主題四：機率分佈 陳陸輝 政治大學選研中心 研究員兼主任 主題四：機率分佈 陳陸輝 政治大學選研中心 研究員兼主任 2019/9/18 公共管理與政治學研究方法

講授主題 壹、淺說 貳、間斷與連續變數的機率分佈 參、隨機機率分佈 肆、以樣本分佈說明統計量的變化 伍、樣本平均數的分佈 陸、母體、樣本資料與樣本分佈 柒、本章小結 公共管理與政治學研究方法 2019/9/18

本週重點 賭王與機率分佈 年輕的統計理論與資深的機率論 統計最基本的分佈—正態分佈 抽樣的基本原理與推論應用—抽樣分佈 公共管理與政治學研究方法 2019/9/18

壹、淺說 機率（probability）: 在隨機樣本或是隨機實驗中，在反覆抽樣或是實驗的過程裡，特定事件/結果出現的比例 擲骰子 抽撲克牌 公共管理與政治學研究方法 2019/9/18

介紹幾個基本概念 A.隨機實驗 （Random Experiment） B.基本結果（Elementary Outcome） C.樣本空間（Sample Space） D.事件（Event Set） 公共管理與政治學研究方法 2019/9/18

A.隨機實驗 （Random Experiment） 這是一種過程，你會知道有幾種特定的結果會出現，不過，不能確定哪一個結果會出現，也無法精確預測。 隨機實驗可以重複進行，經過累積一定的觀察數量後，可以找出一些統計規則。 例如，你擲一個骰子，你不確定會出現幾點，但是，你知道其中一些基本原則。同理，可以推論到擲兩顆骰子或是抽一張撲克牌。 公共管理與政治學研究方法 2019/9/18

B.基本結果（Elementary Outcome） 隨機實驗可能出現的結果。 例如， 擲一個骰子的基本結果是從1到6。 抽一張樸克牌出現紅心的機會是四分之一 公共管理與政治學研究方法 2019/9/18

C.樣本空間（Sample Space） 列出隨機實驗中的所有可能結果。例如，擲一個骰子的樣本空間是 S={1，2，3，4，5，6} 公共管理與政治學研究方法 2019/9/18

D. 事件（Event Set） 樣本空間的部分集合稱之為事件。 事件可以只包括一個基本結果（簡單事件simple event）或是兩個或兩個以上的基本結果(混合事件composite event)。 公共管理與政治學研究方法 2019/9/18

機率 2008年選舉結果 馬英九約得765.9萬票/謝長廷約得544.5萬票 馬勝221萬票 馬得票率佔有效票58.45％/投票率76.33％ 如果用出口名調，得到結果會如何？ 公共管理與政治學研究方法 2019/9/18

主觀(subjective)與客觀(objective)機率 選科系是依靠主觀還是客觀機率？ 找工作是依靠主觀還是客觀機率？ 妳可以「實驗」多少次？ 長期客觀的機率有其困難 主觀機率 依據過去的資訊（事前機率），推測事後機率 貝氏統計Bayesian statistics 公共管理與政治學研究方法 2019/9/18

基本機率規則機率 P(A): A事件發生的機率 P（not A):非A事件發生的機率 （彼此互斥，窮盡全體） 如果事件A與事件B彼此獨立 P(A or B)= =P(A) + P(B) 如果事件A與事件B為兩個可能結果 P(A and B)= =P(A) * P(B given A) P(A and B)= P(A) * P(B) 公共管理與政治學研究方法 2019/9/18

婚姻與快樂 公共管理與政治學研究方法 2019/9/18

各種機率 P(未婚) P(很快樂)+P(還快樂與不快樂) P(已婚且很快樂)=P(已婚)*P(已婚中很快樂) P（U）＝1-P（M） P（H∪N）= P(H)+P(N)如果兩個事件獨立 P（M∩H）= P(M)＊P(H｜M) 公共管理與政治學研究方法 2019/9/18

各種百分比 總百分比：total %; join % 公共管理與政治學研究方法 2019/9/18

直欄百分比(column %) 公共管理與政治學研究方法 2019/9/18

橫列百分比(row %) 公共管理與政治學研究方法 2019/9/18

各種概念 交集： P（A∩B） 聯集：P（A∪B） 條件機率： P（A｜B） 獨立事件：對各種機率計算的影響 公共管理與政治學研究方法 2019/9/18

貳、間斷與連續變數的機率分佈 間斷變數與連續變數之區別 公共管理與政治學研究方法 2019/9/18

一、間斷變數的機率分佈 公共管理與政治學研究方法 2019/9/18

間斷機率分佈 P（y=4）=? P(y<4)=? P(y=3.5)=? 用直方圖表示 公共管理與政治學研究方法 2019/9/18

二、連續機率分佈圖 公共管理與政治學研究方法 2019/9/18

二、連續機率分佈 P（y<10）=? P(30<y<60)=? 公共管理與政治學研究方法 2019/9/18

機率分佈的母數 如果表4.1是母體值，我們反覆抽樣的結果，會知道 家中理想子女數為1的機率是：P(y=1)=? 對機率的兩個重要的描述母數（參數）為 平均數 標準差 公共管理與政治學研究方法 2019/9/18

間斷變數的平均數計算方式 此一數值又稱為期望值，以E(y)表示 變異數計算公式 計算理想子女數的平均數與標準差 公共管理與政治學研究方法 2019/9/18

參、正態機率分佈 公共管理與政治學研究方法 2019/9/18

參、正態分佈的幾個特性 1.平均數、中位數與眾數是同值，而將正態曲線分成對稱的兩個部分，各佔總分布的一半。 2.分布是對稱的，一旦將本分布從中間對折，兩邊會彼此重疊。 3.分布的兩端(尾巴)，離平均數愈遠，會接近X-軸，不過，不會接觸到X-軸---總是會有發生的機率，不過，機率很低就是了。 公共管理與政治學研究方法 2019/9/18

參、正態分佈的幾個特性 當觀察值為常態分佈時，在平均數 正負一個標準差的區間之內，涵蓋了68%的所有觀察值 正負兩個標準差的區間之內，包括了95%的所有觀察值， 正負三個標準差的區間之內，包括了99.7%的所有觀察值。 公共管理與政治學研究方法 2019/9/18

兩個正態分佈圖 公共管理與政治學研究方法 2019/9/18

標準化分數—Z-Score 公共管理與政治學研究方法 2019/9/18

運用正態分配表 公共管理與政治學研究方法 2019/9/18

運用正態分配表(區域B或C的比例) 公共管理與政治學研究方法 2019/9/18

運用正態分配表(區域B或C的比例) 公共管理與政治學研究方法 2019/9/18

運用常態分配表P（-1<Z<1） 公共管理與政治學研究方法 2019/9/18

運用常態分配表P（-2<Z<2） 公共管理與政治學研究方法 2019/9/18

運用常態分配表P（-3<Z<3） 公共管理與政治學研究方法 2019/9/18

運用常態分配表找出各區的比例 公共管理與政治學研究方法 2019/9/18

找出以下區域的百分比 P（-1.96<Z<1.96） P （Z<1.645） P（-3>Z） 公共管理與政治學研究方法 2019/9/18

用Z-scores找出機率或是特定值 特定值需要找出一定機率，先轉換成z-score再用表找出該區域的機率 y=μ+zσ 公共管理與政治學研究方法 2019/9/18

兩個練習 4.3.一個IQ考試的平均數為100，標準差為16 找出99百分位應該要考多少分 Assume that verbal SAT scores approximate a normal distribution with a mean of 430 and a standard deviation of 100. What proportion of students’ verbal SAT scores is either less than 350 or more than 500. 公共管理與政治學研究方法 2019/9/18

標準常態分佈 所有常態分佈，都可以轉換成標準常態分數。他的平均數是0，標準差是1。 我們可以先知道標準分數，然後找出比這個分數高/低者，佔所有分布的比例 另外一個是，我們知道一定的比例後，要找出這個標準化分數 我們將標準常態分布的整個區域，定為1或是100%，一半就是0.5或是50% 公共管理與政治學研究方法 2019/9/18

標準正態分佈圖 公共管理與政治學研究方法 2019/9/18

肆、以抽樣分佈說明統計量的變化 以出口民調預測選舉結果 模擬估計過程 抽樣分佈(sampling distribution) 統計量所可能獲得數值的機率分佈 公共管理與政治學研究方法 2019/9/18

伍、樣本平均數的抽樣分佈 我們想知道每年家庭食品支出花費 公共管理與政治學研究方法 2019/9/18

食品支出的實例 公共管理與政治學研究方法 2019/9/18

食品支出的實例（N=25） 公共管理與政治學研究方法 2019/9/18

食品支出的實例（N=100） 公共管理與政治學研究方法 2019/9/18

樣本數對抽樣分佈與精確度的影響 公共管理與政治學研究方法 2019/9/18

標準誤(standard error) 平均數抽樣分佈的標準差稱之 公共管理與政治學研究方法 2019/9/18

抽樣分佈：常態分佈與中央極限定理 在統計上有個中央極限定理，它的內容是：在樣本數足夠大的情況下，如果把這Ｋ個平均數排起來，它們會形成正態分布，而這些樣本平均數的平均數會等於μ，這些樣本平均數的標準差會等於 公共管理與政治學研究方法 2019/9/18

不同母體分佈的抽樣分佈 不論母體的分佈如何，當樣本數趨近無限大，樣本平均數的平均數分佈會趨近正態分佈。 原始母體分佈情況與樣本大小關係 樣本平均數抽樣分佈的標準誤 母體平均數的左右三個標準誤內包含樣本平均數 公共管理與政治學研究方法 2019/9/18

不同母體分佈的抽樣分佈 公共管理與政治學研究方法 2019/9/18

陸、母體、樣本資料與樣本分佈 母體分佈：據以抽樣的對象，通常是未知 樣本分佈：可觀察的抽樣結果 可計算樣本平均數與標準差 樣本數愈大，樣本平均數會愈接近母體平均數 抽樣分佈：描述固定樣本數下，反覆抽樣下的樣本分佈情況 樣本數大小：n≧30 統計推論中抽樣分佈的關鍵角色 公共管理與政治學研究方法 2019/9/18

柒、本章小結 機率分佈：區間、總和、符號 機率分佈的平均數、標準差 常態分佈與標準常態分佈 標準化分數 抽樣分佈 抽樣平均數的平均數分佈，也有標準差 中央極限定理 公共管理與政治學研究方法 2019/9/18

提問時間 一、不清楚之處 二、如何運用 公共管理與政治學研究方法 2019/9/18