3．1．3 空间向量运算的坐标表示 1．了解空间向量基本定理、意义及其表示． 2．理解空间向量的正交分解、长度公式、夹角公式和空间 3．1．3 空间向量运算的坐标表示 1．了解空间向量基本定理、意义及其表示． 2．理解空间向量的正交分解、长度公式、夹角公式和空间 两点间距离公式． 3．掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底 表示其他向量．能用向量的坐标运算解决简单几何体中的问题．

一向量 p，存在一个__________________，使得____________， 1．设 i，j，k 是空间三个两两垂直的向量，那么对空间任 一向量 p，存在一个__________________，使得____________， 我们称____________为向量 p 在 i，j，k 上的分向量． 有序实数组(x，y，z) p＝xi＋yj＋zk xi，yj，zk 2．空间向量基本定理． 如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p， xa+yb+zc 存在有序实数组(x，y，z)，使得 p＝____________.

成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}．这个集合可看 3．如果三个向量 a，b，c 不共面，那么所有空间向量所组 成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}．这个集合可看 作是由 a，b，c 生成的，我们把____________叫做空间的一个 基底 ，_________ 都叫做基向量 ．空间任何________________ 都可构成空间的一个基底． {a，b，c} a，b，c 三个不共面的向量 4．设 e1，e2，e3 为有公共起点 O 的三个两两相互垂直的单 位向量，称它们为________________． 单位正交基底

5．在空间选定一个单位正交基底{e1，e2，e3 }，以 e1，e2，e3 的公共起点 O 为______，分别以 e1，e2，e3 的方向为 x 轴， y 轴， z 轴的_________建立空间直角坐标系 Oxyz.那么对于空间任意一个 向量 p ，一定可以把它平行移动，使它的起点________________， 得到一个向量________．由空间向量分解定理可知，存在有序实 数组{x，y，z}，使得_________________．我们把_______称作向 量p 在单位正交基底 e1，e2，e3 下的坐标，记作____________． 原点 正方向 与原点O重合 p＝xe1＋ye2＋ze3 x，y，z p＝(x，y，z)

6．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有 终点与始点的坐标之差 向线段的_____________________． 7．设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 a＋b＝________________________； a－b＝________________________； (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) (a1－b1，a2－b2，a3－b3) a1b1＋a2b2＋a3b3 (λa1，λa2，λa3) λa＝__________________；a·b＝________________； a∥b⇔______________________________________； a⊥b⇔____________________. a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0

题型1 空间向量的坐标运算 例1：已知 a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，求 a＋b； a－b；a·b；(2a)·(－b)；(a＋b)·(a－b)． 思维突破：计算时注意运算法则和公式的灵活应用． 自主解答：a＋b＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2,－2,2)； a－b＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2,0,－6)； a·b＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7； (2a)·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14； (a＋b)·(a－b)＝2×2＋(－2)×0＋2×(－6)＝－8.

1．已知向量 a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则 4a＋2b＝( D ) 【变式与拓展】 1．已知向量 a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则 4a＋2b＝( D ) A．(16,0,4) C．(8,16,4) B．(8，－16,4) D．(8,0,4) 解析：4a＋2b＝4(3,－2,1)＋2(－2,4,0)＝(12,－8,4)＋ (－4,8,0) ＝(8,0,4)．故选 D.

M，N 分别是 AB，PC 的中点，并且 PA ＝AD.建立直角坐标系 题型2 坐标表示空间向量 例2：已知 PA 垂直于边长为 1 的正方形 ABCD 所在的平面， M，N 分别是 AB，PC 的中点，并且 PA ＝AD.建立直角坐标系 → → 并求MN，DC的坐标． 思维突破：空间直角坐标系建立的关键是寻找三条两两互 相垂直的直线．

2j－k，b＝－2i＋4j＋2k，则向量 a，b 的坐标分别是__________， (3,2,－1) 【变式与拓展】 2．设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，a＝3i＋ 2j－k，b＝－2i＋4j＋2k，则向量 a，b 的坐标分别是__________， (3,2,－1) (－2,4,2) ____________.

题型3 空间向量的夹角、距离公式的应用 例3：已知如图 3－1－10，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 的底 面△ABC 中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱 AA1＝2，点 N 是 A1A 的中点． (1)求 BN 的长； → → (2)求cos〈BA1，CB1〉的值． 图 3－1－10

【变式与拓展】 3．已知 a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值 是( C )

4．已知点 A 的坐标是(－1,－2,6)，点 B 的坐标是(1,2,－6)， → → O 为坐标原点，求向量OA与OB的夹角．