3.1 正弦交流电路的基本概念 交流电 正弦交流电 正弦交流电路

3.2 正弦交流电的基本参数 i Im 正弦量 正弦量的三要素: 频率 角频率 周期 幅值 有效值 瞬时值 初相 相位差  2 T O  Im  2 T i O 频率 角频率 周期 幅值 有效值 瞬时值 初相 相位差

3.2 正弦交流电的基本参数 * 电网频率：我国 50 Hz ，美国 、日本 60 Hz * 高频炉频率：200 ~ 300 kHZ * 无线通信频率： 30 kHz ~ 30GMHz * 电网频率：我国 50 Hz ，美国 、日本 60 Hz * 高频炉频率：200 ~ 300 kHZ * 中频炉频率：500 ~ 8000 Hz

∫ i2 R dt = RI 2 T i I + _ R 具有相同的热效应 + u _ R I= 若i=ImSinωt 则I= ∫ i2dt I= 若i=ImSinωt 则I= 1 T ∫ i2dt Im 2 意义：有效值与幅值一样，是对正弦量大小的描述

引出：比较两个正弦量间的关系 大小关系 相位关系 相位差：两个同频率正弦量的相位差=初相之差 例： u= 2 Sin(ωt + φu) i= 2 I Sin (ωt+ φi) 则相位差 = (ωt+ φu)- (ωt+ φi) = φu - φi

t t t 设正弦信号 f1(t)= A1 sin(t+ 1) , f2(t)= A2 sin(t+ 2) 相位关系： f1 f2 t 12 > 0 12 > 0 1 > 2 称f1超前f2 12 < 0 1 < 2 称f2超前f1 f1 f2 t 12 = 0 12 = 0 1 = 2 称f1与f2 同相 f1 f2 t 12 =  12 =  称f1与f2 反相

例 已知: 正弦电压的最大值 Um=10V, 频率 f=50Hz， 初相θu= - π/3 写出电压瞬时值表达式, 画出波形图。 解

习题（课堂练习） 1. f =50Hz U=220V ψu =90o写出该正弦电压的三角形式 2. i1 =10 2 Sin(314t+60o)A i2=10Sin（314t-90o)A （1）若用电流表测量i1及i2，读数为多少? （2）比较二者的相位关系 t i1 i3 30o 3 判断正误 （1）I=5Sin（314t+30o）A （2）u=USin（314t+60o）A 4 根据波形图写三角函数式

3.3 正弦量的相量表示法

（一）引言 u1= 2 U1Sin (ωt+ φ1) u2= 2 U2Sin (ωt+ φ2) 求u1+u2=? 存在问题：复杂 如何简化计算过程？ (二）基础知识——复数 1. 代数形式表示复数 A= a + j b 虚数单位 j= -1 A = a2+b2 φ =arctg b a a= A cosφ b= A sin φ 复数 有向线段

4. 极座标 ２. 三角函数 Ａ＝Ａ cosφ +j A sinφ 3. 指数式 由欧拉公式 ejφ =cosφ+jsinφ A= A ejφ 3. 指数式 由欧拉公式 ejφ =cosφ+jsinφ 4. 极座标 A= A φ 电工惯例 [思考]:极座标与正弦量的关系?

5. 复数的运算 加减运算； A1=a1+jb1 A2=a2+b2 则 A1+A2=(a1+a2) + j (b1+b2 ) 乘除运算 5. 复数的运算 加减运算； A1=a1+jb1 A2=a2+b2 则 A1+A2=(a1+a2) + j (b1+b2 ) 乘除运算 再运算 先转化为极坐标 A1= A1 φ1 A2= A2 φ2 A1 A2= | A1 | | A2 | φ1+φ2 A1 A2 | A1 | | A2 | φ1-φ2 = 关键: 各种复数形式的转换

A1+ A2 =5+j 6 A1=5 53.1o A1- A2 =1+j 2 A2=2 2 45o A1 A2 =10√2 98.1o |A|= (- 12 )2+(-2)2 = 4 tg φ= (-2) - 12 3 = φ= - A=4 5 6 π 练习: A1=3+j4 A2=2+j2 求：A1+A2，A1 A2，A1 A2 A1+ A2 =5+j 6 A1=5 53.1o A1 A2= 8.1o 2 2 5 A1- A2 =1+j 2 A2=2 2 45o A1 A2 =10√2 98.1o

(二)相量与相量图 ? 相量的模=正弦量的有效值 相量辐角=正弦量的初相角 正弦量 三要素 复数的极坐标 相量表示 强调:一一对应 正弦量 三要素 复数的极坐标 相量表示 强调:一一对应 相量:表示正弦量的复数 相量的模=正弦量的有效值 相量辐角=正弦量的初相角 思考: u = U ? 相量图: 几何表示一个相量 例: u=Umsin(ωt+φu) Um=Um φu U=Um/ 2 =U φu +j U +1

正误判断 1.已知： 3.已知： 复数 ？ • ？ 瞬时值 j45 有效值 4.已知： ？ 2.已知：  ？ 负号 ？ ？ 最大值

例: I1=(3-j 4)A I2=(3+j 4) A 求: i1,i2并画相量图,并比较二者的相位关系 I2=5 53.1o 设角频率为ω i1 滞后 i2 i2=5 2 sin(ωt+ 53.1o)A i1=5 2 sin(ωt -53.1o)A 解： 则 I1=5 -53.1oA I2=5 53.1o +j I2 +1 I1

(三) 符号： u U Um U Um (四) j 的物理意义 一个相量乘以ejθ相当于把这个相量逆时针旋转θ角 θ= π/2时， cos(π/2) + j sin(π/2) = j 一个相量乘以 j 相当于把这个相量逆时针旋转90o

I=I1+I2=10 [cos(-30o)+j sin(-30o)+ {cos45o+jsin45o] (四) 相量的应用 例4: i1=10 2 sin(314t-30o)A i ~ i2 i1 i2=5sin (314t+45o)A 求: i1+ i2=? 解: I1=10 -30oA I2=5/ 2 45o A I=I1+I2=10 [cos(-30o)+j sin(-30o)+ {cos45o+jsin45o] 2 5 I1 I2 I =11.16-j2.5=11.44 -12.63oA 则: i =11.44 2 sin(314t-12.63o)A [思考]:相量图如何进行I1 – I2=?

讨论 1．用相量可以唯一地表征一个频率已知的正弦量， 即，若 则 反之亦然。 2．相量对应一个正弦量，但不等于正弦量； 相量只能用来比较相同频率的正弦量； 相量加上频率才能求得正弦量。

例1．已知 ｕ(t)= √ 2×220Sin(ωt+30o)， 画波形图 u i 30o 60o 例２．已知正弦电流的幅值为５Ａ，ｆ＝50Hz φi＝－60o 求：（1）T， ω （2）表达式 （3）波形图 i(t) π 3 ωt

例 用有效值相量表示下列正弦量 解

例 已知: 求： 解：

{ 相量法将复杂的三角运算 简单的代数运算 小结 相量图形象 所以 相量法是一种实用方法

3.4 R、L、C元件的正弦交流电路 一、电阻元件 1. 伏—安关系 2. 相量图 3. 功率 u=Umsinωt p=ui= Um Imsin2ωt=UI(1-cos2ωt)

i i=Imsinωt 二、电感元件 1. 伏—安关系 2. 相量图 u=ωLImcosωt 3. 功率 u=ωLImcosωt =Umcosωt=Umsin(ωt + 90°) 感抗：XL=ωL i u L p=ui= Um Imsinωtcosωt =UIsin2ωt jXL Q=UI (乏) Var

i u =Umsinωt 三、电容元件 1. 伏—安关系 i =ωCUmcosωt 2. 相量图 3. 功率 i =ωCUmcosωt =Imcosωt=Imsin(ωt + 90°) i u C p=ui= Um Imsinωtcosωt =UIsin2ωt -jXC Q= UI (乏) Var

3.5 R、L、C串联交流电路 uR u = uR + uL + uC u uL uC

UL>UC (XL>XC); 感性; Φ>0 电流滞后电压

例6：已知V1表和V2表的读数都是10V，求V表的读数。 u = u1 + u2 U=U1+U2

C 例7：将波形如图示的正弦电压施加于电抗XL=5Ω的电抗元件(关联方向)，则通过该元件的电流=( ) A. 50sin(ωt-900) A B. 2sin(ωt+600) A C. 2sin(ωt-600) A u/V 10 u=10sin(ωt+300) V 30O

3.6 阻抗的串、并、混联

P=UICOSφ 3.7 正弦交流电路的功率 i=Imsinωt u=Umsin(ωt+φ) 3.7 正弦交流电路的功率 i=Imsinωt u=Umsin(ωt+φ) p=ui= Um Im sin(ωt+φ) sinωt =UIcosφ- UIcos(2ωt+φ) P=UICOSφ

P=UI1cosφZ P=P1+P2+P3 =U1I1cosφZ1+U2I2cosφZ2 +U2I3cosφZ3 Q=UIsinφ S=UI Q=QL-QC=ULI-UCI =(UL-UC) I= UsinφI

例8：已知I=19.6A，R1=3Ω，R2=6Ω，X1=4Ω,X2=8Ω。求电流i1、i2，总有功功率P及Q、S。

例9：已知XC=10Ω,R=5Ω,XL=5Ω各电表有效值A1:10A；V1:100V 求A0、V0读数。 [解] 设：(参考相量)

例10：已知I2=30A，I3=20A，U1=141.4V， U=220V R1= X1 ，求： R1 ，X1 ，X2 ，X3

3.7.4 功率因数的提高 一、必要性 1.电源设备的容量得不到充分利用 P=UIcosφ<S 2.增加了供电线路的功率损失和电压损失 二、方法

三、公式推导

i’ i iA iB u C A B

3.8 电路中的谐振 一、概念 谐振：电压与电流同相；电路呈电阻性 二、串联谐振

特点： 串联 并联

例12. R、L、C 串 联 电 路 原 处 于 容 性 状 态，今 保 持 频 率 不 变 欲 调 节 可 变 电 容 使 其 进 入 谐 振 状 态，则 电 容 C 值 ( a )。 (a) 必 须 增 大 (b) 必 须 减 小 (c) 不 能 预 知 其 增 减 例13. 图 示 电 路 处 于 谐 振 状 态 时，电 流 表 A 的 读 数 应 是 ( c ) 。 (a) I L+I C (b) I (c) 0

例14. 在 图 示 电 路 中，R =2.5 k，C = 2 F，该 电 路 在 f =1 000 Hz 时 发 生 谐 振，且 谐 振 时 的 电 流 I 0 = 0.1 A (1) 求 L 及 i1 ， i2， i3 ；(2) 若 电 源 电 压 有 效 值 不 变，但 频 率f = 500 Hz， 求 电 路 的 功 率 P，此 时 电 路 呈 何 性 质 ？

一、时域→相量→时域 （微积分运算→代数运算）二、相量法适用于所有结论（KVL、KCL…… ）