绪论（二） 苏卫锋 复旦大学物理教学实验中心 http://Phylab.fudan.edu.cn 基础物理实验 绪论（二） 苏卫锋 复旦大学物理教学实验中心 http://Phylab.fudan.edu.cn

爱因斯坦在致斯威泽（J.E.Switzer）的 信中谈到科学的起源： “西方科学的发展是以两个伟大的成就为基础的：希腊哲学家（在欧几里得几何学中）发明了形式逻辑体系，以及（在文艺复兴时期）发现通过系统的实验有可能找出因果关系。在我看来，人们不必对中国圣贤没能做出这些进步感到惊讶。这些发现竟然被做出来了才是令人惊讶的。” 杨振宁破解李约瑟难题时，把原因进一步归结为《易经》的影响。他认为近代科学没有在中国产生的原因有5条，其中2条与《易经》的影响有关：中国传统里面只有归纳法而无推演法（即演绎法）的思维方法；“天人合一”的观念。归纳与推演都是近代科学中不可缺少的基本思维方法，但是贯穿《易经》的精神，都是归纳法，而没有推演法。近代科学的一个特点就是把自然规律与社会规律分开，而《易经》的“天人合一”观念却将天道、地道与人道混为一谈。（http://wenku.baidu.com/link?url=wXJCYN4J9ajEiDZSVfjS_-ja0dxKNz4qFhIocMBRY-b0485ntOkLjJl9QnS_aSL6UMnIvnaVo5OaI2tioFY3mb5_cgLg9s6Jp4i6uWc-Z8u）

有效数字很重要！ 测量一个物体的厚度 2cm 2.0cm 2.00cm 2.000cm 这些表达式不一样

学会估算很重要！ 人大约有多少根头发？ 1103根 1104根 1105根 1106根

对计算结果的合理性 要有判断 用X光测量NaCl晶体晶面间距的一个典型测量曲线 k 1 2 3  / nm 0.0632 0.0711 角度/  6.37 7.18 12.88 14.53 19.57 22.14 d / nm 0.2848 0.2844 0.2835 0.2834 0.2830 k 1 2 3  / nm 0.0711 0.0632 角度/  6.37 7.18 12.88 14.53 19.57 22.14 d / nm 0.3204 0.2528 0.3189 0.2519 0.3184 0.2516

Rounding method 修约规则很重要 Where many calculations are done in sequence, the choice of rounding method can have a very significant effect on the result. A famous instance involved a new index set up by the Vancouver Stock Exchange in 1982. It was initially set at 1000.000 (three decimal places of accuracy), and after 22 months had fallen to about 520 — whereas stock prices had generally increased in the period. The problem was caused by the index being recalculated thousands of times daily, and always being rounded down to 3 decimal places, in such a way that the rounding errors accumulated. Recalculating with better rounding gave an index value of 1098.892 at the end of the same period.[1] ^ Nicholas J. Higham (2002). Accuracy and stability of numerical algorithms. p. 54. ISBN 978-0-89871-521-7 讨论：为什么使用“4舍6入，遇5末偶”的修约规则？ （1. 选取修约规则的原则 – 对大量数据进行修约后，误差能达到相互抵消，而不导致互相迭加而积累； 2.本规则假设最后第二位奇偶几率各半，这样一半几率舍去最后第二位的0.5，一半几率增加最后第二位的0.5）。 Rounding method 修约规则很重要 -- very significant effect on the result. A famous instance: a new index the Vancouver Stock Exchange in 1982. Initially -- 1000.000; after 22 mo. ~ 520 (but stock prices had generally increased) Problem? rounded down 1000s times daily rounding errors accumulated. Recalculating -- with better rounding  1098.892 Nicholas J. Higham (2002). Accuracy and stability of numerical algorithms. p. 54. ISBN 978-0-89871-521-7, 转引自 Wikipedia: Rounding

R 与之间是什么关系呢？ 在研究一个电阻与温度的关系时，测得的该电阻在不同温度下的阻值：  / ℃ 19.10 25.10 30.10 36.00 40.00 45.10 50.10 R /  76.30 77.80 79.75 80.80 82.35 83.90 85.10 R 与之间是什么关系呢？

较小磁场区 较大磁场区 过渡区 数据处理时，可能要分段拟合 在不同磁场下锑化铟的磁阻变化曲线

绪论（二） 为什么要进行数据处理 有效数字 不确定度的评定 作图 最小二乘法

为什么要进行数据处理？ 实验得出的数据必须经过认真地、正确地、有效地处理，才能得出合理的结论，从而把感性认识上升到理性认识，形成或验证物理规律。

有效数字 76.2 m=7.62×103 cm =7.62×104 mm 科学记数法 有效数字----从第一个不为0的数开始算起的所有数字。 如, 0.35 (2个); 3.54 (3个); 0.003540 (4个); 3.5400 (5个)。 有效数字＝所有的可靠的数字+ 一位可疑数字 有效数字和单位：76.2 m =0.0762 km, = 7620 cm ? = 76200 mm? 76.2 m=7.62×103 cm =7.62×104 mm 科学记数法

有效数字运算规则 计算过程中至少多保留一位有效数字！ 运算规则 加减法：与不确定度最大项的末位有效数字对齐 乘除法：与最少个数的有效数字相同 57.31＋0.0156－2.24342（=55.08218）=55.08 乘除法：与最少个数的有效数字相同 57.31×0.0156÷2.24342（=0.398514767）=0.399 运算规则 计算过程中至少多保留一位有效数字！

有效数字修约规则 “4舍6入5成双” “4”代表小于5 “6”代表大于5 小于5舍、大于5入 刚好是5时，若前一位为奇数则入，为偶数则舍。

为什么使用修约规则？ 选取修约规则的原则 – 对大量数据进行修约后，误差能达到相互抵消，而不导致互相迭加而积累； 修约规则“4舍6入5成双”合理假设最后 第二位奇偶几率各半。这样舍去或增加最 后第二位的0.5的几率一样。 14

一个修约的例子 如：计算值x1为3.54835; x2为3.65325 4舍6入5成双 注意：是不确定度大小，确定了数据可取的位数 不确定度 0.0003 3.5484　 3.6532　 0.002 3.548　 3.653　 0.04 3.55　 3.65 0.3 3.5　 3.7　 4舍6入5成双 注意：是不确定度大小，确定了数据可取的位数

数据从何而来？ 测量： 测量者 测量方法 测量仪器、标准量 测量结果≠真值 真值存在但不可测。无限接近。

测量结果1.05cm 可疑数字 0.02 区间？ ——不确定度评定

不确定度评定 测量不确定度：由于测量误差的存在而对测量值不 能肯定（或可疑）的程度。是测量 结果所含有的一个参数，用以表征 合理地赋予被测量值的分散性。在 测量方法正确的情况下，不确定度 越小，测量结果愈可靠。是被测量 值在某一范围内的一个评定。

不确定度的分类 A类不确定度(多次测量) B 类不确定度 a 为仪器的不确定度限值 uB1=d/10（最好） （单次测量） uB1=d/5 （中等） uB1=d/2 （较差） B 类不确定度 uB1=d （特殊情况，比如数字显示） a 为仪器的不确定度限值 C 称为“置信因子”，在基础物理实验课程中大多取 B2 类不确定度 （仪器不确定度） 19

不确定度的合成 单次测量： 在长度测量中，长度值是两个位置读数x1和x2之差， 其不确定度合成公式为： 多次测量：

不确定度的传递 由2个物理量x1、x2的不确定度，通过不确定度传递的公式，得到第三个物理量y的不确定度u(y) 例：I=U/R，首先得到U和R的不确定度u(U)、 u(R) ， 然后通过不确定度的传递公式， 得到I的不确定度u(I) 。 加减： 几个常用的传递公式 乘除： 乘方：

不确定度的传递 ---- 对不同物理量 例：由U 和R的不确定度，求 I 的不确定度。 一般传递公式：当各直接测量的量相互独立无关时，

不确定度的表达 1、测量结果不确定度的一般表示法： 如：长度为（1.05±0.02）cm。 不确定度本身一般只取一位有效数字 ---当修约前 首位数字是1时，不确定度应保留两位有效数字；运算 过程中，一般要取两位或者更多。 测量值的末位有效数字应与不确定度的有效数 字对齐 --- 即：测量值的末位有效数字是不确定的。 不是“测量结果的百分比表示法” 而是“不确定度”的“百分比表示法” 24 24

不确定度的表达 1、测量结果不确定度的一般表示法： 如：长度为（1.05±0.02）cm。 2、不确定度的百分比表示法： 不是“测量结果的百分比表示法” 而是“不确定度”的“百分比表示法” 25 25

例：测量一个圆柱体的密度 分析待测量 间接测量量 转化为3个直接测量量M、D、h

例：测量一个圆柱体的密度 质量的测量：选用最小指示值为0.01g、不确定度限值为0.02g的电子天平， 测得：M=80.36g 高度的测量：选用最小分度值为0.1cm、不确定度限值为0.01cm的钢尺，估读1/5分度， 测得左端读数：H1＝4.00cm 测得右端读数：H2＝19.32cm

例：测量一个圆柱体的密度 直径的测量：选用最小分度值为0.002cm、不确定度限值为0.002cm的游标卡尺， 测得数据如下：

例：测量一个圆柱体的密度 数据处理： 质量的测量：选用最小指示值为0.01g、不确定度限值为0.02g的电子天平，测得：M=80.36g 至少多保留一位有效数字

例：测量一个圆柱体的密度 数据处理： 高度的测量：选用最小分度值为0.1cm、不确定度限值为0.01cm的钢尺，估读1/5分度，测得左端读数：H1＝4.00cm，测得右端读数：H2＝19.32cm； 至少多保留一位有效数字

例：测量一个圆柱体的密度 数据处理： 直径的测量：选用分度值为0.002cm、不确定度限值为0.002cm的游 标卡尺，测得数据如下： 计算过程中至少 多保留一位有效数字

例：测量一个圆柱体的密度 数据处理：

作图 为什么要作图？ 作图规则？ 如何读图？ 作图纸请到教育超市或者相辉堂内的仓库自行购 买，本课程用量不会超过10张。

为什么要作图 清晰地看到定性关系 方便地比较不同特性 合理地从图上得到有用的信息 螺线管中心轴线上 的磁场分布 二极管伏安特性 电阻随温度的变化关系

作图规则 1.选择坐标纸 2.根据自变量－因变量选择图纸方向（一般取自变量为横坐标），选择合适比例，图纸上1格所表示的数据量值符合原数据量值变化的1、2、5等数（或它们的十进倍率）,便于读取。 3.画坐标轴、分度线（等间距、勿太密）并标明物理量名称（斜体）及单位（正体）。

作图规则 40 38 36 34 32 30 R/ 20 30 40 50 60 70  / ℃

作图规则 1.选择坐标纸 2.根据自变量－因变量选择图纸方向（一般取自变量为横坐标），选择合适比例，图纸上1格所表示的数据量值符合原数据量值变化的1、2、5等数（或它们的十进倍率）,便于读取。 3.画坐标轴、分度线（等间距、勿太密）并标明物理量名称（斜体）及单位（正体）。 4.画数据点（不标数据值，要用端正的“+”或者“⊙” 符号来表示，不同组数据要用不同的符号）。

作图规则 40 38 36 34 32 30 样品A + 样品B + R/ 20 30 40 50 60 70  / ℃

作图规则 1.选择坐标纸 2.根据自变量－因变量选择图纸方向（一般取自变量为横坐标），选择合适比例，图纸上1格所表示的数据量值符合原数据量值变化的1、2、5等数（或它们的十进倍率）,便于读取。 3.画坐标轴、分度线（等间距、勿太密）并标明物理量名称（斜体）及单位（正体）。 4.画数据点（不标数据值，要用端正的“+”或者“⊙” 符号来表示）。 5.画直线或曲线，标明特殊点(特殊点所用符号应有别于数 据点的符号）及坐标值（计算斜率用的点，曲线的峰、谷 等）。

作图规则 样品A + 样品B + + + + + 40 38 （60.0, 38.5） 36 34 32 30 R/ （26.0, 31.8） + + R/ + + + 20 30 40 50 60 70  / ℃

作图规则 6.写出实验名称、图名、实验者、实验日期。 1.选择坐标纸 2.根据自变量－因变量选择图纸方向（一般取自变量为横坐标），选择合适比例，图纸上1格所表示的数据量值符合原数据量值变化的1、2、5等数（或它们的十进倍率）,便于读取。 3.画坐标轴、分度线（等间距、勿太密）并标明物理量名称（斜体）及单位（正体）。 4.画数据点（不标数据值，要用端正的“+”或者“⊙”符号来表 示）。 5.画直线或曲线，标明特殊点(特殊点所用符号应有别于数据点的符号） 及坐标值（计算斜率用的点，曲线的峰、谷等）。 6.写出实验名称、图名、实验者、实验日期。

作图规则 样品A + 样品B + + + + + 40 38 （60.0, 38.5） 36 34 32 30 R/ （26.0, 31.8） + + R/ + + 实验名称：******** 图 名：******** 实 验 者：******** 实验日期：******** + 20 30 40 50 60 70  / ℃

如何读图 读某个数据点时－有效数字 读单一坐标值时－有效数字、单位 通过作直线求斜率时 取点、标出坐标值、计算斜率（单位） 取点三个规则： 不能取原始数据点； 尽量远但不超数据范围； 取与X轴刻度线的交点。 43

例：如何读图 样品A + 样品B + + + + + 40 38 36 34 32 30 R/ 实验名称：******** 31.8 图 名：******** 实 验 者：******** 实验日期：******** 31.8 + 20 30 40 50 60 70  / ℃

例：如何读图 样品A + 样品B + + + + + 40 38 （60.0, 38.5） 36 34 32 30 R/ （26.0, 31.8） + + R/ + 从图上求斜率 + 实验名称：******** 图 名：******** 实 验 者：******** 实验日期：******** + 20 30 40 50 60 70  / ℃

例：如何读图 + R/  / ℃ 40 38 36 34 32 30 20 30 40 50 60 70 样品A + 样品B 20 30 40 50 60 70 40 38 36 34 32 30 +  / ℃ R/ 样品A + 样品B （60.0, 38.5） （26.0, 31.8） 实验名称：******** 图 名：******** 实 验 者：******** 实验日期：******** 跟学生强调：数据处理不可以写在图纸上

例：关于作图 在伏安法测电阻的实验中，同学根据测得的数据如下： 这幅图中存在什么问题呢？

如何找到一条最佳的拟合直线？ 内接法： + 外接法：  实验名称：伏安法测电阻 图 名：内接与外接时的伏安曲线 内接法： + 外接法：  如何找到一条最佳的拟合直线？ 实验名称：伏安法测电阻 图 名：内接与外接时的伏安曲线 实 验 者：******** 实验日期：********

最小二乘法 最小二乘法认为：假设各xi的值是准确的，所有的不确定度都只联系着yi，若最佳拟合的直线为： ，则所测各 值与拟合直线上相应的各估计值 　 之间的偏差的平方和最小，即，直线方程中：

求解二元一次方程组。

最小二乘法 解方程得： 相关系数： 如果y和x的相关性好，可以粗略考虑b的有效位数的最后一位与y的有效数字最后一位对齐，k的有效数字与yn-y1和xn-x1中有效位数较少的相同。

最小二乘法应用举例 巳知某铜棒的电阻与温度关系为： 。实验测得7组数据（见表1）如下：试用最小二乘法求出参量R0以及k 。 表 1：在不温度下，铜棒的电阻值  / ℃ 19.10 25.10 30.10 36.00 40.00 45.10 50.10 R /  76.30 77.80 79.75 80.80 82.35 83.90 85.10 分析：此例中只有两个待定的参量R0和k，为得到它们的最佳系数，所需要的数据有n、 、 、 、 和 六个累加数，为此在没有常用的科学型计算器时，通过列表计算的方式来进行，这对提高计算速度将会有极大的帮助(参见表2)，并使工作有条理与不易出错。

最小二乘法应用举例 表2：用最小二乘法拟合数据 i q /℃ Rq/W q´q Rq ´Rq q ´Rq 1 19.10 76.30 364.81 5821.69 1457.33 2 25.10 77.80 630.01 6052.84 1952.78 3 30.10 79.75 906.01 6360.06 2400.48 4 36.00 80.80 1296.00 6528.64 2908.80 5 40.00 82.35 1600.00 6781.52 3294.00 6 45.10 83.90 2034.01 7039.21 3783.89 7 50.10 85.10 2510.01 7242.01 4263.51 n= 245.50 566.00 9340.85 45825.98 20060.79

最小二乘法应用举例 说明：电阻R与温度的线性关系良好，所以取R0的有效数字与R对齐，即：R0＝70.76；又因为7－1 = 31.00℃，R7－R1 = 8.80，取k有效数字为以上两个差值中较少的位数3位，则k = 0.288/C。 由此可以得到电阻与温度的相关关系为：

用Origin来拟合数据 实验名称：***** 图 名：铜棒电阻随温度的变化曲线 实验者：*** 实验日期：**** R = R0+at 此处插入的拟合结果是没有考虑有效数字的情况。 R = R0+at Parameter Value Error α 70.8 0.3 R0 0.288 0.009 R SD N P 0.998 7 <0.0001

用Origin来拟合数据 拟合结果： 得出电阻值随温度变化的关系式： 此处要强调拟合结果的有效数字。 正确的表达式： 或

用Origin来拟合数据步骤 1. 列出数据表 5.根据作图要求，修改图 4. 得到拟合直线 2. 画出散点图 3. 拟合数据

用Origin来拟合数据 列出数据表 画出散点图 拟合数据 得到拟合曲线 根据作图要求 修改图 实验名称：***** 图 名：铜棒电阻随温度的变化曲线 实验者：*** 实验日期：**** 列出数据表 画出散点图 拟合数据 得到拟合曲线 根据作图要求 修改图 此处再次回顾用origin进行数据拟合的步骤

数据处理作业 非教材上练习题，请同学们根据PPT中内容完成作业！ 1、请按实验结果的正确表示法改正下列数据 1）1.32501±0.02 2）5.2500±0. 345 3）52.501±3.5 4）100500±8000 2、试按有效数字运算规则计算下列各式 1）1.25×4.00＋10.0×5.05＋20×0.1 2）5.02×103－40 3） （其中被除数“1”为准确数） 4） 4.25×1.800×（1＋4/8）（括号中的“1”为准确数） 5）

数据处理作业 第三周上课时 将绪论课作业交给实验课教师 3、用千分尺多次测量某一金属薄片的厚度d（如下表），千分尺的不确定度限值为0.004mm，试求d的平均值及其不确定度。 4、用钢尺（分度值为1mm，不确定度限值为0.50mm）测量某一物体的长度l，实验中用1/10估读，读得其左端读数l1为10.00cm，右端读数l2为17.26cm，试求l及其不确定度u(l)。 5、利用单摆测重力加速度g，当摆角很小时有g=(4π2L)／T2，式中L为摆长，T为周期，它们的测量结果用不确定度分别表示为：L=（98.76±0.05）cm，T=(1.9942±0.0005)s，试求重力加速度g的测量结果。 6、用伏安法测得某电阻的实验数据如下表，分别用作图法和最小二乘法求其电阻值R： (本题中，作图法必须用作图纸手工作图) ： d/mm 2.017 2.020 2.019 2.018 第三周上课时 将绪论课作业交给实验课教师 I/mA 2.00 4.01 6.22 8.20 9.75 12.00 13.99 15.92 18.00 20.01 U/V 0.74 1.52 2.33 3.08 3.66 4.49 5.24 5.98 6.76 7.50

注意事项！ 没有预习报告不可以做实验。（数字示波器实验除外） 迟到扣0.5分，迟到30分钟以上则不允许做实验，该次实验成绩为0分。 进入实验室后，预习报告须经指导老师检查并签名。 不许带着别人的实验报告在实验室做实验，一经发现，该实验作0分处理。 记录数据不可以用铅笔，修改数据须有指导老师签名。实验完毕后，数据需交指导老师审查并签名。 按要求独立书写实验报告，不得抄袭别人的报告，引用需注明出处。 交取实验报告的时间 完成实验后48小时内将报告交至指定信箱，下次实验时取报告。

请同学们在网上提前选择实验，并写好预习报告！ 第三周实验安排 组号 实验室 实验名称 第1组 804 液氮比汽化热的测量 碰撞打靶、转动惯量 第2组 801 示波器的使用 第3组 802 LCR串联谐振电路 直流电桥、亥姆霍兹线圈 第4组 805B 量子论实验 X光实验 第5组 805A 透镜焦距的测量 牛顿环、光的衍射 第6组 803 计算机实测物理实验 请同学们在网上提前选择实验，并写好预习报告！ 62 62

分组名单

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在网上提前选择实验 并写预习报告！ http://phylab.fudan.edu.cn 物理实验课程 – 基础物理实验 根据选课及分组名单中分组表确认自己所在组别 严格按照分组表登陆对应的“· · · · · ·实验室选实验 登记表”选择实验填写姓名 选择实验前请仔细阅读登记表前的选实验要求

http://phylab.fudan.edu.cn 从第三周开始：（光华楼西辅楼8楼） 具体上课教室及分组情况请登陆实验中心网站或者参阅贴在光华楼西辅楼8楼走廊橱窗内的实验分组名单。 http://phylab.fudan.edu.cn 67