5.3 立体几何中的向量方法
【思考】 如何用空间向量证明空间的平行与垂直? 例1已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,D为AB的中点,AC=BC=BB1. 命题热点一 命题热点二 命题热点三 用空间向量证明空间的平行与垂直 【思考】 如何用空间向量证明空间的平行与垂直? 例1已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,D为AB的中点,AC=BC=BB1. (1)求证:BC1⊥AB1; (2)求证:BC1∥平面CA1D.
证明： 如图,以C1为原点,C1A1,C1B1,C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.由AC=BC=BB1,设AC=2, 命题热点一 命题热点二 命题热点三 证明： 如图,以C1为原点,C1A1,C1B1,C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.由AC=BC=BB1,设AC=2, 则A(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2),A1(2,0,0),B1(0,2,0),C1(0,0,0),D(1,1,2).
命题热点一 命题热点二 命题热点三
(1)l1∥l2⇔a∥b⇔存在实数λ,使b=λa(a≠0);l1⊥l2⇔a⊥b⇔a·b=0. 命题热点一 命题热点二 命题热点三 题后反思用向量方法证明空间线面位置关系的方法:设直线l1,l2的方向向量分别为a,b,平面α,β的法向量分别为e1,e2,A,B,C分别为平面α内的相异且不共线的三点(其中l1与l2不重合,α与β不重合),则 (1)l1∥l2⇔a∥b⇔存在实数λ,使b=λa(a≠0);l1⊥l2⇔a⊥b⇔a·b=0. (2)l1⊥α⇔a∥e1⇔存在实数λ,使e1=λa(a≠0);l1∥α⇔a·e1=0⇔存在非零实数λ1,λ2,使a=λ1 (3)α∥β⇔e1∥e2⇔存在实数λ,使e2=λe1(e1≠0);α⊥β⇔e1⊥e2⇔e1·e2=0.
证明：(1)以B为坐标原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图. 命题热点一 命题热点二 命题热点三 对点训练1在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,点E在线段BB1上,且EB1=1,D,F,G分别为CC1,C1B1,C1A1的中点. 求证:(1)B1D⊥平面ABD; (2)平面EGF∥平面ABD. 证明：(1)以B为坐标原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图. 则B(0,0,0),D(0,2,2),B1(0,0,4), 设BA=a,则A(a,0,0),
即B1D⊥EG,B1D⊥EF, 又EG∩EF=E,因此B1D⊥平面EGF. 结合(1)可知平面EGF∥平面ABD. 命题热点一 命题热点二 命题热点三 即B1D⊥EG,B1D⊥EF, 又EG∩EF=E,因此B1D⊥平面EGF. 结合(1)可知平面EGF∥平面ABD.
如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC= AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中点. 命题热点一 命题热点二 命题热点三 利用向量求空间角 【思考】 如何用空间向量求空间角? 例2(2017全国Ⅱ,理19) 如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC= AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中点. (1)证明:直线CE∥平面PAB; (2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角M-AB-D的余弦值.
命题热点一 命题热点二 命题热点三
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设直线l1,l2的方向向量分别为a,b,平面α,β的法向量分别为n,m. 命题热点一 命题热点二 命题热点三 题后反思用向量求空间角的方法: 设直线l1,l2的方向向量分别为a,b,平面α,β的法向量分别为n,m.
对点训练2(2017全国Ⅲ,理19)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD. 命题热点一 命题热点二 命题热点三 对点训练2(2017全国Ⅲ,理19)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD. (1)证明:平面ACD⊥平面ABC; (2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D-AE-C的余弦值.
(1)证明: 由题设可得,△ABD≌△CBD,从而AD=DC. 又△ACD是直角三角形,所以∠ADC=90°. 命题热点一 命题热点二 命题热点三 (1)证明: 由题设可得,△ABD≌△CBD,从而AD=DC. 又△ACD是直角三角形,所以∠ADC=90°. 取AC的中点O,连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO. 又由于△ABC是正三角形,故BO⊥AC. 所以∠DOB为二面角D-AC-B的平面角. 在Rt△AOB中,BO2+AO2=AB2, 又AB=BD, 所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2, 故∠DOB=90°.所以平面ACD⊥平面ABC.
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如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1= ,∠BAD=120°. 命题热点一 命题热点二 命题热点三 对点训练3(2017江苏,22) 如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1= ,∠BAD=120°. (1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值; (2)求二面角B -A1D -A的正弦值.
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例3如图,在四棱锥P-ABCD中,底面四边形ABCD是正方形,侧面PDC是边长为a的正三角形,且侧面PDC⊥底面ABCD,E为PC的中点. 命题热点一 命题热点二 命题热点三 用空间向量求空间中的距离 【思考】 如何用空间向量求空间中的距离? 例3如图,在四棱锥P-ABCD中,底面四边形ABCD是正方形,侧面PDC是边长为a的正三角形,且侧面PDC⊥底面ABCD,E为PC的中点. (1)求异面直线PA与DE所成角的余弦值; (2)求点D到平面PAB的距离.
∴PO⊥底面ABCD.如图建立空间直角坐标系O-xyz. 命题热点一 命题热点二 命题热点三 解：如图,取DC的中点O,连接PO, ∵△PDC为正三角形,∴PO⊥DC. 又侧面PDC⊥底面ABCD, ∴PO⊥底面ABCD.如图建立空间直角坐标系O-xyz.
命题热点一 命题热点二 命题热点三
(1)直线到平面的距离,两平行平面间的距离均可转化为点到平面的距离. (2)点P到平面α的距离d= (其中n为α的法向量,M为α内任一点). 命题热点一 命题热点二 命题热点三 题后反思求空间中距离的方法: (1)直线到平面的距离,两平行平面间的距离均可转化为点到平面的距离. (2)点P到平面α的距离d= (其中n为α的法向量,M为α内任一点). (3)设直线n的方向向量为n,直线n与异面直线a,b都垂直,A是直线a上任一点,B是直线b上任一点,则异面直线a,b的距离d=
对点训练4如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AB+AD=4,CD= ,∠CDA=45°. 命题热点一 命题热点二 命题热点三 对点训练4如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AB+AD=4,CD= ,∠CDA=45°. (1)求证:平面PAB⊥平面PAD. (2)设AB=AP.①若直线PB与平面PCD所成的角为30°,求线段AB的长; ②在线段AD上是否存在一个点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等?说明理由.
(1)证明：因为PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以PA⊥AB. 因为AB⊥AD,PA∩AD=A,所以AB⊥平面PAD. 命题热点一 命题热点二 命题热点三 (1)证明：因为PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以PA⊥AB. 因为AB⊥AD,PA∩AD=A,所以AB⊥平面PAD. 又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD. (2)解：以A为坐标原点,建立空间直角坐标系A-xyz,如图. 在平面ABCD内作CE∥AB交AD于点E,则CE⊥AD. 在Rt△CDE中,DE=CD·cos 45°=1,CE=CD·sin 45°=1. 设AB=AP=t,则B(t,0,0),P(0,0,t).由AB+AD=4,得AD=4-t, 所以E(0,3-t,0),C(1,3-t,0),D(0,4-t,0),
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②假设在线段AD上存在一个点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等. 命题热点一 命题热点二 命题热点三 ②假设在线段AD上存在一个点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等. 由①②消去t,化简得m2-3m+4=0.③ 因为方程③没有实数根,所以在线段AD上不存在一个点G,使得点G到点P,C,D的距离都相等. 从而,在线段AD上不存在一个点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等.
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2. 规律总结 拓展演练 1.用空间向量解决立体几何问题时,要根据情况选择,常建立空间直角坐标系,利用空间向量知识解决立体几何问题.用空间向量解决的主要立体几何问题有平行、垂直、求角、求距离等. 2.用向量证明空间中的平行关系: (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2. (2)设直线l的方向向量为v,与平面α共面的两个不共线向量v1和v2,则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x,y,使v=xv1+yv2. (3)设直线l的方向向量为v,平面α的法向量为u,则l∥α或l⊂α⇔v⊥u. (4)设平面α和β的法向量分别为u1,u2,则α∥β⇔u1∥u2.
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2=0. 规律总结 拓展演练 3.用向量证明空间中的垂直关系: (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2=0. (2)设直线l的方向向量为v,平面α的法向量为u,则l⊥α⇔v∥u. (3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2,则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2=0. 4.两异面直线所成的角不一定是它们的方向向量的夹角;两平面的法向量的夹角与两平面的二面角相等或互补;直线的方向向量与平面的法向量的夹角与线面角的余角相等或互补. (1)两条异面直线所成的角:设异面直线a,b所成的角为θ,a,b的方向向量为a,b,其夹角为φ,则有cos θ=|cos φ|= .
(2)直线和平面所成的角:如图,sin φ=|cos θ|= . 规律总结 拓展演练 (2)直线和平面所成的角:如图,sin φ=|cos θ|= . (3)平面α与平面β所成的二面角为θ,两平面的法向量分别为m,n,则|cos θ|= .
如图,设AB为平面α的一条斜线段,n为平面α的法向量,则点B到平面α的距离d= . 规律总结 拓展演练 5.点到平面的距离的向量求法: 如图,设AB为平面α的一条斜线段,n为平面α的法向量,则点B到平面α的距离d= .
规律总结 拓展演练 1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为( ) 解析 关闭 答案 解析 关闭 解析 答案
2.已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成二面角的大小为 . 规律总结 拓展演练 2.已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成二面角的大小为 . 解析 关闭 答案 解析 关闭 解析 答案
(3)已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为 ,求线段AH的长. 规律总结 拓展演练 3.(2017天津,理17) 如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°,点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2. (1)求证:MN∥平面BDE; (2)求二面角C-EM-N的正弦值; (3)已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为 ,求线段AH的长.
如图,以A为原点,分别以 方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系. 规律总结 拓展演练 解: 如图,以A为原点,分别以 方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系. 依题意可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0).
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