一維變速度運動中 平均速度與瞬時速度的迷思 c a b d e 發表於第21屆科學教育學術研討會，彰化師大主辦，2005年12月18日

一維 二維 對象：大一理工科系新生103位。 方式：示範群測。 主要概念：平均速度和瞬時速度 等速度運動 變速度運動 等加速度運動 非等加速度運動 直線單向運動 斜面運動 自由落體 垂直上拋運動 一 維 往 返 運 動 彈簧簡諧運動 走走停停、忽快忽慢 溜溜球 上山下山 拋體運動（平拋、斜拋） 等速率圓周運動 垂直圓周運動（非等速率） 其他平面運動 對象：大一理工科系新生103位。 方式：示範群測。 主要概念：平均速度和瞬時速度

概念前測第一題：斜面實驗 球從軌道頂端(i點)滾下來，a d c e b五點之間等距離。 測量a點到b點的距離△xab及球從a點到b點所花的時間△tab ，用△xab除以△tab，得到平均速度Vab ； 同理，用△xde除以△tde，可以得到平均速度Vde。 問題： 球從a→d→c→e→b，速度的變化情形？ Vab是不是球經過 c 點時的速度？如果是，為什麼？如果不是，那要怎麼量？ Vde是不是球經過 c 點時的速度？如果是，為什麼？如果不是，那要怎麼量？ 你認為Vab和Vde應不應該相等？

概念前測第二題：彈簧實驗 砝碼上下振盪 ，a點是最高點，b點是最低點，c點是中間點， a d c e b五點之間等距離。 測量a點到b點的距離△xab及砝碼從a點到b點所花的時間△tab ，用△xab除以△tab，得到平均速度Vab ； 同理，用△xde除以△tde，可以得到平均速度Vde。 問題： 砝碼從a→d→c→e→b，速度的變化情形？ Vab是不是砝碼經過 c 點時的速度？如果是，為什麼？如果不是，那要怎麼量？ Vde是不是砝碼經過 c 點時的速度？如果是，為什麼？如果不是，那要怎麼量？ 你認為Vab 和Vde 應不應該相等？ c a b d e

設計說明 二個問題中，平均速度都不是位置中點的速度。而且Vab 和Vde 都不相等。 問完Vab，將距離縮短再問Vde，其目的有二： (1)重覆檢測學生是否認為只要取的是等距離，位置中點的平均速度就是平均速度。 (2)給暗示，藉由距離的縮短讓學生想到瞬時速度的極限概念。 c a b d e 彈簧的問題，主要的目的是作為和等加速度運動的對比，而不是診斷學生對簡諧運動的瞭解，但得到的結果仍有許多參考價值。

研究結果

表一、學生在斜面運動問題中呈現的概念 概 念 55(53.4%) 48(46.6%) 二點間的平均速度等於其位置中點的速度。 概 念 人數(百分比) 二點間的平均速度等於其位置中點的速度。 因為是等加速度運動。(38人) 因為各點之間是等距離 / 因為c是中間點，所以Vab=Vde= Vc。(14人) 理由空白。(3人) 55(53.4%) 二點間的平均速度不等於其位置中點的速度。 瞬時速度的極限概念。(1人) 要量c點的瞬時速度，但沒有具體說要怎麼量。(1人) 利用公式，來計算c點的瞬時速度。(30人) 量i點(或a點)到c點的距離和時間，相除後即為c點的速度。(8人) 若把摩擦力扣除之後，則Vab=Vde= Vc。(2人) 求出二段距離的平均速度後再平均。(4人) 將c點的速度分為x、y方向來算。(1人) 理由空白。(1人) 48(46.6%)

表三、學生在彈簧問題中呈現的概念 題B12：方法及理由 總計 量c點的瞬時速度。 1 利用圓周運動(等效圓)的公式來計算。 9 NN YY 總計 量c點的瞬時速度。 1 利用圓周運動(等效圓)的公式來計算。 9 利用能量守恆的公式來計算。 8 認為只要推算出加速度，就可以得知c點的速度。 12 利用等加速度的公式如v=gt, v2=v02+2aS等來計算。 11 認為量ac的距離除以ac的時間即為c點的速度。 7 因速度的變化是對稱的，或以圖來說明。 5 4 c點的速度為零。 2 3 分別求出ac和cb的平均速度，再平均得c點的速度 測量ab的距離除以ab的時間即為c點的速度。 因為c點是中點。 不知所云、說明不清或無法分類 13 空白 10 合計： 81(79%) 22(21%) 103

主要迷思概念：平均速度等於中點的速度 斜面實驗中，53.4%的同學認為平均速度等於中點的速度。 彈簧實驗中，從a到b不是等加速度運動，所以兩點中間c點的速度不等於Vab。（但也有學生認為彈簧是做等加速度運動，所以 c點的速度等於Vab ） 彈簧實驗中，21%的同學認為平均速度等於中點的速度。 斜面實驗中，由a到b是等加速度運動，所以兩點中間c點的速度會與Vab相同。

主要迷思概念：平均速度等於中點的速度 斜面實驗中，約53.4%的同學認為平均速度等於中點的速度。 彈簧實驗中，約21%的同學認為平均速度等於中點的速度。 斜面實驗中，由a到b是等加速度運動，所以兩點中間c點的速度會與Vab相同。 彈簧實驗中，從a到b不是等加速度運動，所以兩點中間c點的速度不等於Vab。（但也有學生認為彈簧是做等加速度運動，所以 c點的速度等於Vab ） 斜面實驗中， Vab是平均速度，就是中間c點的瞬時速度。 因為每點間等距。（有學生認為球經每個點所增加的速度變化相同） c a b d e 彈簧實驗中，c為ab的中點，因此c點的速度等於Vab。 彈簧實驗中，c為ab的中點，又a點b點的速度均為0，故Vab=0。 d點e點的速度大小相等方向相反，故Vde=0。 c a b d e

中點的速度是不是二端點速度的平均？ 斜面實驗中(等加速度運動)，中點的速度等於二端點速度的平均。 c a b d e 彈簧實驗中(非等加速度運動)，中點的速度不等於二端點速度的平均。 c為ab的中點，又a點b點的速度均為0，故Vab=0。 d點e點的速度大小相等方向相反，故Vde=0。 迷思概念→

問題與討論 一個『不適當』的例題 平均速度的定義及概念 瞬時速度的極限概念 瞬時速度概念的發展 如何教會平均速度與瞬時速度的概念？ a c b d e

問題與討論：一個『不適當』的例題 王同學投擲溜溜球（Yo-Yo球）。溜溜球以每秒1公尺的速率擲出，在2秒後以相同速率、相反方向回到他的手中（王同學手的位置未變）。溜溜球自離開王同學手中到回到他手中的平均速度及平均加速度大小為何？（九十三學年度學科能力測驗試題自然考科第11題；考生153773人，答對率27%） 這題的答對率和當年其它題相比是相當低的。 題目設計的原意是可能在診斷學生是否清楚平均速度和平均加速度的定義。 (本文只討論平均速度) 這一題平均速度的答案是零，它的解是根據平均速度的定義(位移除以時間)，因為位移等於零，所以平均速度也等於零。 研究者認為，用這個情境來問『平均速度』是不恰當的，這樣算出來的平均速度在概念上沒有實質的物理意義。 甚至可能會有學生誤用平均速度等於初速加末速除以2來算，答案正巧也是零。 研究者認為，這樣的題目不僅達不到評量的目的，恐怕還會加深學生對平均速度的迷思。

問題與討論：平均速度的定義及概念 知道位移除以時間，並不代表就能瞭解平均速度。 本文所提到的許多學生的迷思概念，其根源都是在於對平均速度意義的不瞭解。 變速度運動中的平均速度概念，一維、二維是不同的，和等速度運動中的平均速度概念也不同。 在變速度運動中教平均速度，應該要從為何定義為位移除以時間來切入，由極限的觀念幫助學生理解瞬時速度的意義。 （一維、二維問題分開討論） 平均速度的教學應作為學習瞬時速度(短時間短距離)的基礎，因此強調長時間、長距離(或往返運動算位移)的平均速度容易產生學習上的誤導。

問題與討論：瞬時速度的極限概念 瞬時速度是學習各種變速度運動，如自由落體、拋體運動、圓周運動、簡諧運動等等的基礎。 雖然從國三到高中的教材中，瞬時速度的概念重複出現，但從本研究中我們可以看到，大一新生還是無法自然的想到用這個定義來測c點的速度，可見這並不是個容易深入腦海的概念。 國三理化課本 在計算平均速度時，如果所取的時間間隔愈小，則平均速度就愈能描述某一時刻物體真正的運動情形，此時的平均速度可當作該時刻的瞬時速度。瞬時速度常簡稱為速度。（國立編譯館，91年度版）

問題與討論：瞬時速度概念的發展 伽利略時代，並沒有取時間無窮小量的觀念，他在斜面運動中是算一段長距離所花費的時間來推出距離和時間的關係。 提出從時間的無窮小量觀念發展出瞬時速度概念的是牛頓，這個觀點的突破，讓當時的物理學有了進一步的發展。 瞬時速度就是時間取很短哪！也是一種平均速度啊！ 時間怎麼取很短？ 設計對話 教了微積分就能解決問題嗎？ 我研究斜面時就沒用微積分！ 那是不是要先教微積分？ Issac Newton ,1642~1727 Galileo Galilei,1564~1642

問題與討論：如何教會平均速度與瞬時速度的概念 從長期的教學經驗、本研究的統計資料及科學史的發展來看，這不是件容易的事。 要瞭解速度為什麼要定義為『位移除以時間』。 瞭解速度與速率的概念。（一維、二維） 教師要對學生的迷思概念有所體認。 要有適當的例題及教學策略。 瞬時速度概念的學習必須建立在平均速度概念的瞭解及具有能想像『無窮小量』的能力。 氣墊軌道的實驗，可以幫助學生思考與釐清觀念。

小結(一維變速度運動中平均速度與瞬時速度的迷思) 粗略估計約有一半的大一理工科新生認為平均速度就是其位置中點的速度。 學生對於平均速度有許多迷思概念。 學生對彈簧運動的特性有許多迷思概念。 很少大一新生具有瞬時速度的極限概念。 瞬時速度概念的學習必須建立在平均速度概念的瞭解及具有能想像『無窮小量』的能力。 經過前測後，對於氣墊軌道實驗的進行有明顯的幫助。