理 论 力 学

理论力学 第十二章 动量矩定理

第十二章 动量矩定理 质点 质点系 动量定理： 动量的改变→外力(外力系主矢) 质心运动定理：质心的运动→外力(外力系主矢) 动量定理 第十二章 动量矩定理 质点 质点系 动量定理： 动量的改变→外力(外力系主矢) 质心运动定理：质心的运动→外力(外力系主矢) 动量定理 建立了作用力与动量变化之间的关系，揭示了质点系机械运动规律的一个侧面（平动效应）。 例如，圆轮绕质心转动时，无论它怎样转动，圆轮的动量都是零，动量定理不能说明这种运动规律。

第十二章 动量矩定理 动量矩定理: 则是从另一个侧面，揭示出质点系相对于某一定点或质心的运动规律（转动效应）。 第十二章 动量矩定理 动量矩定理是建立质点和质点系相对于某固定点(或固定轴)的动量矩的改变与外力对同一固定点(或固定轴)之矩两者之间的关系。 动量矩定理: 则是从另一个侧面，揭示出质点系相对于某一定点或质心的运动规律（转动效应）。

第十二章 动量矩定理 §12-1 质点和质点系的动量矩 §12-2 动量矩定理 §12-3 刚体绕定轴的转动微分方程 第十二章 动量矩定理 §12-1 质点和质点系的动量矩 §12-2 动量矩定理 §12-3 刚体绕定轴的转动微分方程 §12-4 刚体对轴的转动惯量 §12-5 刚体的平面运动微分方程

第十二章 动量矩定理 【本章重点内容】 质点和质点系的动量矩计算 质点和质点系的动量矩定理 动量矩守恒定律 定轴转动的转动惯量计算 第十二章 动量矩定理 【本章重点内容】 质点和质点系的动量矩计算 质点和质点系的动量矩定理 动量矩守恒定律 定轴转动的转动惯量计算 刚体绕定轴的转动微分方程

第十二章 动量矩定理 §12-1 质点和质点系的动量矩

§12-1 质点和质点系的动量矩 一、质点的动量矩 对点O的动量矩：质点的动量对固定点O之矩。 矢量 大小: 方向: A B 矢量 y x z O 大小: 方向: 垂直于矢径与动量形成的平面； 指向: 符合右手法则； 单位: kg·m2/s

§12-1 质点和质点系的动量矩 一、质点的动量矩 对z轴的动量矩：质点动量在Oxy平面内的投影对z轴之矩。 代数量 A z 代数量 B 正负:迎着z轴看，逆时针为 正，顺时针为负。 O y x A' B' 单位:kg·m2/s 质点对点O的动量矩与对轴z的动量矩之间的关系: （12-2）

可将全部质量集中于质心，做为一个质点计算其动量矩。 §12-1 质点和质点系的动量矩 二、质点系的动量矩 对点的动量矩 （12-3） 对轴的动量矩 （12-4） 1、刚体平移 平移刚体对固定点(或固定轴)的动量矩等于刚体质心的动量对该固定点(或固定轴)的动量矩。 （12-4） 刚体平动 可将全部质量集中于质心，做为一个质点计算其动量矩。

§12-1 质点和质点系的动量矩 二、质点系的动量矩 A B z 2、刚体绕定轴转动 转动惯量 定轴转动动量矩 （12-6）

第十二章 动量矩定理 §12-2 动量矩定理

§12-2 动量矩定理 一、质点的动量矩定理 设O为定点， 质点对定点O 的动量矩为 作用力F 对定点O 的矩为 z y x O （12-7）

§12-2 动量矩定理 一、质点的动量矩定理 质点的动量矩定理： 质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点之矩。 （12-7） 质点的动量矩定理： 质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点之矩。 质点对某定轴的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一轴之矩 （12-8）

§12-2 动量矩定理 二、质点系的动量矩定理 作用于第i个质点的力有内力Fii和外力Fie 由质点的动量矩定理得： = 0 （12-9）

§12-2 动量矩定理 二、质点系的动量矩定理 内力不改变质点系的动量矩 质点系动量矩定理： （12-9） 质点系动量矩定理： 质点系对某定点O 的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于质点系的外力对O点之矩的矢量和。 质点系对某定轴的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对同一轴之矩的代数和。 （12-10）

§12-2 动量矩定理 例12-1 高炉运送矿石用的卷扬机。已知鼓轮半径R,质量m1,轮绕O轴转动;小车和矿石总质量为m2。作用在鼓轮上的力偶矩为M,鼓轮对转轴的转动惯量为J,轨道倾角θ。不计绳质量和各处摩擦,求小车的加速度a。 解：⑴ 取小车与鼓轮为 研究对象,画受力图 ⑵ 运动分析 ⑶ 系统对O轴的动量矩 系统外力对O轴的力矩

§12-2 动量矩定理 例12-1 已知轮半径R,质量m1,轮绕O轴转动;小车和矿石总质量为m2，鼓轮上的力偶矩为M,鼓轮对转轴的转动惯量为J,轨道倾角θ。不计绳质量和各处摩擦,求小车的加速度a。 ⑷ 由质点系对O轴的动量矩定理得

§12-2 动量矩定理 三、动量矩守恒定律 质点动量矩守恒定律： 如果作用于质点的力对某定点O之矩恒等于零,则质点对该点的动量矩保持不变。 如果作用于质点的力对某定轴之矩恒等于零，则质点对该轴的动量矩保持不变。

§12-2 动量矩定理 三、动量矩守恒定律 质点系动量矩守恒定律： 如果作用于质点系的外力对某定点O的主矩恒等于零，则质点系对该点的动量矩保持不变。 如果作用于质点系的外力对某定轴z之矩的代数和恒等于零，则质点系对该轴的动量矩保持不变。

§12-2 动量矩定理 三、动量矩守恒定律 人造卫星绕地球运动 恒矢量 r 和mv始终在同一平面内， 方向始终不变 O 恒矢量 r 和mv始终在同一平面内， 方向始终不变 质点对点O的动量矩的大小不变 人造卫星绕地球运动时,离地心近时速度大,离地心远时速度小。

§12-2 动量矩定理 例12-2 滑轮半径为R,质量不计,猴子,重物质量均为m,初始静止。当猴子以速度u相对绳向上爬时，重物如何运动（速度） 解：⑴ 取系统为研究对象,画受力图 ⑵ 运动分析 O 设重物速度为v 猴子速度 ⑶ 外力对O轴的力矩 ⑷ 由质点系动量矩守恒定律得

第十二章 动量矩定理 §12-3 刚体绕定轴的转动微分方程

§12-3 刚体绕定轴的转动微分方程 一、刚体绕定轴转动的微分方程 主动力: 约束力: 刚体对于z轴的转动惯量为Jz 定轴转动刚体对转轴的动量矩 由动量矩定理 得 （12-11）

§12-3 刚体绕定轴的转动微分方程 一、刚体绕定轴转动的微分方程 刚体绕定轴的转动微分方程 刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于刚体的主动力对该轴之矩的代数和。 转动惯量 — 刚体转动时惯性的度量 质点的运动微分方程 形式相同

可见它们是相似的，因此求解问题的方法也是相似的。 §12-3 刚体绕定轴的转动微分方程 二、刚体绕定轴转动的分析 1）作用于刚体的主动力对转轴的矩使刚体的转动状态发生变化； 2）如果作用于刚体的主动力对转轴的矩的代数和等于零，则刚体作匀速转动； 如果主动力对转轴的矩的代数和为恒量，则刚体作匀变速转动； 3）在一定的时间间隔内，当主动力对转轴的矩相同时，刚体的转动惯量越大，转动状态变化越小；转惯量越小，转动状态变化越大。这就是说，刚体转动惯量的大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。 转动惯量是刚体转动时惯性的度量 把刚体的转动微分方程与质点的运动微分方程加以对照: 可见它们是相似的，因此求解问题的方法也是相似的。

§12-3 刚体绕定轴的转动微分方程 例12-3 复摆质量为m ,C为其质心, OC=l , 摆对悬挂点O的转动惯量为JO,求微小摆动的周期。 解：⑴ 取复摆为研究对象,画受力图 ⑵ 由刚体转动微分方程得 O C 标准非线性方程 小扰动时， 线性方程 通解

§12-3 刚体绕定轴的转动微分方程 例12-3 复摆质量为m ,C为其质心, OC=l , 摆对悬挂点O的转动惯量为JO,求微小摆动的周期。 初相位： 由初始条件确定 固有圆频率： （2π时间内摆动次数） 固有频率： （单位时间内摆动次数） 周期：

§12-3 刚体绕定轴的转动微分方程 例12-4 飞轮对O轴的转动惯量为JO,以角速度ω0绕O轴转动。制动时,闸块给轮以正压力FN 。已知闸块与轮间滑动摩擦系数为f ,轮的半径Ｒ,忽略轴摩擦。求制动所需的时间ｔ。 解：⑴ 取飞轮为研究对象,画受力图 ⑵ 由刚体转动微分方程得 O ⑶ 积分，由题知确定积分上下限

§12-3 刚体绕定轴的转动微分方程 例12-5 图示传动轴系,轴Ⅰ,Ⅱ的转动惯量为JⅠ,JⅡ,传动比为i12=R2/R1。轴Ⅰ上作用主动力矩M1,轴Ⅱ上有阻力矩M2。不计摩擦,求轴Ⅰ的角加速度。 Ⅱ Ⅰ 解:⑴ 分别以轴Ⅰ、Ⅱ（带轮）为 研究对象,画受力图 ⑵ 运动分析

§12-3 刚体绕定轴的转动微分方程 例12-5 已知轴Ⅰ,Ⅱ的转动惯量为JⅠ,JⅡ,传动比为i12=R2/R1。轴Ⅰ上主动力矩M1,轴Ⅱ上阻力矩M2。求轴Ⅰ的角加速度。 Ⅱ Ⅰ ⑶ 由刚体转动微分方程得

第十二章 动量矩定理 §12-4 刚体对轴的转动惯量

设杆长为l，单位长度的质量为mi，杆的质量为m §12-4 刚体对轴的转动惯量 一、简单匀质几何形体的转动惯量 刚体对轴的转动惯量 ( kg·m2 ) （12-12） 1、均质细直杆对一端的转动惯量 设杆长为l，单位长度的质量为mi，杆的质量为m dx x l z O z轴的转动惯量为 （12-13）

§12-4 刚体对轴的转动惯量 一、简单匀质几何形体的转动惯量 2、均质薄圆环对中心轴的转动惯量 3、均质圆板对中心轴的转动惯量 z R z O mi （12-14） 3、均质圆板对中心轴的转动惯量 R z O dri ri （12-15）

§12-4 刚体对轴的转动惯量 二、回转半径（惯性半径） （12-16） 细直杆: 均质圆环: 均质圆板:

§12-4 刚体对轴的转动惯量 三、平行轴定理 刚体对任一轴的转动惯量，等于刚体对过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。 （12-18） zc 轴 — 过质心且与z 轴平行的轴； d — z轴与zc 轴之间的距离。

§12-4 刚体对轴的转动惯量 三、平行轴定理 证明: x z y,y' x' z' O' d O, C mi

§12-4 刚体对轴的转动惯量 例12-6 质量为m ,长为l的均质细直杆,已知JzA =ml2/3,求此杆对于垂直于杆轴且过B和质心C的轴的转动惯量。 解： C 由平行轴定理 A B

§12-4 刚体对轴的转动惯量 例12-7 钟摆由质量为m1的均质细杆和质量为m2的均质圆盘组成,杆长为l ,圆盘直径为d。求摆对O轴的转动惯量。 解： O C

§12-4 刚体对轴的转动惯量 例12-8 质量为m的均质空心圆柱体外径为R1 , 内径为R2 ,求对于中心轴z的转动惯量。 解：

第十二章 动量矩定理 §12-5 刚体的平面运动微分方程

质点系相对于某一点的动量矩，一般是指质点系在绝对运动中对该点的动量矩，即按绝对速度计算的动量矩。 §12-5 刚体的平面运动微分方程 一、质点系相对于质心的动量矩 质点系相对于某一点的动量矩，一般是指质点系在绝对运动中对该点的动量矩，即按绝对速度计算的动量矩。 以质心为基点的平移坐标系中，以相对速度计算对质心的动量矩，和在绝对坐标系中以绝对速度计算对质心的动量矩，其结果相同。 y' x' z' C O y x z （12-20） （12-21）

§12-5 刚体的平面运动微分方程 二、质点系对任意点的动量矩 质点mi对任意点O的矢径 绝对速度为 则质点系对O点的动量矩为 z z' y' x' z' C O y x z 质点mi对任意点O的矢径 绝对速度为 则质点系对O点的动量矩为 （12-22）

§12-5 刚体的平面运动微分方程 三、质点系相对于质心的动量矩定理 质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩。 （12-23） y' x' z' C O y x z

§12-5 刚体的平面运动微分方程 四、刚体平面运动微分方程 随质心的平动: 质心运动定理 绕质心的转动: 刚体相对于质心的动量矩 运动学 :随基点的平动 + 绕基点的转动 刚体平面运动 动力学 :随质心的平动 + 绕质心的转动 随质心的平动: y' x' C O y x 质心运动定理 绕质心的转动: 刚体相对于质心的动量矩 相对于质心的动量矩定理 （12-23）

§12-5 刚体的平面运动微分方程 四、刚体平面运动微分方程 刚体的平面运动微分方程 （12-25） 刚体平面运动微分方程的坐标投影式

§12-5 刚体的平面运动微分方程 四、刚体平面运动微分方程 刚体的平面运动微分方程 （12-25）

§12-5 刚体的平面运动微分方程 例12-9 半径为r,质量为m 的圆轮沿水平直线滚动,与地面的静滑动摩擦因数为fs 。轮惯性半径为ρc ,作用于轮的力偶矩为M ,求圆轮纯滚动的轮心加速度和保证圆轮纯滚动的M。 解：⑴ 取圆轮为研究对象,画受力图 x y ⑵ 列刚体平面运动微分方程 C ⑶ 运动分析 滚而不滑

§12-5 刚体的平面运动微分方程 例12-9 半径为r,质量为m 的圆轮沿水平直线滚动,与地面的静滑动摩擦因数为fs 。轮惯性半径为ρc ,作用于轮的力偶矩为M ,求圆轮纯滚动的轮心加速度和保证圆轮纯滚动的M。 C x y 圆轮不滑动

【本章小结】 一、质点和质点系的动量矩计算 二、质点和质点系的动量矩定理

【本章小结】 三、刚体绕定轴的转动微分方程 刚体对轴的转动惯量 惯性半径 细直杆： 均质圆板： 均质圆环： 均质球： ( kg·m2 )

【本章小结】 四、刚体的平面运动微分方程

【本章作业】 作业： 12-1、 12-2 、12-5、 12-6、 12-10

第十二章 动量矩定理 本章结束