实验六 利用Mathematica求函数极值 实验目的：综合利用求导，解方程及确定极值的相关知识求一元及多元函数极值。 预备知识： (一)极值概念及确定极值的必要条件、充分条件 (二)最值与极值的关系，最值的确定 (三)Mathematica中求函数极值相关命令

边学边做： (一)用命令FindMinimum求极小值： FindMinimum[f[x],{x,x0}] FindMinimum[f[x,y],{x,x0},{y,y0}] （1）先作图，观察之后求函数 在 [-3，3]内的极值 （2）作图之后求函数 的极值 (二）用求驻点的方法求函数极值 (1)求函数 的极值 (2)求函数 的最值

（三）Solve，Which，Print，Plot综合应用求极值 （1）求函数 的极值、拐点，描绘该函数图像 （2）设函数 在 两点处都取得极值，试确定 的值，并问这时 在 处是取得极大值还是极小值？

学生实验： 一、基础部分 1．求函数 在[5，20]上的极值 2．求函数 的单调区间。 3. 求函数 的极值点与极值.

二、应用部分 (1)当a为何值时, 在 处有极值,求此极值,并说明是极大值还是极小值. (2)若函数 在x=-1处有极大值为8,在x=2处有极小值为-19,求a,b,c,d. (3)把一根直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁,问矩形截面高h与宽b如何选择时,才能使梁的抗弯截面系数 达到最大? (4)求表面积为a2且体积最大的长方体体积.

实验六内容详解： 一、利用命令FindMinimum求极小值 1、命令格式 一元函数：FindMinimum[f[x],{x,x0}] 功能：以 为初始条件，求函数 的极小值。 多元函数：FindMinimum[f[x,y],{x,x0},{y,y0}] 功能：以 ， 为初始条件，求函数 的极小值。

2、边学边做 （1）求函数 在[-3，3]内的极值 解 自定义函数 f[x_]:=x^4-2*x^2; 作函数图像 Plot[f[x],{x,-3,3},AxesLabel->{x,y}] 因而可确定函数在[-3，3]内有两个极小值，相应选择初始值求得函数在不同区间内的极小值。 FindMinimum[f[x],{x,-2}] \输出结果为-1，x->-1 FindMinimum[f[x],{x,0.5}]\输出结果为1，x->1 本题还有一极大值，Mathematics中没有提供求函数极大值的命令，因而需作转化 FindMinimum[-f[x],{x,-0.5}] \输出结果为0，x->0

（2）求函数 的极值 解 作函数图形（作法见第二节） FindMinimum[x^2+y^2-x*y-3x-2y+3,{x,0.5},{y,0.5}] \输出结果为{-3.33333,{x->2.66667,y->2.33333}}

二、用求驻点的方法求函数极值 边学边做 (1)求函数 的极值 解 自定义函数f[x_]:=4*(x+1)/(x^2+1); Df=f’[x];Df2[x_]:=f’’[x]; 解方程求驻点 NSolve[Df==0,x] 输出结果为x1=-2.41421，x2=0.414214 用二阶导数判别极值 f’’[-2.41421]=0.242643>0，函数有极小值 f[-2.41421] \输出结果-0.828427 f’’[0.414214]=-8.24263<0，函数有极大值 f[0.414214] \输出结果4.82843 可作图验证

(2)求函数 的最值 解 自定义函数 f[x_,y_]:=x^3-y^3+3*x^2+3*y^2-9*x; 求驻点Solve[{D[f[x,y],x]==0,D[f[x,y],y]==0}] \输出结果为{{x->-3,y->0},{x->-3,y->2},{x->1,y->0},{x->1,y->2}} 比较各点函数值 f[x,y]/.% \输出结果为 {27，31， -5，-1} 可求得最值为31

三．Solve，Which，Print，Plot综合应用求极值 边学边做 1．求函数 的极值、拐点，描绘该函数图像 解 自定义函数 f[x_]:=x^3-3*x^2-9*x+5; 画图可观察函数的主要性态Plot[f[x],{x,-5,5}] 解方程求驻点并赋值 m=Solve[f’[x]==0,x]; \找驻点结果为{x->-1},{x->3} 取得m中的数值 x1=x/.m[[1]];x2=x/.m[[2]]; 计算二阶导数值以判别能否取得极值p1=f’’[x1];p2=f’’[x2]; 判别并输出结果 Which[p1==0,Print[失效]，p1>0，Print[“f[-1]”极小值]，p1<0，Print[“f[-1]”极大值]]

n= Solve[f’’[x]==0,x]; \ {x->1} 取得n中的数值y1=x/.n[1] 找二阶导数为零的点并赋值 n= Solve[f’’[x]==0,x]; \ {x->1} 取得n中的数值y1=x/.n[1] 计算x=1近旁两点二阶导数值以判别能否成为拐点 q=f’’[y1-0.1]*f’’[y1+0.1]; 判别并输出结果 Which[q>0，Print[无拐点]，p<0，Print[“(“1”,”f[1]”)”,拐点]] 注：（1）Which命令 格式：Which[条件1，表达式1，条件2，表达式2，…，条件n，表达式n] 执行方式为依次检验条件，得到第一个条件为真的语句时，将对应表达式的值输出。 （2）Print命令 格式：Print[表达式1，表达式2，…] 执行方式为依次输出表达式的值，若想原样输出表达式或字符，需加引号成为字符串。