第十四章 压杆稳定 §14-1 压杆的稳定概念 §14-2 细长压杆临界压力的欧拉公式 §14-3 欧拉公式的使用范围 临界应力总图 第十四章 压杆稳定 §14-1 压杆的稳定概念 §14-2 细长压杆临界压力的欧拉公式 §14-3 欧拉公式的使用范围 临界应力总图 §14-4 压杆的稳定计算 §14-5 提高压杆稳定性的措施

§14-1 压杆的稳定概念 问题的提出 拉压杆的强度条件为：  = ——  [  ] FN A (a)和(b)竟相差60倍，为什么？ §14-1 压杆的稳定概念 问题的提出 拉压杆的强度条件为：  = ——  [  ] FN A (a) (b) (a): 木杆的横截面为矩形（12cm), 高为3cm，当荷载重量为6kN 时杆还不致破坏。 (b): 木杆的横截面与(a)相同，高为 1.4m(细长压杆），当压力为 0.1KN时杆被压弯，导致破坏。 (a)和(b)竟相差60倍，为什么？ 细长压杆的破坏形式：突然产生显著的弯曲变形而使结构丧失工件能力，并非因强度不够，而是由于压杆不能保持原有直线平衡状态所致。这种现象称为失稳。

1907年加拿大圣劳伦斯河上的魁北克桥 （倒塌前正在进行悬臂法架设中跨施工）

1925年苏联莫兹尔桥在试车时因桥梁 桁架压杆失稳导致破坏时的情景。

这是1966年我国广东鹤地水库弧门由于大风导致 支臂柱失稳的实例。

1983年10月4日，高 54.2m、长17.25m、总重565.4KN大型脚手架局部失稳坍塌，5人死亡、7人受伤 。

平衡物体在其原来平衡状态下抵抗干扰的能力。 稳定性 平衡物体在其原来平衡状态下抵抗干扰的能力。 失 稳 不稳定的平衡物体在任意微小的外界干扰下的变化或破坏过程。 小球平衡的三种状态 稳定平衡 随遇平衡 不稳定平衡 （ 临界状态 ）

受压直杆平衡的三种形式 稳定平衡 随遇平衡 不稳定平衡 （ 临界状态 ）

电子式万能试验机上的压杆稳定实验

工程项目的压杆稳定试验

§14-2 细长压杆临界压力的欧拉公式 一、两端铰支细长压杆的临界载荷 当达到临界压力时，压杆处于微弯状态下的平衡 Fcr FN y

M (x) = Fcr y (x) d2y M (x) = –EI d x2 考察微弯状态下局部压杆的平衡: y Fcr FN y M (x) = Fcr y (x) M (x) = –EI d x2 d2y 二阶常系数线性奇次微分方程

Fcr y （二阶常系数线性齐次微分方程） 微分方程的解: y =Asinkx + Bcoskx 边界条件: FN y （二阶常系数线性齐次微分方程） 微分方程的解: y =Asinkx + Bcoskx 边界条件: y ( 0 ) = 0 , y ( l ) = 0 0 • A + 1 • B = 0 sinkl • A +coskl • B=0 B = 0 sinkl • A =0 若 A = 0，则与压杆处于微弯状态的假设不符 因此可得：

y =Asinkx + Bcoskx sinkl = 0 B = 0 sinkl • A =0 （n = 0、1、2、3……） y Fcr FN y B = 0 sinkl • A =0 sinkl = 0 （n = 0、1、2、3……）

——两端铰支细长压杆的临界载荷的欧拉公式 临界载荷: 屈曲位移函数 : 临界力 F c r 是微弯下的最小压力，故取 n = 1。且杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。 最小临界载荷: ——两端铰支细长压杆的临界载荷的欧拉公式

(a) (b) (a) F j x = A   b = 6 KN (b) = 0 . 1 KN

二、支承对压杆临界载荷的影响

临界载荷欧拉公式的一般形式: 一端自由，一端固定 :  ＝ 2.0 一端铰支，一端固定 :  ＝ 0.7 两端固定 :  ＝ 0.5 一端自由，一端固定 :  ＝ 2.0 一端铰支，一端固定 :  ＝ 0.7 两端固定 :  ＝ 0.5 两端铰支 :  ＝ 1.0

欧拉临界力公式 中的 Imin 如何确定 ？ 定性确定 Imin

例：图示细长圆截面连杆，长度　　　　，直径　　　　,材 料为Q235钢，E＝200GPa.试计算连杆的临界载荷 Fcr . 解：1、细长压杆的临界载荷 2、从强度分析

§14-3 欧拉公式的使用范围 临界应力总图 一、临界应力与柔度 ——压杆的柔度（长细比） ——惯性半径 压杆容易失稳 §14-3 欧拉公式的使用范围 临界应力总图 一、临界应力与柔度 ——临界应力的欧拉公式 ——压杆的柔度（长细比） 柔度是影响压杆承载能力的综合指标。 ——惯性半径 压杆容易失稳

二、欧拉公式的适用范围 （细长压杆临界柔度） 欧拉公式的适用范围: ，称大柔度杆（细长压杆 ） 例：Q235钢，

1、大柔度杆（细长压杆）采用欧拉公式计算。 临界压力： 临界压应力： 2：中柔度杆（中长压杆）采用经验公式计算。 ——直线型经验公式 　　 是与材料性能有关的常数。 材料 a(MPa) b(MPa) 硅钢 577 3.74 100 60 铬钼钢 980 5.29 55 硬铝 372 2.14 50 铸铁 331.9 1.453 松木 39.2 0.199 59 　 直线公式适合合金钢、铝合金、铸铁与松木等中柔度压杆。

三、临界应力总图：临界应力与柔度之间的变化关系图。 3：小柔度杆（短粗压杆）只需进行强度计算。 三、临界应力总图：临界应力与柔度之间的变化关系图。 s l ——直线型经验公式 P l 细长压杆。 中柔度杆 粗短杆 大柔度杆

中长杆—发生弹塑性屈曲 (s < p) 粗短杆—不发生屈曲，而发生屈服 (< s) 细长杆 细长杆—发生弹性屈曲 (p) 中长杆—发生弹塑性屈曲 (s < p) 粗短杆—不发生屈曲，而发生屈服 (< s)

四、注意问题： 中柔度杆——抛物线型经验公式 1、计算临界力、临界应力时，先计算柔度，判断所用公式。 是与材料性能有关的常数。 抛物线公式适合于结构钢与低合金钢等制做的中柔度压杆。 四、注意问题： 1、计算临界力、临界应力时，先计算柔度，判断所用公式。 2、对局部面积有削弱的压杆，计算临界力、临界应力时， 其截面面积和惯性距按未削弱的尺寸计算。但进行强度 计算时需按削弱后的尺寸计算。

例：一压杆长L=1.5m，由两根 56566 等边角钢组成，两端铰支，压力 F=150kN，角钢为Q235钢，试用欧拉公式或经验公式求临界压力和安全系数（σcr = 304 - 1.12λ ）。 解：查表：一个角钢： 两根角钢图示组合之后

所以，应由经验公式求临界压力。 σcr=304-1.12λ =304-1.12×89.3 =204（MPa） 临界压力 安全系数

§14-4 压杆的稳定计算 一、稳定条件 1、安全系数法: －稳定安全系数； －稳定许用压力。 －稳定许用压应力。 2、折减系数法: §14-4 压杆的稳定计算 一、稳定条件 1、安全系数法: －稳定安全系数； －稳定许用压力。 －稳定许用压应力。 2、折减系数法: －许用应力； －折减系数，与压杆的柔度和 　材料有关。

三、注意：强度的许用应力和稳定的许用应力的区别 二、稳定计算 1、校核稳定性；2、设计截面尺寸；3、确定外荷载。 三、注意：强度的许用应力和稳定的许用应力的区别 强度的许用应力只与材料有关；稳定的许用应力不仅与材料有关，还与压杆的支承、截面尺寸、截面形状有关。

例：图示起重机， AB 杆为圆松木，长 L= 6m，[ ] =11MPa，直径为： d = 0 例：图示起重机， AB 杆为圆松木，长 L= 6m，[ ] =11MPa，直径为： d = 0.3m，试求此杆的许用压力。（xy 面两端视为铰支；xz 面一端视为固定，一端视为自由） B 解：折减系数法 F1 W F2 1、最大柔度 x y 面内， z = 1.0 A x y z o z y 面内， y = 2.0

2、求折减系数 3、求许用压力

例：图示立柱，L=6m，由两根10号槽型A3钢组成，下端固定，上端为球铰支座，试问 a=？时，立柱的临界压力最大值为多少？ 解：1、对于单个10号槽钢，形心在C1点。 两根槽钢图示组合之后: （z1） 当　　　　 时最为合理： a=4.32cm

2、求临界力： 大柔度杆，由欧拉公式求临界力。

例：一等直压杆长 L=3.4 m，A=14.72 cm2，I=79.95 cm4， E =210 GPa，F =60 kN，材料为A3钢，两端为铰支座。 试进行稳定校核。 1、nst= 2； 2、〔σ〕=140 MPa 解：1、安全系数法：

2、折减系数法 查表——λ =140，φ=0.349；λ=150，φ=0.306。

§14-5 提高压杆的稳定的措施 1、选择合理的截面形状： 约束越牢固 2、改变压杆的约束形式： 3、选择合理的材料： §14-5 提高压杆的稳定的措施 1、选择合理的截面形状： 约束越牢固 2、改变压杆的约束形式： 3、选择合理的材料： 但是对于各种钢材来讲，弹性模量的数值相差不大。 （1）大柔度杆——采用不同钢材对稳定性差别不大； （2）中柔度杆——临界力与强度有关，采用不同材料 对稳定性有一定的影响； （3）小柔度杆——属于强度问题，采用不同材料有影响。

4、减小压杆的长度。 5、整个结构的综合考虑。