, 2, …, m． (1) 若 a1ξ1+a2ξ2+…+am-1ξm-1+amξm , ai∈F (2) 用λm乘(2)式两端，得 a1λmξ1+a2λmξ2+…+am-1λmξm-1+amλmξm = 0 　 (3) 对（2）式两端的向量用线性变换σ去作用，得

a1λ1ξ1+a2λ2ξ2+…+am-1λm-1ξm-1+amλmξm = 0 (4) 用（4）式减去（3）式得 a1(λ1-λm)ξ1+ a2(λ2-λm)ξ2+… + am-1(λm-1-λm)ξm-1 = 0 但ξ1,ξ2 ,…,ξm-1由归纳假设是线性无关的， 所以Ai(λi-λm)= 0，i=1, 2, …, m-1.

而λ1,λ2 ,…,λm两两不同, λi -λm≠0, i=1, 2, …, m-1.只有a1= a2=…= am-1= 0. 代入(2)式, 由ξm≠0 又有 am＝0. 这就证明 了向量ξ1 ,ξ2 ,…,ξm是线性无关的. □ 由上面两个定理可以得出以下推论． 推论1　设σ是属于F上n维线性空间V的一个线 性变换．如果σ的特征多项式fσ(x)在F内有n个 不同的根，那么σ可对角化．

证　若fσ(x)在F中有互不相同的n个特征根λ1, λ2 ,…,λn , 对每个λi , 选取一个特征向量ξi , i =1, 2, …, n .ξ1,ξ2, …,ξn 线性无关, 构成V的 一个基. σ在这个基下的矩阵是对角矩阵 所以，σ可对角化．□

这个推论的矩阵说法是：设A是数域F上的一个 n阶矩阵．如果A的特征多项式fA(x)在F内有n 个单根，那么A可以对角化． 如果数域F是复数域C，推论1可改为以下推论． 推论2　设σ是复数域C上n维线性空间V的一个 线性变换．如果σ的特征多项式没有重根，那 么σ可对角化． 推论1给出了线性变换可对角化的一个充分非必

要条件．对没有n个不同特征根的线性变换，要 判断它能否对角化，还需作进一步的讨论． 3. 线性变换可对角化的充要条件之二 定理6.5.3　如果λ1,λ2,…,λs 是线性变换σ的 s 个不同的特征根，而 , …, 是σ的属于特征 根λi 的线性无关的特征向量, i = 1, 2, …, s. 那么, 向量组 , …, , , …, , …, , …, 线性无关．

证　设 k11 +k21a21+…+ +…+ 　　+…+ =0. 即　α1+α2+…+αs＝0， 　　　　　(5) ∈ 其中αi = ki1αi1+…+ i=1, 2, …, s. 因此,αi= 0或者αi是σ的属于λi的特征向量． 如果α1,α2 ,…,αs不全为0, 不妨设α1,α2,…,αt (t≤s)均不是零向量, 而其余的αj全是零向量. 由（5）式有α1+α2+…+αt＝0,

即α1+α2+…+αt 线性相关. 这与定理6.5.2的结 论矛盾． 所以每个αi＝0, i＝1, 2, …, s. 即　 ki1αi1+…+ i=1, 2, …, s. =0. 由假设αi1 ,…, 线性无关，推出 ki1=…= =0, i=1, 2, …, s. 因此，向量组 , …, , …, , …, 线性无关． □

再来讨论线性变换的特征子空间的维数与所属特 征根的重数的关系． 定理6.5.4　设σ是数域F上n维线性空间V的一个 线性变换.λ0是σ的一个特征根， 是σ的属于 特征根λ0的特征子空间. 那么dim ≤λ0的重数， 其中λ0的重数指的是它作为fσ(x)的根的重数．

证　设 ,{α1,α2 ,…,αs}是 的基． 将它扩充成V的基:{α1,α2 ,…,αs,αs+1, …,αn}． 是σ的特征子空间，可设 由于 σ(α1)=λ0α1,σ(α2)= λ0α2 , …… …… σ(αs)=λ0αs , σ(αs+1)=a1,s+1α1 + a2,s+1α2+…+ an,s+1 αn …… …… σ(αn)=a1nα1+ a2nα2+…+ annαn .

于是,σ在基{α1,α2,…,αs,αs+1,…,αn}下的 矩阵是 fσ(x)= fA(x)=|xI-A|=(x -λ0)sh(x)

其中h(x)是A中右下角小块矩阵 的特征多项式．这样，λ0在fσ(x)中的重数不小 于s，即dimVλ0≤λ0的重数．□ 现在，我们可以来证明下面的定理了

定理6.5.5　设σ是数域F上n维线性空间V的一个 线性变换,σ可对角化的充分必要条件是： 1）σ的特征多项式的根都在F内； 2）σ的每个特征根λ,dimVλ≤λ0的重数． 证　充分性．设σ的所以不同的特征根λ1,λ2, …,λt ,在特征多项式fσ(x)的重数分别是r1, r2 ,…,rt .由条件1)有 r1+r2+…+rt=n．

由条件2）有 i=1,2, …, t. 的一个基，i=1, 2, … , t. 可设αi1 ,… , 是 根据定理6.5.3，n个特征向量为 , α21, … , , … ,αt1, …, α11, … , 线性无关，构成V的一个基，故σ可对角化． 必要性．设σ可对角化，V有一个由σ的特征向 量组成的基．适当排列基向量的次序．不妨设 式（6）是重新排列后的V的一个基，σ在这个

基下的矩阵为 对角线上每个λi有xi个. 于是σ的特征多项式为

因此λ1,λ2 ,…,λt是它的全部互异的特征根， 均属于数域F，且λi的重数是ri, i=1,2, …,t 又由于αi1,…, 线性无关，均是 的向量， 从而有 另一方面，由定理6.5.4，又有 所以 □

4. 线性变换对角化的方法和例子 由定理6.5.4和定理6.5.5可知，要把一个可对角 化的线性变换σ对角化，我们只需对σ的每个 特征根λi，求出Vλi的基，凑成空间V的由σ 的特征向量组成的基，σ在这样的一个基下 的矩阵就具有对角形式．

例1　对6.4中例4的R上的三维线性空间V的线性 变换σ，由于fσ(x)的根1，1，-2均在R内，且 dimV1=2=1的重数，dimV-2=1=-2的重数，所以 σ可以对角化． 特征子空间V1的基是{-2α1+α2,α3 }，而特征子 空间V-2的基是{-α1+α2+α3 }．令 η1= -2α1+α2, η2=α3, η3=-α1+α2+α3, { η1, η2, η3}构成V的一个基，σ在这个基下的

矩阵是 又因为 (η1,η2,η3)= (α1,α2,α3) 即 是由基｛α1，α2，α3｝到基｛η1，η2，η3｝

的过渡矩阵．由定理6.3.4有 注意:T正好是由方程组(I-A)X=0与(-2I-A)X=0的 基础解系中的向量作列向量拼成的矩阵．

三. 矩阵可对角化的充要条件，方法及应用 1. 矩阵可对角化的充要条件 定理6.5.6　设A是数域F上的一个n阶矩阵. A(在F上)可对角化的充分必要条件是： 1）A的特征根都在F内； 2）对于A的每个特征根λi, 有秩(λiI-A)=n- ri , 其中ri是λi的重数． 2. 矩阵的对角化方法

如果数域F上的n阶矩阵A可以对角化，那么对A 的每个特征根λi∈F，i=1,2, …, n.齐次线性方程 组(λiI-A)X=0的基础解系中的每个解向量都是A 的特征向量．设A有s个两两不同的特征根就求得 s个基础解系： 这s个基础解系中共含n个特征向量. 它们是线性 无关的. 把这n个特征向量Tij作为列, 按照λ1,λ2, …,λn的相应顺序拼成一个可逆矩阵T, 于是

即

上面讨论了当A可对角化时, 如何求可逆矩阵T的 何计算T(T-1AT为对角形)的方法及步骤归纳如下: 1)求矩阵A的全部特征根. 如果这些根不全在F内, 那么A在F上不能对角化. 2)如果A的特征根都在F内, 那么对A的每个特征根 λ,求出齐次线性方程组

的一个基础解系． 3)如果每个特征根λ的重数与齐次线性方程组 (λI-A)X=0基础解系所含解向量的个数相等， 那么A可对角化．把这些解向量作为列拼成一 个n阶可逆矩阵T, T-1AT就是对角形矩阵．

例2　判断下列矩阵A能否与对角矩阵相似． 若能, 求出可逆矩阵T, 使T-1AT是对角形矩阵． （1） （2）

解 (1) fA(x)=|xI-A|=(x+1)2 . 在这里-1是A的二重特征根,而秩(-1·I-A)≠2-2·A 在任何数域上都不能对角化． 解 (2) A 的特征根为1, i , -i. A在R上不能对角化, 在C上可对角化. 以齐次线性方程组 (1·I-A)X=0, (iI-A)X=0和(-iI-A)X=0 的基础解系的解向量为列拼成的矩阵

则有 3. 矩阵对角化的应用 例3　计算

解　令A＝ , A有特征根-1，-1，5． 对特征根-1, 解方程组(-1·I-A)X＝0, 解得基础解 系 ， 对特征根5, 解方程组(5I-A)X=0,得基础解系

用上面三列拼成矩阵T= 则有T-1AT= 于是有

习题6.5 1. 设α与β分别是线性变换σ的属于特征根λ1与 λ2的特征向量, 而且λ1≠λ2. 证明, α+β不可能 是σ的特征向量． 2.设上三角形矩阵

的对角元素α11,α22 ,…,αnn各不相同．证明， A可以对角化． 3.设σ是数域F上三维线性空间V的一个线性变 换，且σ在基{α1 ,α2 ,α3}下的矩阵为 A＝ 1）求σ的每个特征子空间的一个基；

2）σ能否对角化？若能，求出相应的基和过渡 矩阵T，并验算T-1AT. 4. 在下列矩阵中，那些可以在实数域上对角化？ 那些可以在复数域上对角化？对应可对角化的， 求出相应的过渡矩阵T，并验算T-1AT：

5.设A＝ , 求Ak(k为正整数). 6.设A∈Mn(F),若Am＝0，m是某个自然数，则称 A为幂零矩阵，证明：若A≠0是幂零矩阵，则A 不能对角化.