北京师范大学珠海分校 国际特许经营学院与不动产学院 2004-2005学年第二学期 欧阳顺湘 2005.5.11 大学文科数学 之 线性代数与概率统计 北京师范大学珠海分校 国际特许经营学院与不动产学院 2004-2005学年第二学期 欧阳顺湘 2005.5.11
随机变量的方差 Variance
上一讲我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征. 但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的.
例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图： 甲仪器测量结果 测量结果的均值都是 a 乙仪器测量结果 较好 若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？ 因为乙仪器的测量结果集中在均值附近
又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图： 中心 乙炮 甲炮射击结果 乙炮射击结果 你认为哪门炮射击效果好一些呢? 因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 .
为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度. 这个数字特征就是我们这一讲要介绍的 方差
D(X)=E[X-E(X)]2 (1) 为X的方差. 一、方差的定义 设X是一个随机变量，若E[(X-E(X)]2<∞，则称 D(X)=E[X-E(X)]2 (1) 为X的方差. 采用平方是为了保证一切 差值X-E(X)都起正面的作用 方差的算术平方根 称为标准差 由于它与X具有相同的度量单位，在实际问题中经常使用.
D(X)=E[X-E(X)]2 方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度 . 若X的取值比较集中，则方差较小； 若X的取值比较分散，则方差较大 . 若方差D(X)=0,则r.v X 以概率1取常数值 .
由定义知，方差是随机变量X的函数 g(X)=[X-E(X)]2的数学期望 . X为离散型， P(X=xk)=pk X为连续型， X~f(x)
例 令X 为掷一枚均匀骰子出现的点数, 求 DX . X 的分布列是
If X is uniformly distributed on [0, 1], Find its variance. Generally, if X is uniformly distributed on [a,b], then its variance is
二、计算方差的一个简化公式 D(X)=E(X2)-[E(X)]2 展开 证：D(X)=E[X-E(X)]2 =E{X2-2XE(X)+[E(X)]2} 利用期望 性质 =E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2 =E(X2)-[E(X)]2 请自己用此公式计算常见分布的方差.
If X is uniformly distributed on [0, 1], Find its variance.
练习 The time between arrivals is an exponentially distributed random variable X with density function Find the expected value of the time between arrivals.
例1 设r.v X服从几何分布，概率函数为 P(X=k)=p(1-p)k-1, k=1,2,…，n 其中0<p<1,求D(X) 无穷递缩等比 级数求和公式 解： 记q=1-p 求和与求导 交换次序
+E(X) D(X)=E(X2)-[E(X)]2
三、方差的性质 X1 与X2不一定独立时， D(X1 +X2 )=？ 请思考 1. 设C是常数,则D(C)=0; 2. 若C是常数,则D(CX)=C2 D(X); 3. 若X1与X2 独立，则 D(X1+X2)= D(X1)+D(X2); 可推广为：若X1,X2,…,Xn相互独立,则
4. D(X)=0 P(X= C)=1， 这里C=E(X) 下面我们用一例说明方差性质的应用 .
设X~B(n,p), 则X表示n重贝努里试验中的 例2 二项分布的方差 设X~B(n,p), 则X表示n重贝努里试验中的 “成功” 次数 . 若设 i=1,2，…，n 则 是n次试验中“成功” 的次数 E(Xi)=P(Xi=1)= p, E(Xi2)= p, 故 D(Xi)= E(Xi2)-[E(Xi)]2 = p- p2= p(1- p)
D(Xi)= E(Xi2)-[E(Xi)]2 = p- p2= p(1- p) i=1,2，…，n 由于X1,X2,…,Xn相互独立 于是 = np(1- p)
练习 Page 154 11 设X 服从拉普拉斯分布，概率密度函数为 求 EX, DX.