§2 自由代数 定义19.7:设X是集合,G是一个T-代数,为X到G的函数,若对每个T-代数A和X到A的函数,都存在唯一的G到A的同态映射,使得=,则称G(更严格的说是(G,))是生成集X上的自由T-代数。X中的元素称为生成元。 A变, 变 变, 也变 对给定的 和A,是唯一的
X G A
引理19.1:若(G,)是X上的自由T-代数,则是内射。
定理19.1:对任何集合X和类型T,存在X上的自由T-代数,并且这种T-代数在同构意义下是唯一的。 证明:1.唯一性 X G 1 G1 1 1 G X G1
存在性证明采用构造法,在证明之前,先看个例子 1º G X 存在性证明采用构造法,在证明之前,先看个例子
设X={x1,…,xn,…},T={F,→},其中ar(F)=0,ar(→)=2, 令: P0={F,x1,…,xn,…} P1={(→,ai,aj)|ai,ajP0} ={(→,F,F)}∪{(→,F,xi)|xiX}∪ {(→,xi,F)|xiX}∪{(→,xi,xj)|xi,xjX} P2={(→,ai,aj)|aiP0,ajP1}∪{(→,ai,aj)|aiP1,ajP0}
随着n的增大Pn将更为复杂。 令P(X)为:P(X)= 按类型T=({F,→},ar)定义P(X)上的运算: 把0元运算FP(X)规定为P(X)中的特定元素F 二元运算→P(X)定义为: →P(X)(p,q)=(→,p,q), 构成了X上T-代数[P(X),FP(X),→P(X)] 并且是自由T-代数 这个T-代数就是以后要讨论的命题代数.
(2)存在性 采用递归构造方法 ⅰG0=T0∪X. 这里假定T0∩X= ⅱ假设Gr(0r<n)已经确定,则: ⅲ
ⅳ定义G中运算tG:Gar(t)→G ⅴ对任何xX,(x)=x 构造 称X中的元素为生成元 Gn是T-表达式集,其复杂程度随着n的增大而增加。 推论19.1:设G是可列集X={x1,…,xn,…}上的自由T-代数。则G中每个元素都是某个有限子集Xn={x1,…,xn}所生成的自由T-代数中的元素。 下次讲余下部分和第二十章的20.2,20.3
作业: P380 :3,5,7