第二章 柯西不等式与排序不等式及其应用
2.1 柯西不等式
2.1.1 平面上的柯西不等式的代数和向量形式
1.认识二维形式的柯西不等式. 2.理解二维形式的柯西不等式的几何意义. 3.会利用二维形式的柯西不等式进行简单问题的证明.
1.二维形式的柯西不等式 定理1 (柯西不等式的代数形式)设a1,a2,b1,b2均为实数,则 定理2 (柯西不等式的向量形式)设α,β为平面上的两个向量,则|α||β|≥|α·β|. 当α及β为非零向量时,上式中等号成立⇔向量α与β共线(平行)⇔存在实数λ≠0,使得α=λβ. 当α或β为零向量时,规定零向量和任何向量平行,如α,β中至少有一个是零向量,则规定α·β=0,上面的结果仍然正确.
【做一做1-1】 若a,b∈R,且a2+b2=10,则a-b的取值范围是( ) 解析:∵(a2+b2)[12+(-1)2]≥(a-b)2,a2+b2=10, ∴(a-b)2≤20. 答案:A
【做一做1-2】 已知p,q∈(0,+∞),且p3+q3=2,则p+q的最大值为( ) 答案:A
2.定理4(平面三角不等式) 3.定理5(平面三角不等式的向量形式) 设α,β,γ为平面向量,则|α-β|+|β-γ|≥|α-γ|. 当α-β,β-γ为非零向量时,上面不等式中等号成立⇔存在非负常数λ,使得α-β=λ(β-γ)⇔向量α-β与β-γ同向,即夹角为零. 名师点拨定理4与定理5是同一定理的不同表示形式,它们都可以看作是定理3的变式.
【做一做2】 已知α,β,γ为空间向量,求证:|α-β|+|β-γ|≥|γ-α|. 分析:参照平面三角不等式的向量形式的证明方法进行证明即可. 证明:设α=(a1,a2,a3),β=(b1,b2,b3),γ=(c1,c2,c3),则α-β=(a1-b1,a2-b2,a3-b3), β-γ=(b1-c1,b2-c2,b3-c3), γ-α=(c1-a1,c2-a2,c3-a3), ∴|α-β|+|β-γ|≥|γ-α|,且等号成立⇔存在非负常数λ,使得α-β=λ(β-γ).
如何理解柯西不等式? 剖析:柯西不等式的几种形式都需要对其结构进行理解与记忆,因此,柯西不等式可以理解为有四个顺序的数来对应的一种不等关系或构造成一个不等式,如基本不等式是由两个数来构造,但怎样构造要仔细体会.例如: 结合具体问题灵活地应用柯西不等式.
题型一 题型二 题型三 题型四 利用柯西不等式的代数形式证明不等式 【例1】 设a,b∈(0,+∞),且a+b=2.
题型一 题型二 题型三 题型四 反思利用柯西不等式证明某些不等式时,有时需要将数学表达式适当地变形.这种变形往往要求具有很高的技巧,必须善于分析题目的特征,根据题设条件,综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质,找到突破口.
当且仅当存在实数λ≠0,使得m=λn时等号成立. 故(ax+by)2≤ax2+by2. 题型一 题型二 题型三 题型四 利用柯西不等式的向量形式证明不等式 【例2】 已知a,b∈(0,+∞),且a+b=1. 求证:(ax+by)2≤ax2+by2. 分析:利用柯西不等式的向量形式. 当且仅当存在实数λ≠0,使得m=λn时等号成立. 故(ax+by)2≤ax2+by2.
【例3】 在半径为R的圆内,求周长最大的内接长方形. 分析:首先表示出长方形的周长,得出目标函数,再利用柯西不等式求解. 题型一 题型二 题型三 题型四 利用柯西不等式解决实际问题 【例3】 在半径为R的圆内,求周长最大的内接长方形. 分析:首先表示出长方形的周长,得出目标函数,再利用柯西不等式求解.
反思当函数的解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解. 题型一 题型二 题型三 题型四 反思当函数的解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解.
易错点:应用柯西不等式时,因不注重等号是否成立,从而导致结果错误. 题型一 题型二 题型三 题型四 易错辨析 易错点:应用柯西不等式时,因不注重等号是否成立,从而导致结果错误.
1 2 3 4 5 A.a2+b2 B.2ab C.(a+b)2 D.4ab 答案:C
1 2 3 4 5 2已知a+b=1,则a2+b2的最小值为( ) 答案:C
1 2 3 4 5 3若3x+4y=2,则x2+y2的最小值为( ) 答案:D
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5设实数x,y满足3x2+2y2≤6,则p=2x+y的最大值是 . 1 2 3 4 5 5设实数x,y满足3x2+2y2≤6,则p=2x+y的最大值是 .