描述統計 Descriptive Statistics 量化研究法二 統計原理與分析技術 第2章 描述統計 Descriptive Statistics

描述統計概說 描述統計的定義 一套用以整理、描述、解釋資料的系統方法與統計技術 數據從初始狀態（raw data）成為可被理解的統計量數（statistic）的一套操作程序 透過統計量數來描述大量資料，並作為彼此溝通的共同符號語言

量化數據的處理 統計圖表 描述統計量 運用次數分配表來整理並描繪變數數值分佈情形 利用統計圖表來表現出數據的特性與分佈情形 統計量（statistic）：由樣本所獲得的原始資料所計算推導出的統計量數 當統計量由樣本所獲得的數據計算得出，是描述樣本數據特性的最佳指標，通常以英文字母表示，例如 與s。 當統計量由母體數據，描述統計所產生的量數稱為參數或母數（parameter），用以描述母體數據的分佈特性，通常以希臘字母表示，例如μ與σ。

次數分配 功能 傳統作法 提供原始資料的基本資訊 作為資料檢查的判讀工具 提供統計技術選擇與如何分析的線索 將原始資料進行初步分類 以人工劃記方式編碼（coding），具有類別、次數、累積次數、百分比等訊息的次數分配表 基本欄位 變項數值（value）：位置於左側 數值次數（frequencies）：位置於右側

以人工劃記所製作的次數分配表

SPSS製作的次數分配表

分組次數分配表 組數以10至20組之間為宜，組距則以2、5、10三個可將10整除的因數為宜。 組數越多表格越大，但是資訊較豐富，組數越少表格越精簡，但遺失的資訊較多。

次數分配各相關名詞 ■次數分配（frequency distribution）： 由某個變項各數值（各組）的次數所組成的分配，如前表的第一欄。 ■相對次數分配（relative frequency distribution）： 由某個變項各數值（各組）的次數除以總數（稱為相對次數）所組成的分配。如果把相對次數乘以100%，即為百分比分配，如前表的第二欄。 ■有效百分比分配（valid percentage frequency distribution）： 由某個變項各數值（各組）次數除以扣除遺漏值的次數乘以100％後的分配，如前表的第三欄。（在沒有遺漏值的情況下，有效百分比分配等於百分比分配） ■累積次數分配（cumulative frequency distribution）： 由某個變項各數值（各組）的次數往上或往下累計所組成的分配。 ■累積相對次數分配（cumulative relative frequency distribution）： 由某個變項各數值（各組）的次數除以總數，以往上或往下累計所組成的分配。如果把相對次數乘以100%後再累計，即為累積百分比分配，如前表的第四欄。

集中量數（measures of central location） 用以描述一組數據或一個分配集中點的統計量數 一個能夠描述數據的共同落點的指標。 常用的集中量數有平均數、中位數及眾數

平均數 平均數（mean；以M表示） 取某一變項的所有數值的總和除以觀察值個數所得到的值 因為是將數據直接以數學算式來計算平均值，又稱為算術平均數（arithmetic mean）。 母體資料得出的平均數需以希臘字μ表示 樣本資料得出的平均數以表示

中位數 中位數（median；或以Mdn表示） 又稱為中數、百分等級為50的百分位數（P50）或第二四分位數（Q2; second quartile）。 將某一個變項的數據依大至小或由小至大排列，取位居最中間、或能夠均勻對分全體觀察值的分數 在中位數之上與之下，各有50%的觀察值。 50、55、60、60、60、65、66、70、90 50、55、60、60、60、65、66、70、90 、95 62.5

眾數 眾數（mode；或以Mo表示） 一組分數中，出現次數最多的一個分數 一組數據中最典型（typical）的數值或次數分配最高點所對應的分數 是各集中量數當中，最容易辨認的量數 一個分配有兩個分數具有相同的最高次數，此時即出現了雙眾數，稱為雙峰分配（bimodal distribution） 50、55、60、60、60、65、66、70、90

集中量數的特性與優缺點比較

三種集中量數與分配形狀的關係

變異量數（measures of variation）或離散量數 用來描述觀察值在某一個變項上的分數分散情形的統計量 描述統計中，集中量數必須搭配變異量數，才能反應一組數據的分佈特徵 常用的變異量數包括全距、四分差、變異數及標準差

全距 全距（range） 一組分數中最大值（Xmax）與最小值（Xmin）之差 是一群分數變異情形最粗略的指標 全距容易計算，適用性高，可以應用在名義變項與順序變項，來求出變項當中類別的多寡。 缺點是不精確也不穩定，無法反應一個分配的每個數值的狀態。

四分差（semi-interquartile range; QR） 是一組數據當中的第三四分位數（區隔高分端的前25%的分數，簡稱Q3）與第一四分位數（區隔低分端的後25%的分數，簡稱Q1）距離的一半 中間百分之五十的樣本分數差距的二分之一

離均差與平方和 離均差 離均差平方和（sum of squares; SS） 一組數據中，各分數與平均數的距離，通常以小寫的x來表示 當離均差為正值時，表示分數落在平均數的右方 離均差為負值時，表示分數落在平均數的左方 平均數是每一個分數加總後的平均值，為一組分數的重心位置 離均差平方和（sum of squares; SS） SS的概念可以類比為面積的概念，表示分數與平均數變異的面積和 deviation score= x =(X - μ)

變異數 標準差 以或MS（mean square）表示 為平均化的離均差平方和 變異數的開方，以σ表示。標準差或變異數越大者，表示該分配的變異情形較大。

變異數的不偏估計數（unbiaed estimator） 標準差與變異數的不偏估計數的主要差別在於分母項為N-1而非原來的N N-1稱為自由度（degree of freedom；df），表示一組分數當中，可以自由變動的分數的個數。 在離均差的計算上，自由度為樣本數減1，表示在N個觀察值中，只有N-1個數字可以自由運用於離均差的計算。

變異係數（coefficient of variation） 可去除單位對於變異量數放大作用 變異係數（coefficient of variation）來去除單位對於變異量數放大作用 CV值是把標準差除以平均數，是一個沒有單位的比值，也稱為相對差或相對差異係數（coefficient of relative variability） 變異係數是用來反應各變項變異狀況的良好指標

變異量數的特性與優缺點比較

偏態 描述一個變項的對稱性（symmetry）的量數稱為偏態係數 不對稱的資料稱為偏態資料，依其方向可分為負偏（negatively skewed）（或左偏，即左側具有偏離值）、正偏（positively skewed）（或右偏，即右側具有偏離值）與對稱（symmetrical）三種情形

三級動差（m3）可反應偏態情形

地板與天花板效應 地板效應（floor effect） 天花板效應（ceiling effect） 指數據多數集中在偏低的一端，但在高分端則有極端值，分數不容易突破低分端，但會往高分端延伸，彷彿有一個地板（或真的存在一個低分限制條件）阻擋了數據往低分移動。 由於地板阻隔作用，地板效應常伴隨正偏態現象。 天花板效應（ceiling effect） 則與負偏態有關，是指數據多數集中在偏高的一端，但在低分端則有極端值，分數不容易突破高分端，彷彿有一個天花板（或真的存在一個高分限制條件）阻擋了數據往高分移動。

峰度 是指一個次數分配集中部份的陡峭程度。 兩個分配都是對稱的單峰鐘型曲線時，並不一定具有一樣的平坦或陡峭形態（峰度）。 一個對稱的鐘型分配，變項的數值會集中於眾數所在位置，如果集中於眾數附近的分數多，分散於兩側的分數少，將形成高狹峰（leptokurtic）的分配 當集中於眾數附近的分數較少，兩側分數多，則形成低闊峰（platykurtic）。 在常態分配時的理想峰度稱為常態峰（mesokurtic）。

g2係數為標準分數取四次方後的平均值。值得注意的是 小樣本時，g2也非不偏估計數，因此求樣本的峰度時多以來計算峰度。隨著樣本數的擴大，g2與數值逐漸接近而無差異。

偏態與峰度係數的特性 偏態與峰度係數是一種標準分數的概念，因此不受分配變異程度的影響而可相互比較 偏態與峰度係數具有標準分數的特性，因此均以0為常態值，也就是說，當g1與g2（或不偏估計係數）為0或接近0之時，次數分配可以說是一個對稱、不偏的常態峰分配 偏態與峰度係數在正負0.5到1之間是為偏態或特殊峰度，超過正負1的偏態與特殊峰度情況即屬嚴重。嚴重的偏態與峰度會影響統計分析的運用。

在視窗版SPSS中，可以用來建立次數分配與計算描述統計量的功能指令很多： 分析→描述性統計→次數分配表 分析→描述性統計量 分析→報表→觀察值摘要 其他在各種統計分析功能中，亦可報告描述統計量的資料。 有關百分等級的換算，可利用轉換當中的等級觀察值來執行。