第 3 章 电 路 定 理 1 置换定理 2 齐性和叠加定理 3 等效电源定理 4 特勒根定理 5 互易定理 6 对偶原理

置换定理： 在任意线性和非线性电路中，若某一端口的电压和电流为U和I，则可用US＝U的电压源或IS＝I的电流源来置换此一端口，而不影响电路中其它部分的电流和电压。

置换定理证明： 解不变 设N1和N2的端口电压、电流关系分别为U=f1(I)和U=f2(I) ，则此时电路的解为：

注意： (1)置换定理适用于线性和非线性电路，并且置换后的电路有唯一解； (2)除被置换部分发生变化外，其余部分在置换前后必须保持完全相同； (3)若电路中某两点间电压为零，则可将该两点短路；若电路中某支路电流为零，则可将该支路断开； (4)等效变换与置换定理是有区别的，置换里面包含等效，等效可以看作是置换的一个特例。等效强调的是等效前后VAR必须相同，置换强调的是置换前后电路解是唯一的。

图(a)所示电路，已知I2=2A，求电阻R和电流I1。 根据置换定理，用2A电流源置换电阻 R 得图(b)所示电路。 列节点电压方程：

求图(a)所示电路的等效电阻Ri。 分析：图(a)电路满足电桥平衡条件，所以4Ω电阻电流和电压均为零。根据置换定理，可用短路线或者用断路置换该电阻。

1 齐性定理

齐性定理（homogeneity theorem）：在只有一个激励X作用的线性电路中，设任一响应为Y，记作Y=f (X)，若将该激励乘以常数K，则对应的响应Y’也等于原来响应乘以同一常数， 即Y’=f (KX)=Kf(X)=KY。 A1、A2与电源无关，由电路的结构和线性元件参数决定。响应与激励呈线性正比关系。

R1=R3=R5=8Ω。(1)若使I0 = 1A，求 US的 值。(2)若 US = 66V，求各支路电流。 图3.6所示电路中电阻R0=R2=R4=R6=4Ω， R1=R3=R5=8Ω。(1)若使I0 = 1A，求 US的 值。(2)若 US = 66V，求各支路电流。 US = 66V 时是44V的1.5倍，所以电路中所有的电压、电流均应该增大1.5倍，可以求出电路中其他各处电压电流。

在线性电路中，由几个独立电源共同作用产生的响应等于各个独立电源单独作用时所产生响应分量的代数和。 2 叠加定理 在线性电路中，由几个独立电源共同作用产生的响应等于各个独立电源单独作用时所产生响应分量的代数和。 由齐性定理和叠加定理可得：线性直流电路的任一响应都可以描述为该电路中所有独立电源的线性组合。 其中Xj(j=1,…,m)表示第j个独立电源，Y表示任一响应，KYJ(j=1,…,m)为常系数，由电路结构和线性元件参数决定，与独立源无关。

= + 注：电路中各处电压响应、电流响应为独立电源的线性组合，而系数与独立电源无关，系数由电路的结构和线性元件参数决定。

注意： 1、叠加定理只适用于线性电路； 2、当某个独立源单独作用时，其它独立源要置为零，而受控源保持不变。即电压源用短路代替，电流源用开路代替，然后求这个独立源单独作用所产生的响应分量； 3、各响应分量叠加时，其参考方向与原电路响应的方向一致时取正，否则取负； 4、多个独立源的叠加结果，可以看作是多个电源分别单独作用，也可以看作是多个电源分成几组单独作用，但每个电源只能作用一次； 5、还可以将一个电源分解成几个子电源分别单独作用，但子电源的作用总和应和原总电源的值保持一致； 6、功率不满足叠加定理。

用叠加定理计算图（a）所示电路中的电压 U 。 图（b） 图（c） + =

已知当US1=3V时，电压U=4V。求当US1=3.6V，其它条件不变时电压 U 的值。 将Us1=3.6V分解为3V与0.6V2个电压源的串联。原电路可以看作是由3V、Us2、Is为一组，0.6V为另一组，这2组电源分别单独作用。 0.6V 3.0V 叠加定理的运用包括多个独立源的分组，以及单个独立源的分解。

已知Is=2A时，I=-1A；Is=4A时，I=0。问若I=1A时，则Is=? 线性含源 电阻网络N I Is 解：由线性叠加定理，假定在线性含源电阻网络N中，有电压源UN与电流源IN，则有：I=aIs+bUN+cIN =aIs+k 代入已知条件：-1=2a+k 0=4a+k 得：a=0.5，k=-2，I=0.5Is-2 若I=1A时，Is=(I-k)/a=6A

戴维南定理（Thevenin‘s theorem）又称等效电压源定理，是由法国科学家L·C·戴维南于1883年提出的一个电学定理。由于早在1853年，德国科学家亥姆霍兹（提出叠加定理）也提出过本定理，因此在国外又称亥姆霍兹-戴维南定理。 诺顿定理是戴维南定理的一个延伸，又称等效电流源定理，于1926年由两人分别提出，他们分别是西门子公司研究员汉斯·梅耶尔（1895年-1980年）及贝尔实验室工程师爱德华·劳笠·诺顿（1898-1983）。 应用广泛，十分重要的两个电路定理。

1 戴维南定理 线性含源单端口网络的对外作用可以用一个电压源串联电阻的电路来等效代替。其中电压源的电压等于此单端口网络的开路电压，而电阻等于此单端口网络内部各独立电源置零后所得无独立源单端口网络的等效电阻。

NS 证明：首先用电流源I置换单端口，然后由叠加定理推导U。 U1 U2 NS = NS + N0 =

2 诺顿定理： 线性含源单端口网络的对外作用可以用一个电流源并联电导的电路来等效代替，其中电流源的源电流等于此单端口网络的短路电流，而电导等于此单端口网络内部各独立源置零后所得无独立源单端口网络的等效电导。这一定理称为诺顿定理，所得电路称为诺顿等效电路。

诺顿定理证明 短路电流与内电导

戴维南定理与诺顿定理小结： 1、戴维南等效电路的UOC为端口电流I=0时的端口开路电压，诺顿等效电路的ISC为端口电压U=0时的端口短路电流，Ri和Gi为等效内电阻和等效内电导，是单口网络内部所有独立源置为零时，由端口看进去的等效电阻或等效电导； 2、如果一线性含源单口网络既有戴维南等效电路又有诺顿等效电路，则UOC=RiISC，RiGi=1； 3、当一线性含源单口网络的Gi=0时，则只存在诺顿等效电路；当Ri=0时，则只存在戴维南等效电路。

戴维南定理与诺顿定理的运用： 1）若网络中含有非线性元件，则其余由线性元件组成的电路部分仍然可以用戴维南定理或诺顿定理做等效变换。 N 非线性 N1 线性N2 + _ U I N2的VAR为： U=Uoc-RiI 2）戴维南（诺顿）等效电阻Ri的求法（独立源为零，受控源保留） a、由电阻串、并联求解Ri； b、端口外加电压源（或电流源）求VAR，进而求Ri； c、含一个受控源的无源单口网络，可以设控制变量为某个常数，然后代入电路中求解端口U和I，进而得到等效电阻Ri=U/I； d、当电路同时存在端口开路电压UOC和端口短路电流ISC时，可以求开路电压Uoc与短路电流Isc，则Ri= Uoc/Isc；

e、通过万用表的测量来求Ri 由(c)得： ∵U1=Uoc-RiU1/RL ∴Ri=（Uoc/U1-1）RL N + _ U1 I (b)接上一个负载RL， 测出其端电压U1 RL N + _ U I (a)先测出N的Uoc (c)由(a)知： U=Uoc-RiI 由(b)知： I=U1/RL 而U=U1 + _ Uoc Ri RL U1 I N U 由(c)得： ∵U1=Uoc-RiU1/RL ∴Ri=（Uoc/U1-1）RL

计算电桥中Rx分别等于0Ω、0.8Ω、1.6Ω时， 该支路的电流和功率。 用戴维南定理化简电路中的不变部分。 (1) 求开路电压UOC。将RX支路断开时，电路如图(b)所示。 (2) 求等效电阻Ri。将电流源用开路代替，电路如图(c)所示。 (3) 根据(1)、(2)求得戴维南等效电路如图(d)所示。 (4)根据(3)求得RX相应的电流和功率。

如图所示电路。已知R=8Ω时，I＝1A。 求R为何值时I＝0.5A？ （1）为求该电路的戴维南等效电路，首先求该电路的等效内阻； （2）根据已知条件求开路电压； （3）求改变后的R。

特勒根定理的论证与应用与电路元件无关，与电路的拓扑结构有关。对于(a)、(b)所示N、 两个电路，如果它们都有b条支路、n个节点，而且它们对应支路与节点的连接关系也相同，那么这两个电路就称之为（拓扑）结构相同的电路。

特勒根定理: 在N和 中，使对应支路、节点编号分别相同，并设对应支路具有相同的u、i关联参考方向，如图(a)、(b)所示。那么电路N中各支路电压uk与电路 中对应支路电流 的乘积之和等于零，即

证明： 根据图示电路： 对于整个电路存在 为流出节点α的各支路电流之和 由KCL可得： 同理可得：

若N、 两个电路完全相同则 在任一瞬间，一个电路中各支路吸收功率的代数和等于零。这就是电路的功率守恒定理。 对于不同的两个电路，虽然具有与上述功率守恒相同的形式，但是却不具备任何物理意义，所以特勒根定理又称为似功率守恒定理。

对于仅含有线性二端电阻和独立源的电路，其回路电流方程中的回路电阻矩阵以及节点电压方程中的节点电导矩阵都是关于主对角线对称的。具有这种性质的电路称为互易性电路，互易性电路服从互易定理，互易定理有三种描述。

定理(第一种形式)： 对于含有一个独立电压源和若干线性二端电阻的电路，当此电压源在某一端口A作用时，在另一端口B产生的短路电流等于把此电压源移到端口B作用而在端口A所产生的短路电流。

证明： 根据特勒根定理可以写出 又 根据已知条件

定理(第二种形式) ：对于含有一个独立电流源和若干线性二端电阻的电路，当此电流源在某一端口A作用时，在另一端口B产生的开路电压等于把此电流源移到端口B作用而在端口A所产生的开路电压。

定理(第三种形式) ：对于图示电路,如果在数值上IS与US相等,则U2与 在数值上也相等。其中IS 与 、US 与U2 分别取同样的单位。

特勒根定理与互易定理小结： 1、特勒根定理： 网络N 和N’具有相同的拓扑结构，并且对应支路取相同的参考方向，一般各支路电压、电流均取关联的参考方向； 2、互易定理： 1）适用于线性网络只有一个电源时，电源支路和另一支路间电压、电流的关系。 2）激励为电压源时，响应为电流 激励为电流源时，响应为电压 ——电压与电流互易 3）电压源激励，互易时原电压源处短路，电压源串入另一支路；电流源激励，互易时原电流源处开路，电流源并入另一支路的两个节点间。 4）互易时要注意电压、电流的方向。 5）含有受控源的网络，互易定理一般不成立。

如果电路中某一定理(或方程、关系式等)的表述是成立的话，那么将其中的概念(变量、参数、元件、结构等)用其对偶因素置换，所得到的对偶表述也一定是成立的。这就是对偶原理 。 电流 三角形联接 基尔霍夫电流定律 短路 电导 自导 电流源 互导 电流控制电压源 诺顿定理 电流控制电流源 互易定理表述二 网孔 并联

例如 根据对偶原理

本章小结 首先介绍置换定理以及与等效变换的区别和联系； 然后介绍体现线性电路本质的齐性定理和叠加定理； 接着介绍应用广泛、十分重要的戴维南定理和诺顿定理； 最后介绍特勒根定理和互易定理。