利率期限结构：静态模型

>> 利率期限结构：静态模型 利率期限结构概述 利率期限结构变动的因子分析 传统的利率期限结构理论 利率期限结构的拟合

>> 利率期限结构概述 利率期限结构的定义与类型 利率期限结构的基本特征

利率期限结构的定义 不同期限的利率水平之间的关系 “利率期限结构”（interest rate term structure），有 时也称为“收益率曲线”（yield curve）

利率期限结构的类型 利率的种类不同 信用等级不同 到期收益率曲线 互换利率期限结构 即期利率期限结构 平价到期收益率曲线 远期利率期限结构 瞬时远期利率期限结构 信用等级不同

我国银行间即期利率期限结构

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利率的典型特征 名义利率的非负性（非正态分布） 均值回归 利率变动非完全相关 短期利率比长期利率更具波动性 利率波动往往还与利率水平有关

均值回归

利率变动非完全正相关 法国不同期限利率的相关系数表（1995-2000）

中国银行间不同期限国债收益率相关系数表（2005-2012） 利率变动非完全正相关 中国银行间不同期限国债收益率相关系数表（2005-2012）

短期利率波动很大

利率期限结构的不同形状：上升 影响利率期限结构形状的因素：预期；供需；风险回报

利率期限结构的不同形状：先降后升

利率期限结构的动态变化

即期利率、平价到期收益率和远期利率

>>利率期限结构变动的因子分析 利率期限结构变动的主成份分析 利率期限结构变动的因子分析

为何需要采用主成分分析？ 利率变动非完全相关意味着 受到共同因素的影响但影响程度有差异 特定期限利率有特定影响因素 高度相关意味着数据信息高度重合（信息冗余 ），我们希望找到数量较少的独立因子，来描 述利率变动

主成分分析 （principal component analysis, PCA） 一种将给定的一组高度相关的变量（如不同剩 余期限的利率的变动 ）通过线性变换转化为 另一组不相关变量的数学方法。 在变换中，保持总方差不变（意味着信息没有 丢失），新的变量按方差依次递减的顺序排列 ，解释了主要方差的前几个成分被称为“主成 分”。

Fi 和Xi 的关系

主成分求解

主成分分析的一般步骤 采集不同期限即期利率变动ΔR(t,ti)的历史数 据并将其标准化 计算∑的特征值及其对应的特征向量，把特 征向量进行正交化并单位化，计算出互不相 关的成分因子，并按特征值大小排序 计算不同成分的方差贡献率和累计方差贡献 率，并确定主成分

主成分个数的确定 特征值准则 特征值大于等于1的成分 碎石检验准则 曲线开始变平前的一个点

主成分分析的部分研究结果 只需要三个主成份就可以解释全球许多市场利 率期限结构90%左右的变动 Barber and Copper (1996) ：1985-1991年美国市场上 前三个主成份对利率期限结构的解释能力达到 97.11% Lardic, Priaulet and Priaulet (2003) ：在德国市场、 意大利市场和英国市场上，1998至2000年期间前三 个主成份的解释能力分别为90%、90%和93% 唐革榕和朱峰 (2003)：2001年8月30日至2002年12 月13日上海交易所国债利率变动的90.85%也可用前 三个主成份来解释

>>利率期限结构变动的因子分析 利率期限结构变动的主成份分析 利率期限结构变动的因子分析

因子模型与正交因子模型 因子模型 正交因子模型

正交因子模型的因子载荷 原变量的方差协方差矩阵可分解为因子解释的 部分和残差部分 在正交因子模型下，其因子载荷为

利率期限结构主成分因子载荷示例

利率期限结构变动的因子分析 𝑙1水平因子：当第一个因子变动时，不同期限的利率 将发生同样幅度的变动。它常常可以解释利率曲线变 化的60%－80% 𝑙2斜率因子：通常会在2－8年之间穿过横轴。这个因 子变动时，长短期利率的变动是不同的。它可用来衡 量长短期利率的期限差异，通常可以解释利率曲线变 化的5%－30%，许多研究者还发现该因子对股市等具 有很强的解释力 𝑙3曲度因子：通常呈现蝶形，说明第三个因子对利率 期限结构上的短、中和长期利率具有不同的影响。它 一般解释了收益率曲线变化的0%－10%

银行间国债1－30年即期利率 （2005.1.4－2012.5.30） 数据来源：Wind

30年主成分分析

30年因子分析

20年主成分分析

20年因子分析

4－8年主成分分析（2002-2013.9）

4-8年因子分析

30年主成分分析（差分） Copyright © 厦门大学 陈蓉

30年因子分析（差分） Copyright © 厦门大学 陈蓉

20年主成分分析（差分） Copyright © 厦门大学 陈蓉

20年因子分析（差分） Copyright © 厦门大学 陈蓉

>> 传统的利率期限结构理论 纯预期理论 流动性偏好理论 市场分割理论 期限偏好理论

纯预期理论（Pure Expectation Theory） 当前的利率期限结构仅代表了市场对未来即期利 率变化的预期 用风险溢酬的观点解读，该理论认为不存在风险 溢酬，也就是说，现实测度就是风险中性测度 看似能够解释各种形状的利率期限结构，但并不 符合现实 纯预期理论有三个版本

流动性偏好理论(liquidity preference theory) 从长期利率中提炼出来的远期利率同时反映了 市场对未来的预期和流动性风险偏好：人们通 常偏好短期投资 用风险溢酬的观点解读，该理论认为长期投资 存在较大的利率风险，因此需要一定的利率风 险溢酬 可以解释各种形状的利率期限结构，但现实中 的风险溢酬并不必然随时间递增，投资者特定 的资产状况往往使得他们偏好某些期限债券

市场分割理论(market segmentation theory） 投资者有各自的投资期限偏好，并且偏好不变 。利率曲线的形状由短、中和长期市场的各自 供求关系决定。 用风险溢酬的观点解读，该理论可以解读为投 资者对投资于其他期限所要求的风险溢酬无穷 大，从而不改变投资偏好 过于极端

期限偏好理论（preferred habitat theory） 流动性偏好理论和市场分割理论的结合 期限偏好理论认为不同投资者首先有特定期限 的偏好，但当不同期限的债券供求发生变化， 风险溢酬变化至足以抵消预期的利率风险时， 一些投资者的偏好就会发生转移。 用风险溢酬的观点解读，该理论认为利率期限 结构取决于预期和时变的风险溢酬，时变的风 险溢酬又取决于期限偏好和利率风险 但该理论并未明确是什么具体的风险溢酬

利率期限结构理论评析 市场表现：不同投资期限的资金供求及其变化 影响预期和风险溢酬的重要因素：宏观经济和货币 政策 流动性偏好和期限偏好理论都认为长期利率反映了市 场对未来的预期和风险溢酬，都被称为“有偏期望理 论”（biased expectation theory）。 相对于流动性偏好理论，期限偏好理论引入了投资者 的期限偏好，并认为风险溢酬并非简单随期限递增； 相对于市场分割理论，期限偏好理论则加入了市场预 期和风险溢酬的思想。 市场表现：不同投资期限的资金供求及其变化 影响预期和风险溢酬的重要因素：宏观经济和货币 政策

Bernanke：decompose longer-term yields Source: Ben S. Bernanke , Long-term Interest Rates, Mar. 1, 2013

Term Premium 无风险长期利率扣除预期值之后的部分，其反 映的应该是与利率风险相关的风险溢酬，其与 利率风险的市场价格有关 帮助理解利率期限结构的形成和变化规律 货币政策：格林斯潘之谜 预测利率变化 投融资决策 固定收益证券定价与风险管理

格林斯潘之谜 Bernanke(2013)：美国10年期国债收益率近年来的下 降应主要归因于2010年以来期限溢价的急剧下降。 1999年，联邦利率的增加伴随着长期利率一对一上升 2004年6月到2006年6月，美联储将联邦利率从1.25% 提升至5.25%。但美国10年期国债的收益率在此期间 却是下降的 Kim and Wright(2005)：三因子无套利仿射模型；期限 溢酬的影响 Bernanke(2013)：美国10年期国债收益率近年来的下 降应主要归因于2010年以来期限溢价的急剧下降。

纯预期理论的3个版本 远期利率是市场对未来即期利率的预期 短期零息票债券滚动投资n年的预期收益率应 该等于n年期零息票债券一次性投资的收益率 1年期零息票债券与n年期零息票债券投资1年 的预期收益率应该是相等的（Local Expectation Hypothesis）

纯预期理论的错误之处 核心缺陷：忽略利率中的风险溢酬 版本1：陈蓉和郑振龙（2007）：远期利率并不等 于未来即期利率的期望值，两者之间还相差利率风 险溢酬 版本2和3：虽然考虑了利率的风险，但没有考虑人 们的风险厌恶系数 版本3：根据Jensen不等式，版本2与版本3之间不等 价。

Term Premium的估计 基于远期利率的期限溢酬 基于即期利率的期限溢酬（版本2的近似） 基于持有期收益率的期限溢酬（超额收益，版本3的 近似）

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市场曲线与隐含曲线 市场曲线：YTM和互换利率曲线 隐含曲线： 即期利率、平价到期收益率、远期利率和瞬时远期 利率曲线

拟合利率期限结构的准备工作 构建可靠的数据库 被用于估计同一条收益率曲线的债券必须具有相同 的信用等级和税收待遇等条件，以保证这些债券的 惟一差异就是剩余期限 剔除含权证券 剔除明显定价不合理、流动性差异很大（包括与其 他样本相比，流动性过差或流动性过好）的证券 所选证券的剩余期限应尽可能覆盖要估计时间长度 的各个区间（短期、中期和长期），且各个分段区 间内的样本数要足够多，以保证结果的可靠性。

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无风险即期利率期限结构的拟合方法 方法分类 评价利率期限结构拟合方法的标准 直接法：散点（靴襻法）＋插值 间接法：拟合 准确性 平滑性 稳定性 灵活性

靴襻法(the Bootstrapping Method) 息票剥离法：用债券市场价格的数据直接估计 出一些期限的即期利率，得到利率期限结构上 的一些离散的点 本质是求解债券定价方程组

例子：息票剥离 假设有6只债券如下，其中的附息债每半年支 付一次利息 息票 剩余期限（年） 市场价格 债券1 0.50 97.5 债券2   息票 剩余期限（年） 市场价格 债券1 0.50 97.5 债券2 94.9 债券3 1.00 90.0 债券4 8 1.50 96.0 债券5 12 2.00 101.6 债券6 10 2.75 99.8

3个月期即期利率由债券1直接求得为 同样的方法可以计算得到6个月和1年期即期利率 分别为10.47%和10.54%。进一步可以得到1.5年 期的即期利率为10.68%。2年期的即期利率为 10.81%

例子：求解债券定价方程 假设有4只付息日相同的债券（一年支付一次 利息） 息票 剩余期限（年） 市场价格 债券1 3 1 99 债券2   息票 剩余期限（年） 市场价格 债券1 3 1 99 债券2 3.5 2 99.5 债券3 96 债券 4 9

由债券定价公式有： 可解出相应1至4年期即期利率分别为3.96%、 3.69%、4.38%和5.36%

插值法 分段线性 分段三次多项式 三次多项式样条插值 Hermit插值/样条插值

线性插值：续前例 假设有6只债券如下，其中的附息债每半年支 付一次利息 息票 剩余期限（年） 市场价格 债券1 0.50 97.5 债券2   息票 剩余期限（年） 市场价格 债券1 0.50 97.5 债券2 94.9 债券3 1.00 90.0 债券4 8 1.50 96.0 债券5 12 2.00 101.6 债券6 10 2.75 99.8

运用息票剥离，3个月期即期利率、6个月、1年 期、1. 5年期和2年期的即期利率分别已求得为 10. 127%、10. 47%、10 运用息票剥离，3个月期即期利率、6个月、1年 期、1.5年期和2年期的即期利率分别已求得为 10.127%、10.47%、10.54%、10.68%和10.81% 债券6？

线性插值：债券6 用线性插值提取债券6的信息 0.75年利率被认为位于半年利率和1期利率中点 类似地，可以认为1.25年期利率等于10.61%，1.75年利率为 10.745% 由于2.25年利率可以用2.75年利率表示为 将其代入债券6的定价方程， R(0, 2)已知，可解出方程中惟一的 未知数R(0, 2.75)为10.87%，并得R(0, 2.25)

分段三次多项式插值 分段三次多项式插值

分段三次多项式插值：一个例子 对前例使用三次多项式插值 节点0.5年、1年、1.5年和2年的即期利率都应满足 由此可解得四个参数，并计算0~2年间任意期限的利率 如果要拟合2年以上到期期限的即期利率，需找到对应期限的4 个即期利率，再用另一个三次多项式刻画。以此类推。

线性插值与分段三次多项式插值

多项式插值 与线性插值法相比，高次多项式插值在节点内部能 获得更为光滑的曲线 阶数（degree）的选择：精确度与复杂性的权衡 如何分段？ 并非阶数越高逼近越好（Runge现象） 三次可以保证函数连续和二阶可导 分段三次最为常见：n次多项式对应n＋1个节点 如何分段？ 目标的选择： 节点值相等？ 导数相等？一阶导和高阶导？ 连接点光滑性？

Runge现象 高次多项式曲线波动较大，且插值的收敛性可 能存在问题 与其10次Lagrange插值多项 式

样条 样条（spline）在英语中是指富有弹性的细长木条。 样条曲线是指工程师在制图时，用压铁将样条固定 在样点上，其它地方让它自由弯曲，然后画下的长 条曲线。 样条函数的数学实质是由一些按照某种光滑性条件 分段拼接起来的多项式组成的函数，保证分段内光 滑、在各段连接处也具有一定光滑性的函数，其目 的是用这些分段函数尽可能地逼近一定的曲线。 根据Weierstrass第一逼近定理，任何连续函数都可以 被一个多项式函数任意接近地逼近，这为样条函数 的运用提供了基本依据。

三次Hermite样条插值 目标：节点值和导数值相等 次数：三次 分段节点数：一阶导相等的情形下，n＋1个节 点，2n＋2个条件，2n＋1次多项式 每2个点一个函数，而且高阶导不光滑

Bessel三次样条插值

三次样条插值 目标：节点值相等、一阶二阶连续导数 次数：三次 分段节点数：n＋1个节点，(n+1)+3(n-1)+2个条件 ，4n-1次多项式 插值条件 连接条件 边界条件 缺乏全局性的考量，同时数据也不一定完全正确

三次Hermite插值与三次样条插值 分段三次Hermite插值的性质，已使插值条件 以及连接条件的连续性和一阶光滑性得到满足 ，再根据二阶光滑性约束条件和2个边界条件

An example 运用例4.2和例4.3中的债券数据，在估计得到0.5年、1年、 1.5年、2年期即期利率以后，有 因此有 代入公式可得 期限 0.5 1 1.5 2 0.1047 0.1054 0.1068 0.1081 -0.00363   0.00193

拟合法的基本思路 首先设定贴现函数B(0,s)或即期利率函数R(0,s)为 剩余期限s的函数 第三步，写出贴现函数或即期利率函数的最终形 式，得到利率期限结构 可分为贴现函数法（样条函数法）和即期利率法 （NS类模型）

贴现函数的形式设定 贴现函数通常被设定为样条函数（spline functions） 在贴现函数的设定中，常用的样条函数包括三 次多项式样条、三次基样条（B-Spline）和三 次指数样条。

三次样条函数 假设以5年和15年作为分界点，构造三次样条 函数 约束条件： 保证分段点的连续性 i=0,1,2 B1(0,0) =1

将这两组约束代入，有 将待估参数由12个降低到5个

三次基样条 是6个三次基样条函数的加权平均 待估参数为 为截断的三次函数，只取正数 ti则可理解为时间轴上已知的不同时点

三次基样条方法评析 三次基样条函数是三次样条空间中最基本的基 函数，相应区间上的任意三次多项式样条都可 以由三次基样条特定的线性组合构造出来 三次基样条函数实际上是用逐渐推移的多个基 础三次函数的组合来构造出复杂的分段三次函 数，与普通的三次多项式样条相比，其精确性 大大提高 该函数形式看似复杂，但实际上只有6个待估 参数，稳定的参数估计比较容易实现

三次指数样条 三次指数样条函数 约束条件

三次指数样条的简化形式 共有7个待估参数 （Shea, 1985）待估参数u是未来无限远时的瞬 时远期利率

贴现函数设定中的一些问题 阶数（degree）的选择：精确度与复杂性的权 衡 样条数量的选择 节点位置的选择 三次最常见，可以保证函数连续和二阶可导 样条数量的选择 样条数量越多，拟合越好，但缺点在于曲线的平滑 性较差，此外也较容易受到奇异点的影响 节点位置的选择 节点最好使得每段区间具有一定的经济含义，且样 本数量要较为接近

贴现函数法：参数校准 参数校准 在线性回归中，回归系数的最小二乘估计就是 使得回归方程残差平方和最小的系数值。因此 ，只要对贴现函数形式的设定使得理论价值能 表达为参数的线性形式，参数的校准过程就等 价于对回归方程的线性回归过程

无论样条函数形式看起来多么复杂，这些贴现 函数实际上都是参数的线性函数，从而相应的 债券价格也将是参数的线性函数。 例如，三次多项式样条函数形式下，一个剩余 期限为2年的零息票债券的理论价格就可表达 为 附息债又是零息债的线性组合，从而不含权债 券的价格总是可以表达为参数的线性函数。

参数校准中的问题：异方差 直接假设方差大小与债券剩余期限的平方成比 例 债券定价误差的方差大小与该债券对利率变动 敏感性的平方成正比（ Vasicek and Fong ， 1982 ）

参数校准中的问题：约束条件 基本约束条件： 例如，在三次基样条函数形式下， 从而可以表达为 约束条件下的GLS估计量为

比较 样条插值方法 样条函数拟合法

即期利率函数法 贴现函数法的缺陷之一在于参数经济含义不明 确 大多数即期利率函数都是从利率期限结构动态 模型推导而来。 最常见的是Nelson-Siegel（NS）模型和Nelson- Siegel -Svensson(NSS)模型。

即期利率函数法：NS模型 指数形式的瞬时远期利率 对应的即期利率函数

NS参数的经济含义 β 0 β1 β2 m 水平因子：载荷为1，1是不衰减的常数，对所有期限利率影响一致 长期因子：期限无穷大时利率收敛于β0 β1 短期因子：其载荷是一个开始于1，并很快衰减至0的函数，对短期 利率影响大 斜率因子：当期限趋于0时， ，因此 也可以看作是 长短期利率之差（spread） β2 其载荷开始于0先增加后衰减为0，对中期利率影响大，主要影响收 益率曲线的弯曲度, 通常被称为“中期因子”或“曲度因子” m 决定了β1和β2的衰减速度。如果m较小， 收敛的速率比较快，能较 好地拟合较长到期期限的曲线。m较大时， 收敛的速度较慢，能比 较好地拟合较短到期期限的收益率曲线。

NS模型的优缺点 其参数富有经济含义，三个参数分别对应着利率期限 结构的水平变化、斜率变化以及曲度变化，这与主成 份分析的结果之间存在着自然的联系。 短期利率由β 0和β 1决定，而长期利率只由β 0决定，因 此在NS模型下，短期利率的波动性一般比长期利率的 波动性大，这一点与现实相符的。 NS模型的缺陷在于：虽然NS模型可以拟合出上升、 下降、水平、先下降后上升的利率曲线，但却无法生 成更丰富形状的曲线。

即期利率函数法：NSS模型 NSS模型：解决NS模型刻画曲线种类受限的问 题 改进 即期利率函数 增加中期项 增加新的曲度参数β3和调整参数m2 中短期部分的形状更加灵活多样，从而能够刻画出 更丰富形状的利率期限结构。

NS模型下的利率曲线形状

NSS模型下的利率曲线形状

即期利率函数法：参数校准 无法使用最小二乘法，而只能使用非线性最优 化技术 同样需要考虑异方差和约束问题 异方差调整通过赋予短期债券较大的权重来体 现

利率期限结构拟合方法评价 直接方法中的靴襻法应用方便，但对数据量要 求较高，且得到的曲线平滑度可能不是很好 间接方法能拟合出更为精确和平滑的利率期限 结构 即期利率法的经济含义明确，而且由于用一个函数拟合整条利率期 限结构，曲线平滑性也较好 贴现函数法也有其优越之处。由于用多个连接的分段函数去逼近整 条利率期限结构，精确性较高 这些模型本身无法无法推断出未来的参数变化 与今天的参数是如何相关的。这是这些方法被 统称为“静态”模型的原因。

>> 利率期限结构的拟合 拟合利率期限结构的准备工作 无风险即期利率期限结构的拟合 信用价差期限结构的拟合

信用价差期限结构的拟合：分离估计 分别估计国债和特定信用级别的即期利率期限 结构，将两条利率曲线上同样期限的两种利率 相减 直观，但得到的结果对方法敏感度较大，容易 不平滑

信用价差期限结构的拟合：联合估计 同时设定无风险利率和信用价差期限结构，利 用特定信用级别的债券价格将两条曲线一次性 估计出来 思路1：将特定信用级别的贴现函数设定为无风险 贴现函数和信用价差函数之和 思路2：直接将特定信用级别的即期利率设定为无 风险利率和信用价差之和