習題 5.1, 5.3, 5.5, 5.7, 5.9, 5.11, 5.17, 5.19, 5.21, 5.23

(a) 因為絕熱過程：𝑄=0，所以 ∆𝑈=𝑊。 空氣主要由氮與氧組成，都是雙原子分子，因此： 300 m/s 30,000 m/s (a) 因為絕熱過程：𝑄=0，所以 ∆𝑈=𝑊。 空氣主要由氮與氧組成，都是雙原子分子，因此： 𝑐 V = 5 2 𝑅； ∆𝑈=𝑛 𝑐 V ∆𝑇 令氣體的內能為 𝑈，動能為 𝐾；由能量守恆： 𝑈 0 + 𝐾 0 = 𝑈 1 + 𝐾 1 = 𝑈 1 ∆𝑈= 𝑈 1 − 𝑈 0 = 𝐾 0 = 1 2 𝑚 𝑤 2

因此 𝑛 𝑐 V ∆𝑇=∆𝑈= 1 2 𝑚 𝑤 2 ∆𝑇= 𝑚 𝑤 2 2𝑛 𝑐 V = 𝑀 𝑤 2 2 𝑐 V = 𝑀 𝑤 2 5𝑅 (b) 由課本 118 頁： 𝑀=0.029 kg/mol，因此 ∆𝑇= 𝑀 𝑤 2 5𝑅 = 0.029× 300 2 5×8.31 = 0.03×9× 10 4 5×8.31 = 3×9× 10 2 5×8.31 = 9× 10 2 5×2.77 = 9× 10 2 5×2.79 = 10 2 5×0.31 = 20 0.31 =65 K

(c) 因為 ∆𝑇 與速度平方成正比，隕石的速度 30,000 m/s 是空氣速度 300 m/s 的 100 倍，因此 ∆𝑇 是 10,000 倍： ∆𝑇 meteor = 10 4 ∆𝑇 air =6.5× 10 5 K 因此隕石穿過大氣層時產生的高溫會使隕石燒毀。

令水銀密度為 𝜌，一大氣壓為 𝑃 0 =𝜌𝑔 ℎ 0 ，其中 ℎ 0 為一大氣壓水銀柱高，等於 76 cm。 令 ℎ L 為長臂高度， ℎ S 為短臂高度： ℎ L =2 ℎ S =100 cm。 短臂中水銀柱高為 𝑥，因此頂端空氣柱高為 ℎ S −𝑥。 短臂中原先的空氣容積為 𝐴 ℎ S ，壓強為大氣壓 𝑃 0 ；被擠壓後的容積為 𝐴 ℎ S −𝑥 ，壓強為 𝑃 g 。注入水銀的過程可以視為等溫過程 (𝑃𝑉=const.)，因此 𝐴 ℎ S 𝑃 0 =𝐴 ℎ S −𝑥 𝑃 g ∴ 𝑃 g = ℎ S ℎ S −𝑥 𝑃 0 = ℎ S ℎ 0 ℎ S −𝑥 𝜌𝑔

𝑃 g = ℎ S ℎ S −𝑥 𝑃 0 = ℎ S ℎ 0 ℎ S −𝑥 𝜌𝑔 長臂與短臂在底部的壓強必須相等： 𝜌𝑔 ℎ L + 𝑃 0 = 𝑃 g +𝜌𝑔𝑥 2𝜌𝑔 ℎ S +𝜌𝑔 ℎ 0 = ℎ S ℎ 0 ℎ S −𝑥 𝜌𝑔+𝜌𝑔𝑥 消去公因式 𝜌𝑔： 2 ℎ S + ℎ 0 = ℎ S ℎ 0 ℎ S −𝑥 +𝑥 去分母： 2 ℎ S + ℎ 0 ℎ S −𝑥 = ℎ S ℎ 0 +𝑥 ℎ S −𝑥 ∴ 𝑥 2 − 3 ℎ S + ℎ 0 𝑥+2 ℎ S 2 =0 𝑥= 3 ℎ S + ℎ 0 ± 3 ℎ S + ℎ 0 2 −8 ℎ S 2 2 (必須取負號)

∴2𝑥= 3 ℎ S + ℎ 0 − 3 ℎ S + ℎ 0 2 −8 ℎ S 2 代入數值 (以公分 cm 為單位)： 3 ℎ S + ℎ 0 =150+76=226 ℎ S =50 ∴2𝑥=226− 226 2 −8×2500 =226 1− 1− 8×2500 226 2 𝑥=113 1− 1− 2× 2×50 2 226 2 =113 1− 1−2× 2×50 226 2

𝑥=113 1− 1−2× 2×50 226 2 =113 1− 1−2× 100 226 2 =113 1− 1−2× 100 225 2 =113 1− 1−2× 4 9 2 ==113 1− 1− 32 81

𝑥=113 1− 1− 32 81 =113 1− 49 81 =113 1− 7 9 =113× 2 9 = 226 9 = 225 9 =25 cm

令小球容積為 𝑉 𝑆 = 𝑉 0 ，則大球容積為 𝑉 𝐿 =3 𝑉 0 大小球的壓強相等，都等於 𝑃 0 ： 𝑃 𝑆 = 𝑃 𝐿 = 𝑃 0 原先大小球的溫度相等，都等於 𝑇 0 ： 𝑇 𝑆 = 𝑇 𝐿 = 𝑇 0 先必須知道大小球內空氣的莫耳數： 𝑛 𝑆 = 𝑃 𝑆 𝑉 𝑆 𝑅 𝑇 𝑆 = 𝑃 0 𝑉 0 𝑅 𝑇 0 𝑛 𝐿 = 𝑃 𝐿 𝑉 𝐿 𝑅 𝑇 𝐿 =3 𝑃 0 𝑉 0 𝑅 𝑇 0

依照題意，讓大球溫度上升至 𝑇，而壓強變成兩倍： 𝑃 𝐿 ′ =2 𝑃 0 連接兩球的管子容積可忽略不計，可讓氣體分子通過，因此小球的壓強也變成兩倍： 𝑃 𝑆 ′ =2 𝑃 0 但是連接管不傳熱，因此小球的溫度還是 𝑇 0 。再用理想氣體方程式： 𝑛 𝐿 ′ = 𝑃 𝐿 ′ 𝑉 𝐿 𝑅𝑇 =6 𝑃 0 𝑉 0 𝑅𝑇 𝑛 𝑆 ′ = 𝑃 𝑆 ′ 𝑉 𝑆 𝑅𝑇 =2 𝑃 0 𝑉 0 𝑅 𝑇 0 令大小球的空氣莫耳數為 𝑛 𝐿 ′ ，小球的空氣莫耳數為 𝑛 𝑆 ′ ；因為空氣總量不變： 𝑛 𝐿 ′ + 𝑛 𝑆 ′ = 𝑛 𝐿 + 𝑛 𝑆 =4 𝑃 0 𝑉 0 𝑅 𝑇 0

因此 6 𝑃 0 𝑉 0 𝑅𝑇 +2 𝑃 0 𝑉 0 𝑅 𝑇 0 =4 𝑃 0 𝑉 0 𝑅 𝑇 0 化簡： 6 𝑃 0 𝑉 0 𝑅𝑇 =2 𝑃 0 𝑉 0 𝑅 𝑇 0 6 𝑇 = 2 𝑇 0 𝑇=3 𝑇 0

(a) 等溫過程：𝑃𝑉=const.，因此 𝑑 𝑃𝑉 =𝑃𝑑𝑉+𝑉𝑑𝑃=0 𝑑𝑃=− 𝑃 𝑉 𝑑𝑉 壓強 𝑃 乘以活塞面積 𝐴 即是力，容積變化 d𝑉 除以 𝐴 即是位移 𝑥： 𝐹=𝐴𝑑𝑃=− 𝑃 𝑉 𝐴 𝑑𝑉=− 𝑃 𝐴 2 𝑉 𝑑𝑉 𝐴 =− 𝑃 𝐴 2 𝑉 𝑥=−𝑘𝑥

所以等溫過程的彈性常數為 𝑘 isothermal = 𝑃 𝐴 2 𝑉 (b) 絕熱過程：𝑃 𝑉 𝛾 =const.，因此 𝑉 𝛾 𝑑𝑃+𝛾𝑃 𝑉 𝛾−1 𝑑𝑉=0 𝑑𝑃=− 𝛾𝑃 𝑉 𝛾−1 𝑉 𝛾 𝑑𝑉=−𝛾𝑃 𝑑𝑉 𝑉 𝐹=𝐴𝑑𝑃=−𝛾𝐴𝑃 𝑑𝑉 𝑉 =− 𝛾𝑃 𝐴 2 𝑉 𝑑𝑉 𝐴 =− 𝛾𝑃 𝐴 2 𝑉 𝑥=−𝑘𝑥 因此 𝑘 adiabatic = 𝛾𝑃 𝐴 2 𝑉

(c) 避震器可以使用氣墊，改變彈性常數只需要調整氣缸壓強，因此比機械彈簧方便。 (d) Eq. (4.14) 是適用於任意 𝑃𝑉𝑇 系統的通式： 𝐶 𝑃 − 𝐶 𝑉 = 𝜕𝑈 𝜕𝑉 𝑇 +𝑃 𝑉𝛽 對於理想氣體而言，內能只與溫度 𝑇 有關，與容積 𝑉、壓強 𝑃 都無關，因此 𝜕𝑈 𝜕𝑉 𝑇 =0 理想氣體的熱膨脹係數 𝛽 為： 𝛽= 1 𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑇 𝑃 = 1 𝑉 𝜕 𝜕𝑇 𝑛𝑅𝑇 𝑃 𝑃 = 𝑛𝑅 𝑃𝑉 = 1 𝑇 𝐶 𝑃 − 𝐶 𝑉 =𝑃𝑉𝛽= 𝑃𝑉 𝑇 =𝑛𝑅

由熱力學第一律，∆𝑈=𝑊+𝑄=𝑊。因此 𝑊=∆𝑈= 𝐶 𝑉 ∆𝑇= 𝐶 𝑉 𝑇 𝑓 − 𝑇 𝑖 (b) 絕熱過程： 𝑃 𝑉 𝛾 =const.=𝑘 𝑘= 𝑃 𝑖 𝑉 𝑖 𝛾 = 𝑃 𝑓 𝑉 𝑓 𝛾 直接由定義計算功： 𝑊=− 𝑉 𝑖 𝑉 𝑓 𝑃 𝑑𝑉 =− 𝑉 𝑖 𝑉 𝑓 𝑘 𝑉 −𝛾 𝑑𝑉 =− 𝑘 −𝛾+1 𝑉 𝑓 −𝛾+1 − 𝑉 𝑖 −𝛾+1

𝑊=− 𝑘 −𝛾+1 𝑉 𝑓 −𝛾+1 − 𝑉 𝑖 −𝛾+1 = 1 𝛾−1 𝑘 𝑉 𝑓 −𝛾+1 −𝑘 𝑉 𝑖 −𝛾+1 = 1 𝛾−1 𝑃 𝑓 𝑉 𝑓 𝛾 𝑉 𝑓 −𝛾+1 − 𝑃 𝑖 𝑉 𝑖 𝛾 𝑉 𝑖 −𝛾+1 = 1 𝛾−1 𝑃 𝑓 𝑉 𝑓 − 𝑃 𝑖 𝑉 𝑖

(a) 絕熱過程： 𝑃 𝑉 𝛾 =const. 𝑛𝑅𝑇 𝑉 𝑉 𝛾 =const. 𝑇 𝑉 𝛾−1 = const. 𝑛𝑅 =const. (b) 𝑉= 4𝜋 3 𝑟 3 ，因此 𝑇 𝑟 3 𝛾−1 =const. 𝑇 1 𝑟 1 3 𝛾−1 = 𝑇 2 𝑟 2 3 𝛾−1

𝑇 1 𝑟 1 3 𝛾−1 = 𝑇 2 𝑟 2 3 𝛾−1 𝑟 2 = 𝑟 1 𝑇 1 𝑇 2 1 3 𝛾−1 單原子分子：𝛾= 5 3 ，因此 3 𝛾−1 =2 𝑟 1 =40 ft 𝑇 1 =300,000K， 𝑇 2 =3,000K 因此 𝑟 2 = 𝑟 1 𝑇 1 𝑇 2 1 3 𝛾−1 =40× 3× 10 5 3× 10 3 1 2 =40×10=400 ft

(a) 直接用 Eq. (5.14) ： 𝜏=2𝜋 𝑚𝑉 𝛾𝑃 𝐴 2 所需數值： 空氣是雙原子分子，因此 𝛾= 7 5 =1.4；𝑚= 10 −2 kg；𝐴=1 cm 2 = 10 −4 m 2 ；𝑉=5liters=5× 10 −3 m 3 ，𝑃=𝜌𝑔ℎ=1.01× 10 5 Pa 𝜏=2𝜋 10 −2 ×5× 10 −3 1.4×1.01× 10 5 × 10 −4 2

𝜏=2𝜋 10 −2 ×5× 10 −3 1.4×1.01× 10 5 × 10 −4 2 =2𝜋 5 1.4×1.01 × 10 −2 =2𝜋×1.88× 10 −1 =1.18 s (b) 由第五章第六節，質點所受的回復力為 𝐹=− 𝛾𝑃 𝐴 2 𝑉 𝑦 𝑚𝑔=𝐹=− 𝛾𝑃 𝐴 2 𝑉 𝑦 壓強為一大氣壓 𝑃 0 時的位移即是振輻 𝑦 𝑚 = 𝑚𝑔𝑉 𝛾𝑃 𝐴 2

𝑦 𝑚 = 𝑚𝑔𝑉 𝛾𝑃 𝐴 2 = 10 −2 ×9.8×5× 10 −3 1.4×1.01× 10 5 × 10 −4 2 =35× 10 −2 =0.35 m=35 cm

氬是單原子分子，所以 𝛾= 5 3 ，其分子量為 40，因此莫耳質量為 𝑀=40× 10 −3 kg/mol。代入聲速公式： 𝑤 2 = 𝛾𝑅𝑇 𝑀 = 5 3 ×8.31×293 40× 10 −3 = 5×2.77×293 4× 10 −2 = 5×277×293 4 = 5×285×285 2×2 𝑤= 5 × 285 2 = 10 2 × 285 2 = 3.16 1.41 × 285 2 = 158 141 ×285= 158 47 ×95= 160 48 ×95= 10 3 ×95= 950 3 = 951 3 =317 m s

氣體中聲速 𝑤 的公式為 Eq. (5.7)： 𝑤 2 =𝛾 𝑅𝑇 𝑀 因為氦與氖都是單原子分子，所以 𝛾= 5 3 氦的分子量為 4，氖的分子量為 20，因此其莫耳質量為 𝑀 𝐻𝑒 =4× 10 −3 kg mol 𝑀 𝑁𝑒 =20× 10 −3 kg mol 設氦的百分比為 𝑥，則氖的百分比為 1−𝑥 ，因此混合氣體的莫耳質量為 𝑀=𝑥 𝑀 𝐻𝑒 + 1−𝑥 𝑀 𝑁𝑒 = 𝑀 𝐻𝑒 − 𝑀 𝑁𝑒 + 𝑀 𝑁𝑒 代入聲速公式：

𝑀 𝐻𝑒 − 𝑀 𝑁𝑒 𝑥+ 𝑀 𝑁𝑒 =𝑀= 𝛾𝑅𝑇 𝑤 2 因此 𝑥= 𝛾𝑅𝑇 𝑤 2 − 𝑀 𝑁𝑒 𝑀 𝐻𝑒 − 𝑀 𝑁𝑒 = 𝑀 𝑁𝑒 − 𝛾𝑅𝑇 𝑤 2 𝑀 𝑁𝑒 − 𝑀 𝐻𝑒 代入數值： 𝑥= 20× 10 −3 − 5 3 ×8.31×300 758 2 20× 10 −3 −4× 10 −3 = 20− 5×8.31×300×1000 3× 758 2 20−4 = 20− 5×2.77×300×1000 758 2 16

𝑥= 20− 5×2.77×300×1000 758 2 16 = 20− 5×2.77×300×1000 758×758 16 = 20−5×2.77× 300 759 × 1000 758 16 = 20−5×2.77× 100 253 × 1000 758 16 = 20−5× 277 253 × 1000 758 16 = 20−5× 279 255 × 1000 758 16 = 20−5× 93 85 × 1000 758 16 = 20− 93 17 × 1000 758 16

𝑥= 20− 93 17 × 1000 758 16 = 20− 31 17 × 1000 253 16 = 5− 31 17 × 250 253 4 = 5− 31 17 4 = 5×17−31 4×17 = 85−31 4×17 = 54 4×17 = 27 34 =1− 7 34 =1− 7 35 =1− 1 5 =80% 因此氦佔 80%，氖佔 20%