自我評量

蔡桃桂與家人到好玩農場踏青，已知全票每張 x 元，且一張全票比優待票貴 15 元。他們買了 2 張全票及 4 張優待票共需 210 元，求全票、優待票每張各為多少元？

如何解決上面的問題呢？我們可以把問題中提到的數量關係，以含文字符號的式子表示，再依據等量關係列成一元一次方程式，然後依照上一節所學一元一次方程式的解法來解決原來的問題。 以下我們將逐步分析原敘述中的各個段落，分別找出它們蘊涵的意義。請留意標示粗體字的部分，它的目的是學習如何將已知條件轉譯為數學式子或方程式，然後再進行適當的解題步驟。

蔡桃桂與家人到好玩農場踏青，已知全票每張 x 元，且一張全票比優待票貴 15 元。他們買了 2 張全票及 4 張優待票共需 210 元，求全票、優待票每張各為多少元？ 1.以文字符號來表示問題中不同的數量。 已知全票每張 x 元，則優待票每張（ x－15） 元。

蔡桃桂與家人到好玩農場踏青，已知全票每張 x 元，且一張全票比優待票貴 15 元。他們買了2 張全票及 4 張優待票共需 210 元，求全票、優待票每張各為多少元？ 2.將各數量的關係列成一元一次方程式。

2 張全票需 2x 元， 4 張優待票需 4（x－15）元，因為共需 210元， 得 2x＋4x－60＝210 2x＋4x＝210＋60 6x＝270 x＝45 3.解一元一次方程式。

全票每張 45 元，優待票每張為 x－15＝45－15＝30（元） 2×45＋4×30＝90＋120＝210（元） 滿足方程式 4. 將方程式的解代回原問題中， 確定是否符合題意。 全票每張 45 元，優待票每張為 x－15＝45－15＝30（元） 2×45＋4×30＝90＋120＝210（元） 滿足方程式 所以全票每張 45 元，優待票每張 30 元。

因為國文成績為 x 分，所以數學成績為（2x－40）分。 解 搭配習作 P56 基礎題 3／P57 基礎題 6 1 倍數問題 上次段考，光良的國文成績為 x 分，若光良的數學成績是國文成績的2倍少40分，且這兩科的成績合計為170分。求光良的國文成績、數學成績各為多少分？ 數學成績是國文成績的 2 倍少 40 分： 因為國文成績為 x 分，所以數學成績為（2x－40）分。 解

國文成績加數學成績等於 170 分： 因此可列出一元一次方程式 x＋（2x－40）＝170。 解一元一次方程式 x＋（2x－40） ＝170 得 3x－40 ＝170 3x ＝210 x ＝70 所以國文成績為 70 分，數學成績為 2x－40＝2×70－40＝100（分）。 解

在例題 1 中，若光良的國文成績為 x 分，依題意「兩科的成績合計為 170 分」，則數學成績為（170－x）分。請依「數學成績是國文成績的 2 倍少 40 分」列出一元一次方程式，並分別求出國文成績與數學成績。 170－x＝2x－40 國文成績 70 分，數學成績 100 分

在日常生活中，我們遇到的問題並沒有人幫我們設定好未知數。如何適當的使用文字符號，將相關數量列成一元一次方程式，以解決應用問題呢？通常我們會依據題目的敘述，將希望求得的答案直接假設為未知數 x。

搭配習作 P58 基礎題 8 2 相反數問題 阿嬌設計一個電腦小程式，每按一次按鈕，螢幕左邊的數字會自動加 1，同時間螢幕右邊的數字則會自動減 2，如果一開始螢幕左邊的數字為－15，螢幕右邊的數字為 128。請問要按幾次按鈕，螢幕兩邊的數字會互為相反數？

設須按 x 次按鈕。 螢幕左邊的數字等於（－15＋x） 螢幕右邊的數字等於（128－2x） 因為(－15＋x) 和( 128－2x)互為相反數 因此可列出一元一次方程式 (－15＋x)＋(128－2x)＝0 解（－15＋x）＋（128－2x）＝0 得－15＋x＋128－2x＝0 113－x＝0 x＝113 所以須按 113 次按鈕。 解

在例題 2 中，若阿嬌修改此電腦程式，使得每按一次按鈕，螢幕左邊的數字會自動加 2，同時間螢幕右邊的數字則會自動減 3，如果一開始螢幕左邊的數字為 50，螢幕右邊的數字為－16。請問要按幾次按鈕，螢幕兩邊的數字會互為相反數？ 34 次

某速食店一份套餐和一份兒童餐共需 180 元，曉萱和家人共點了 2 份套餐和 3 份兒童餐，合計為 430 元。請問一份套餐多少元？ 搭配習作 P58 基礎題 8 3 點餐問題 某速食店一份套餐和一份兒童餐共需 180 元，曉萱和家人共點了 2 份套餐和 3 份兒童餐，合計為 430 元。請問一份套餐多少元？ 解 因為想求出一份套餐多少元，所以假設套餐每份 x 元。

解 2 × 套＋3 ×兒＝430 x ？ 假設一份套餐 x 元。 一份套餐和一份兒童餐共需 180 元： 2 份套餐加 3 份兒童餐的總價錢等於 430 元： 因此列出一元一次方程式 2x＋3(180－x)＝430。 解 2x＋3（180－x）＝430 得 2x＋540－3x ＝430 －x＋540 ＝430 －x ＝－110 x ＝110 所以套餐每份 110 元。 2 × 套＋3 ×兒＝430 x ？

在例題 3 中，若我們假設兒童餐每份 y 元，請以此未知數 y 列出一元一次方程式，並求出兒童餐每份的售價，再算出套餐每份的售價。 兒童餐每份 70 元，套餐每份 110 元

由例題 3 及隨堂練習，我們發現假設每份套餐的售價為未知數 x，與假設每份兒童餐的售價為未知數 y，隨著假設對象的不同，列出來的方程式也不一樣，但是將方程式所求得的解代回原題目時，並不會影響最後的答案。 有時候題目中要求得的答案不只一個，這時我們可以任意選擇其中一個來當未知數 x。不過若能根據它們之間的數量關係仔細選擇，將會使方程式的列式更容易。

甲、乙、丙三人共同儲蓄，已知甲比乙少儲蓄 270 元，乙比丙多儲蓄100 元，三人共儲蓄 1520 元。請問甲、乙、丙三人各儲蓄多少元？ 搭配習作 P57 基礎題 5 4 三數和差問題 甲、乙、丙三人共同儲蓄，已知甲比乙少儲蓄 270 元，乙比丙多儲蓄100 元，三人共儲蓄 1520 元。請問甲、乙、丙三人各儲蓄多少元？

解 求甲、乙、丙三人各儲蓄多少元，可以先假設甲儲蓄x 元。 假設甲儲蓄 x 元。 甲比乙少儲蓄 270 元： 乙儲蓄的錢為（x＋270）元。 乙比丙多儲蓄 100 元： 丙儲蓄的錢為 （x＋270）－100＝x＋170（元） 三人共儲蓄 1520 元： 因此列出一元一次方程式 x＋(x＋270)＋(x＋170)＝1520。

解 x＋(x＋270)＋(x＋170)＝1520 得 3x＋440 ＝1520 3x ＝1080 x ＝360 甲儲蓄的錢為 360 元， 乙儲蓄的錢為 x＋270＝360＋270＝630 (元)， 丙儲蓄的錢為 x＋170＝360＋170＝530 (元)。 解 甲＋乙＋丙＝1520 x ？ ？

在例題 4 中，若假設乙儲蓄 y 元，請以此未知數 y 列出一元一次方程式，並求出甲、乙、丙三人各儲蓄多少元？ 甲、乙、丙三人中，乙和甲、丙都有直接的數量關係所以選擇乙當未知數較為方便。 在例題 4 中，若假設乙儲蓄 y 元，請以此未知數 y 列出一元一次方程式，並求出甲、乙、丙三人各儲蓄多少元？ (y－270)＋y＋(y－100)＝1520 甲儲蓄360元，乙儲蓄630元，丙儲蓄530元

選擇不同的未知數，有時候可能使我們不容易列出方程式或讓列出的方程式比較複雜，連帶影響了解題的難易度。我們來看看下面的例子：

將一袋桃子平均分給一群小朋友，若每人分 10 個，則剩 8 個；若每人分12 個，則不足 6 個。請問小朋友有多少人？桃子總共有多少個？ 搭配習作 P57 基礎題 6、7 5 三數和差問題 將一袋桃子平均分給一群小朋友，若每人分 10 個，則剩 8 個；若每人分12 個，則不足 6 個。請問小朋友有多少人？桃子總共有多少個？

解一 每人分10個 剩8個 10x＋8 每人分12個不足6個 12x－6 兩者都表示桃子的總數

設人數為 x 人 設小朋友有 x 人。 則 10x＋8 ＝12x－6 8＋6 ＝12x－10x 14 ＝2x 解一 設人數為 x 人 設小朋友有 x 人。 則 10x＋8 ＝12x－6 8＋6 ＝12x－10x 14 ＝2x 2x ＝14 x ＝7 所以小朋友有 7 人， 桃子總數為 10x＋8＝10×7＋8＝78（ 個）。 也可以這樣算： 桃子總數為 12x－6 ＝12×7－6 ＝78（個）

解二 每人分10個 剩8個 每人分12個不足6個 兩者都表示小朋友的總數

解二 也可以這樣算： 小朋友有 ＝ ＝7(人) 設桃子數為 x 個 設桃子有 x 個。 則＝ 兩邊同乘以 60 得 6（x－8）＝ 5（x＋6） 6x－48 ＝ 5x＋30 6x－5x ＝ 30＋48 x ＝ 78 所以桃子有 78 個， 小朋友有 ＝ ＝7（人）。

老師帶了一桶棒棒糖獎勵此次段考數學滿分的同學，若數學滿分的同學每人分 8 根棒棒糖，則剩下 3 根；若每人分 10 根棒棒糖，則不夠 5 根。請問此次段考數學滿分的同學有多少人？一桶棒棒糖有多少根？ 4 人，35 根棒棒糖

6 折扣問題 某廠牌的電腦若以定價的七五折賣出，則賠本2000 元；若改以定價的九折賣出，可賺 4000 元。 請問這臺電腦的定價是多少元？

解 定價的七五折賣出賠2000元 定價的九折 賣出賺4000元 兩者都表示電腦的成本

設這臺電腦的定價 x 元 則 ＝ 75x＋200000 ＝ 90x－400000 600000 ＝ 15x x＝ 40000 所以這臺電腦的定價是 40000 元。 解

某物品若以定價的七五折賣出，則賠本40元；若改以定價的九折賣出，可賺110元，請問此物品的成本是多少元？ 790元

有時我們求出方程式的解，代回原題目後會發現答案與現實生活或原題意不符，此時就表示這個應用問題沒有解。

搭配習作 P58 基礎題 8 7 年齡問題 某天杰倫問數學老師今年幾歲，老師說：「我的年齡比我兒子大28歲；8年後，我的年齡是他的5倍多4歲。」請幫杰倫算出老師今年幾歲？老師的兒子今年幾歲？ 解 老師(歲) 兒子(歲) 今年 x x－28 8年後 x＋8 (x－28)＋8

8年後，老師的年齡是 兒子年齡的5倍多4歲 設老師今年 x 歲， 則他的兒子今年為（x－28） 歲； 8 年後，老師為（x＋8） 歲， 解 設老師今年 x 歲， 則他的兒子今年為（x－28） 歲； 8 年後，老師為（x＋8） 歲， 他的兒子為（x－28）＋8＝x－20（歲）。 x＋8＝5（x－20）＋4 x＋8＝5x－100＋4 x＋8＝5x－96 104＝4x x＝26

因為年齡不可能為負數，所以這個問題沒有解。 所以老師今年為 26 歲， 老師的兒子今年為 x－28＝26－28＝－2（歲）， 因為年齡不可能為負數，所以這個問題沒有解。

飛兒說她的生日日期為月分的 15 倍，且其月分和日期的和為 32。請問飛兒的說法正確嗎？為什麼？ 不正確，因為解得其生日為 2 月 30 日，不合理

一元一次方程式應用問題之解題步驟： (1)先從問題的敘述中找出條件。 (2)選擇一個適當的未知數。 (3)把問題中提到的數量關係，以含文字符號的式子表示。

(4)依據數量關係列成一元一次方程式。 (5)依據所列的方程式求出未知數的值。 (6)依題意寫答。（注意是否符合題意，或有不合理的情形）

只要給我一個支點，我可以舉起整個地球。 —阿基米德（Archimedes，287B.C.-212B.C.）

3-3 自我評量 1.惠妹到文具店影印，影印費每張 2 元，加封面裝訂需 50 元。如果惠妹影印了 x 張，並加封面裝訂，一共付了 290 元。請問惠妹影印了多少張？ 120 張

2.奶茶每杯 x 元，若加珍珠粉圓則多加 5 元。已知柯子堅買了 5 杯奶茶，其中2 杯有加珍珠粉圓，一共要付 110 元。請問奶茶每杯多少元？ 20 元 3.楊若茹的年齡比老師小 20 歲，6 年後，老師的年齡是楊若茹年齡的 2 倍。請問楊若茹今年多少歲？ 14 歲

4.一群學生分配宿舍，如果 8 人住一間，則有 3 人無宿舍可住；如果 9 人住一間，則有一間只住 3 人。請問宿舍有多少間？學生有多少人？ 宿舍有 9 間，學生有 75 人

5.下表為某照相館的價目表，今逢周年慶，底片沖洗與照片沖洗皆打九折。逸臣帶了一卷底片去沖洗規格（ 3×5） 的照片若干張，打折後共付了 189 元。 請問逸臣洗了多少張 照片？ 35 張

6.眾所皆知，壁虎有斷尾求生的本能。有一天壁虎小白遇到了調皮的人類小新，嚇得斷掉尾巴趕緊逃走，小白回家後，發現牠斷掉的尾巴為 2 公分，且此時的身長 （尚未開始長出尾巴） 為原身長的23多 2 公分，請問小白原身長為多少公分？ 12 公分

代數之父—丟番圖 希臘 丟番圖（Diophantus of Alexandria， 200-284）被譽為代數學（algebra）的鼻祖。代數學不同於其他學科的最大特點是引用未知數，並對未知數運算。丟番圖引入未知數，創造未知數的符號，並架構方程式的思想體系。以下所引用的是丟番圖的墓誌銘，內容純粹是用數學問題的形式寫的 ：

設丟番圖活了x年 （用x表示各時段的年數） 5 4

請問： (1)丟番圖幾歲結婚？ (2)丟番圖幾歲當爸爸？ (3)丟番圖的兒子幾歲就去世了？ (4)丟番圖在幾歲時失去兒子？ x＝84（歲） 列式與求解 x＝84（歲）