第二章 經濟模型

2.1 數理模型的構成要素 2.2 實數體系 2.3 集合的觀念 2.4 關係與函數 2.5 函數的類型 2.6 兩個或更多自變數之函數 2.7 一般型函數

2.1 數理模型的構成要素 一經濟模型僅指理論架構 ,因此不一定為數學式。 數理模型通常以一組方程式(equation)描述模型之結構。 這些方程式是將所採取之假設， 以多個變數之數學式表示。 然後， 經由方程式之數學運算， 可導出符合假設之一組結論。

例：供需模型 1

2.1 數學模型的構成要素 變數、常數與參數： 變數：所代表的數值可以變動。 內生變數：透過模型得到數值解的變數。 外生變數：模型中包含由外部力量決定的變數。

2.1 數學模型的構成要素 常數：所代表的數值不變。如果常數和變數擺在一起，通常稱該變數的係數。 參數：可變的常數。雖然可被指派各種不同的數值，但在模型內還是被視為既定資料。

2.1 數學模型的構成要素 方程式與恆等式： 定義方程式：把方程式兩邊界定為相同意義。通常採用全等符號 ≡。 例如，把總利潤定義為總收益減去總成本的差　　 值。

2.1 數學模型的構成要素 行為方程式：用以表示某變數與其他變數之間的行為關係。 寫下方程式前，對變數的行為模式，必須做明確 的假設，例如下列兩個成本函數。

2.1 數學模型的構成要素 條件方程式：用以顯示所需要滿足的條件。 經濟模型經常涉及均衡概念，所以必須設定均衡 條件，以描述均衡狀況所必須滿足的條件。經常 看到的兩種均衡條件：

2.2 實數系 正整數：1, 2, 3… 的整數。 負整數：正整數的對應負數，-1, -2, -3…。 分數：整數之間的數。 所有整數的集合：正整數、負整數和0匯集。 有理數：兩個整數之比率的任何數。 無理數：不能表示為兩個整數之比率的數。

2.2 實數系

2.3 集合概念 集合符號 集合：很多不同物件的總匯，有兩種表達方式： 列舉。 描述。

集合 集合之間的關係： 1.全等(equal)， 2.子集合(subset) ， 3.互斥(disjoint) 包含於，包含， 子集合的個數，空集合(empty set) 虛集合(null set) 3.互斥(disjoint) 4. 第4種關係，為當兩個集合有某些元素相同，有些卻不同，此二集合既不相等，也不互斥，且任一集合皆非對方之子集合。

2.3 集合概念 集合之間的關係 相等：兩個集合的元素完全相同。

2.3 集合概念 子集合：包含∕被包含的概念。如T是S的子集合。

2.3 集合概念 集合運算 聯集：取兩個集合，成為一個新集合，其成分元素涵蓋A與B的所有元素，數學符號表示為A ∪ B。

2.3 集合概念 範例1 範例2

2.3 集合概念 交集：取兩個集合，成為一個新集合，其元素涵蓋A與B的共同元素構成，數學符號表示為A ∩ B。 範例3 範例4

2.3 集合概念 餘集：假設使用1到7的正整數，將此視為宇集合。對於某集合A={3, 6, 7}，就可把餘集定義為Ã。 範例5 範例6

2.3 集合概念 文氏圖

2.3 集合概念 集合運算律 交換律 結合律 分配律

2.3 集合概念

2.3 集合概念 範例7

2.4 關係與函數 集合也可推及於非數字之元素，尤其當我們談論「序對」集合時，可導出關係與函數之觀念。

序對 (ordered pairs) 寫出一集合{a, b}時，我們不考慮元素a, b之出現次序，依定義 {a, b}＝ {b, a}，此種情形下，兩元素a, b為非序對（unordered pairs）。 考慮元素a與 b之出現先後次序時，則兩個不同序對(ordered pairs)，(a, b)與(b, a)，兩者具有如下性質：除非a＝b，否則 (a, b)≠(b, a)。 同樣觀念可推廣及包含兩個以上之集合，凡按次序的2元素、3元素集合等等，統稱為有序集合（ordered sets）。

2.4 關係與函數 範例1 範例2

例 序對 (ordered pairs)也可成為一集合之元素。圖 2.4 之直角座標平面，其中 x 軸與 y 軸相交呈一直角，此一 x y 平面為由無限多點構成之集合，每個點皆可代表一序對，而第一個元素為x值，第二個元素為y值。因此，點（4，2）不同於點（2，4），也就是說，此時元素出現次序是具有意義的。 30

2.4 關係與函數 笛卡爾座標平面

序對產生之過程 假設由兩個已知集合，x ＝{1, 2}和y＝{3, 4}，以第一個元素取之于x，第二個元素取之于y，可以形成4種可能的序對，（1，3），（1，4），（2，3），（2，4）之集合。 此集合稱 x 與 y 的笛卡兒乘積（cartesian product），或集合x與y之直接乘積（direct product），以x × y表示之。 33

2.4 關係與函數 關係與函數 對於序對的每個x數值，都存在一個y的數值與其關聯，此為一界定y與x之間的關係。

2.4 關係與函數 範例3 範例4

2.4 關係與函數

關係與函數 注意，從一種關係中，已知 x 值，不一定必可找到惟一的y值對應之。如例4。 有一種特殊的關係，即對每一x值而言，僅有一個y值與之對應。如例3 之情況。此時，稱 y 為 x 之一函數（function），以符號 y = f (x)表示之，讀作：y等於f (x)。 因此，函數為一序對集合，並具有對任一x而言，可決定任一y值之性質者。 函數必為一種關係，但關係不必為一函數。

2.4 關係與函數 根據函數定義，對每個x，函數都會指派唯一的y，但對每個y值，則沒必要只存在唯一的x值與其對應。如圖2.6，對於y0，此處顯示兩個x值，透過y=f(x)與其對應。

2.4 關係與函數 如圖2.7，把函數f視為某種映射法則，把某線段上的每一點，映射到另一個線段。如果分別把定義域擺在x軸上，值域擺在y軸上，就可呈現二維圖形。

函數 於函數y = f (x)中，稱 x為函數變量（argument），稱 y為函數值（value）。 亦稱 x為自變數（independent variable），稱y為應變數（dependent variable）。

函數 x 所有可能值之集合，稱為函數之定義域（domain），可能為所有實數集合之一子集合。 x值之投影 y 值稱為該x值之映像（image），所有映像之集合稱為函數之值域（range），為所有可能y值之集合。

2.4 關係與函數 範例5 作業2.4之1、2 、 3、4 、 5 、7 、8

2.5 函數類型 常數函數 函數的值域如果只由單一元素構成，稱為常數函數。例如：

2.5 函數類型 多項式函數 多項式函數的數種類別：

2.5 函數類型

2.5 函數類型 有理函數 下列函數中，y表示兩個多項式的比率，稱為有理函數： 一種特殊的有理函數，經常運用於經濟學：

乘冪說明 定義

2.5 函數類型 

2.5 函數類型

2.5 函數類型

2.5 函數類型

2-5作業 1.2.5.6

兩個或多個獨立變數的函數 函數之觀念可擴及兩個或更多個自變數之情況。 例如 z ＝ g（x, y） 表示由已知任何一對x 與y 值，則可決定一應變數z值。 此時定義域不為數的集合，而是序對（x, y）之集合。 函數g 如同將二度空間之點映至一線段之點，如圖2.9a，由點（x1, y1）映至點 z1，或由（x2, y2）映至z2。 若z軸垂直于x y平面，如圖29.b所示，則函數g之圖形為一三度空間。對任何在定義域上之點，其對應之函數值（z），可以垂直於該點之線段高度表之。 因此三變數間之組合可以三重序對（x1, y1, z1）表之，此三重序對的軌跡圖形稱為表曲面（surface）。

2.6 兩個或多個自變數的函數 三維空間

兩個或多個獨立變數的函數 經濟模型中，有很多場合用到此種形式之函數。 當然，也可以更進一步擴及三個或更多自變數的情況。 如生產函數：Q ＝ Q（K, L）。 效用函數：U=U（x1,x2,x3）。 當然，也可以更進一步擴及三個或更多自變數的情況。 例如，函數y = h（u, v, w）而言，係將三度空間之一點（u1, v1, w1）映至一度空間之點y1。 此種四度空間之四重序對構成之圖形，稱為超表面（hypersurface）。 點與超表面等這些觀念可推廣至n度空間。

兩個或多個獨立變數的函數 多于一個變數之函數可分成多種形式。 即為一直線型（linear）函數，其特點為每一變數次數僅一次方。 例如：y = a1x1 + a2x2 + …+ anxn 即為一直線型（linear）函數，其特點為每一變數次數僅一次方。 二次式（quadratic）函數則為各自變數之次數包括有一次與二次方者，為其出現在任一項自變數的指數和不超過2。

2.7一般化的標準 y = 7 y = 6x + 4 y = x2 -3x + 1 若函數形式為 由於這些函數係數以數字表示，此函數之模型解亦必為數字。 若我們想知道有數字係數不同，其結論將作何改變時，則需重新進行推理過程，故由此特定函數得到之結論缺乏一般性。 若函數形式為 y = a y = a + b x y = a + b x + c x2 即利用參數係數，則每個函數不僅代表某特定單一曲線，而是一類曲線。 以參數作數學運算，其解必為以參數表示者。 此項結果將較接近一般化，因可對模型解之參數設定不同值，以得各種不同解，而無須重複推理過程。

2.7一般化的標準 為達高度之一般化，我們將函數寫成一般型如 y = f（x），或 z = g（x, y）。 基於此一般式得到之分析結果，其應用必因此更具一般性。 然而，為得經濟上有意義之結論，往往必須對經濟模型內之函數設立某些限制，例如，限制需求函數為負斜率。