第十一章 Black-Scholes 模型的分析  教学目的与要求  理解股票价格对数正态分布的特性。掌握 Black-Scholes 微分方程的基本概念和推导 Black-Scholes 公式的过程，掌握公式的性质，并且能够运用该公式进行定价；掌握风险中性定价的原理和方法。能够运用期权定价公式对支付红利的股票期.

第十一章 Black-Scholes 模型的分析  教学目的与要求  理解股票价格对数正态分布的特性。掌握 Black-Scholes 微分方程的基本概念和推导 Black-Scholes 公式的过程，掌握公式的性质，并且能够运用该公式进行定价；掌握风险中性定价的原理和方法。能够运用期权定价公式对支付红利的股票期权进行定价。

 教学重点及难点  一、布莱克 —— 舒尔斯微分方程  ( 一 ) 布莱克 —— 舒尔斯微分方程的推导  ( 二 ) 风险中性定价原理  二、布莱克 —— 舒尔斯期权定价公式  三、有收益资产的期权定价公式  ( 一 ) 有收益资产欧式期权的定价公式  ( 二 ) 有收益资产美式期权的定价

股票期权定价的 Black-Scholes 公式  在70年代初，Fischer Black、Myron Scholes和Robert Merton取得了一个重要大的突破，推导出股票期权定价的微分方程。  他们的工作对市场参与者从事期权对冲及定价等行为产生了巨大的影响

一、布莱克 —— 舒尔斯微分方程  （一）思路：  由于衍生证券价格和标的证券价格都受同一种不确定性 (dz) 影响，若匹配适当，这种不确定性就可以相互抵消。  布莱克和舒尔斯建立一个包括一单位衍生证券单位标的证券多头的投资组合。  若数量适当，标的证券多头盈利 ( 或亏损 ) 总是会与衍生证券空头的亏损 ( 或盈利 ) 相抵消，因此在短时间内该投资组合是无风险的。  在无套利机会的情况下，该投资组合在短期内的收益率一定等于无风险利率。

（二）布莱克 — 舒尔斯微分方程的假设  1 ．证券价格遵循几何布朗运动，即 μ 和 σ 为常数；  2 ．允许卖空标的证券；  3 ．没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的；  4 ．在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付；  5 ．不存在无风险套利机会；  6 ．证券交易是连续的，价格变动也是连续的；  7 ．在衍生证券有效期内，无风险利率 r 为常数。

( 三 ) 布莱克 —— 舒尔斯微分方程的推导  1 、基础证券的运动模型：  由于假设证券价格 S 遵循几何布朗运动，因此有：  dS ＝ μSdt 十 σSdz  其在一个小的时间间隔 Δt 中， S 的变化值 ΔS 为：  ΔS=μSΔt+σSΔz…… （ 1 ）

2 、衍生工具的运动模型：假设 f 是依赖于 S 的衍生证券的价格，则 f 一定是 S 和 t 的函数，由伊藤引理可得 :

 3 、构建无风险组合：  从上面分析看出， (1) 和 (2) 中的 Δz 相同，都等于。  因此只要选择适当的衍生证券和标的证券的组合就可以消除不确定性。  为了消除 Δz ，我们可以构建一个包括一单位衍生证券空头和单位标的证券多头的组合。  令 Π 代表该投资组合的价值，则：

 4 、无套利定价  由于式 (5) 中不含有 Δz ，该组合的价值在一个小时间间隔 Δt 后必定没有风险。  因此该组合在 Δt 中的瞬时收益率一定等于 Δt 中的无风险收益率。  否则的话，套利者就可以通过套利获得无风险收益率。  因此，在没有套利机会的条件下：  ΔΠ ＝ rΠΔt…… （ 6 ）  把式 (3) 和 (5) 代入（ 6 ）得 :

5 、这就是著名的布菜克 —— 舒尔斯微分分程, 它适用于其价格取决于标的证券价格 S 的所有衍生证券的定价。

 6 、注意 (1) 组合的风险性  当 S 和 t 变化时，的值也会变化，因此上述投资组合的价值并不是永远无风险的，它只是在一个很短的时间间隔 Δt 中才是无风险的。  在一个较长时间中，要保持该投资组合无风险，必须根据于的变化而相应调整标的证券的数量。  当然，推导布莱克 —— 舒尔斯微分方程并不要求调整标的证券的数量，因为它只关心 Δt 中的变化。

 (2) 风险中性定价原理  从式 (7) 可以看出，衍生证券的价值决定公式中出现的变量为标的证券当前市价 (S) 、时间 (t) 、证券价格的波动率 (σ) 和无风险利率，它们全都是客观变量，独立于主观变量 —— 风险收益偏好。  而受制于主观的风险收益偏好的标的证券预期收益率 μ 并未包括在衍生证券的价值决定公式中。  这意味着，无论风险收益偏好状态如何，都不会对 f 的值产生影响。

 在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。  在所有投资者都是风险中性的条件下，所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率 r ，这是因为风险中性的投资者并不需要额外负担外的收益来吸引他们承担风险。  在风险中性条件下，所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。这就是风险中性定价原理。

 应该注意的是，风险中性假定仅仅是为了求解布莱克 —— 舒尔斯微分方程而作出的人为假定。  但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资考风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。

二、布莱克 —— 舒尔斯期权定价公式  1973 年，布莱克和舒尔斯成功地求解了他们的微分方程，从而获得了欧式看涨期权和看跌期权的精确公式。  在风险中性的条件下，欧式看涨期权到期时 (T 时刻 ) 的期望值为：

 其中，表示风险中性条件下的期望值。根据风险中性定价原理，欧式看涨期权的价格 c 等于将此期望值按无风险利率进行贴现后的现值，即：

在风险中性条件下，我们可以用 r 取代下式中的 μ

 N(x) 为标准正态分布变量的累计概率分布函数 ( 即这个变量小于 x 的概率 ) 。  根据标准正态分布函数特性，有：  N(—x) ＝ 1—N(x) 。

 对 B-S 公式理解  （ 1 ） N(d 2 ) 是在风险中性世界中 S T 大于 X 的概率，即是欧式看涨期权被执行的概率；  e -r(T-t) XN(d 2 ) 是 X 的风险中性期望值的现值。  SN(d 1 ) ＝ e -r(T-t) S T N(d 1 ) 是 S T 的风险中性期望值的现值。

 （ 2 ） Δ ＝ N(d 1 ) 是复制交易策略中股票的数量， SN(d 1 ) 就是股票的市值。  -e -r(T-t) XN(d 2 ) 则是复制交易策略中负债的价值。  （ 3 ）从金融工程的角度来看，欧式看涨期权可以分拆成资产或无价值看涨期权 (Asset—or—noting call option) 多头和现金或无价值看涨期权 (cash—or—nothing option) 空头。

 在标的资产无收益情况下，由于 C ＝ c ，因此式 (10) 也给出了无收益资产美式看涨期权的价值。  根据欧式看涨期权和看跌期权之间存在平价关系，可以得到无收益资产欧式看跌期权的定价公式：  p ＝ Xe -r(T-t) N(—d 2 )—SN(—d 1 ) (11)

 由于美式看跌期权与看涨期权之间不存在严密的平价关系，因此美式看跌期权的定价还没有得到一个精确的解析公式。  美式看跌期权可以用蒙特卡罗模拟、二叉树和有限差分三种数值方法以及解析近似方法求出。

三、有收益资产的期权定价公式  到现在为止，我们一直假设期权的标的资产没有现金收益。  那么，对于有收益资产，其期权定价公式是什么呢？  实际上，如果收益可以准确地预测到，或者说是已知的，那么有收益资产的期权定价并不复杂。

( 一 ) 有收益资产欧式期权的定价公式  在收益己知情况下，我们可以把标的证券价格分解成两部分：期权有效期内已知现金收益的现值部分和一个有风险部分。  当期权到期时，这部分现值将由于标的资产支付现金收益而消失，因此，我们只要用 S 表示有风险部分的证券价格。  σ 表示风险部分遵循随机过程的波动率。  直接套用公式（ 10 ）和（ 11 ）分别计算出有收益资产的欧式看涨期权和看跌期权的价值。

 当标的证券己知收益的现值为 I 时，我们只要用 (s—I) 代替式 (10) 和 (11) 中的 S 即可求出固定收益证券欧式看涨和看跌期权的价格。  当标的证券的收益为按连续复利计算的固定收益率 q( 单位为年 ) 时，将 Se -q(T-t) 代替式 (10) 和 (11) 中的 S 就可求出支付连续复利收益率证券的欧式看涨和看跌期权的价格。从而使布莱克 —— 舒尔斯的欧式期权定价公式适用欧式货币期权和股价指数期权的定价。

对于欧式期货期权，布莱克教授也给出了定价公式：

 例 1  假设当前英镑的即期汇率为 $1.5000 ，美国的无风险连续复利年利率为 7 ％，英国的无风险连续复利年利率为 10 ％，英镑汇率遵循几何布朗运动，其波动率为 10 ％，求 6 个月期协议价格为 $1.5000 的英镑欧式看涨期权价格。  由于英镑会产生无风险收益, 现在的 1 英镑等于 6 个月后的 e 0.1×0.5 英镑, 而现在的 e - 0.1×0.5 英镑等于 6 个月后的 1 英镑，因此可令 S ＝ 1.5000×e -0.1×0.5, 并代入式（ 10 ）可求出期权价格：

 通过查累积正态分布函数 N(x) 的数据表，我们可以得出：  c=1.4268×0.4298—1.4484×0.4023 ＝ 0.0305 ＝ 3.05 美分  因此， 6 个月期英镑欧式看涨期权价格为 3.05 美分。

( 二 ) 有收益资产美式期权的定价  1 ．美式看涨朔权  当标的资产有收益时，美式看涨期权就有提前执行的可能，因此有收益资产美式期权的定价较为复杂。  布莱克提出了一种近似处理方法。

 方法：  先确定提前执行美式看涨期权是否合理。  若不合理，则按欧式期权处理；  若在 t n 提前执行有可能是合理的，则要分别计算在 T 时刻和 t n 时刻到期的欧式看涨期权的价格，然后将二者之中的较大者作为美式期权的价格。  在大多数情况下，这种近似效果都不错。

例2例2  假设一种 1 年期的美式股票看涨期权，标的股票在 5 个月和 11 个月后各有一个除权日，每个除权日的红利期望值为 1.0 元，标的股票当前的市价为 50 元，期权协议价格为 50 元，标的股票波动率为每年 30 ％，无风险连续复利年利率为 10 ％，求该期权的价值。

 首先我们要看看该期权是否应提前执行。根据前面的结论，美式看涨期权不能提前执行的条件是：

 在本例中， D 1 =D 2 ＝ 1.0 元。  第一次除权日前不等式右边为  X[1-e -r(t1-t2) ] ＝ 50×(1—e —0.1×0.5 ) ＝ 2.4385  由于 2.4385 ＞ 1.0 元，因此在第一个除权日前期权不应当执行.  第二次除权日前不等右边为：  X[1-e -r(T-t2) ] ＝ 50×(1—e —0.1×0.0833 ) ＝ 0.4148  由于 0.4148 ＜ 1.0 元，因此在第二个除权日前有可能提前执行  然后，要比较 1 年期和 11 个月期欧式看涨期权价格。

 对于 1 年期欧式看涨期权来说，由于红利的现值为：  1.0×e -0.1×0.4167 十 1.0×6 —0.1×0. 9167 ＝ 1.8716 元  因此 S=48.1284 ，代入式 (10) 得：  c 12 ＝ 48.1284N(d 1 ) 一 50e —0.1×1 N(d 2 ) ＝ 48.1284 N(d 1 ) 一 45.2419 N(d 2 )  其中  d 1 =[1n(48.1284 ／ 50) 十 (0.1 十 0.09 ／ 2)×1 ]/[0.3×√1]= 0.3562  d 2 =0.3526-0.3×√1 ＝ 0.0562  由于 N(0.3562) ＝ 0.6392  N(0.0562) ＝ 0.5224  c 12 ＝ 48.1284×0.6392—45.2419×0.5224 ＝ 7.1293 元

 对于 11 个月期的欧式看涨期权来说，由于红利的现值为：  1.0×e -0.1×0.4167 =0.9592 元  因此 S=9.0408 元，代入式 (10) 得  c 11 ＝ 49.0408N(d 1 ) 一 50e —0.1×0.9167 N(d 2 ) ＝ 49.0408N(d 1 ) 一 45.6203N(d 2 )  其中：  d 1 =[1n(49.0408 ／ 50) 十 (0.1 十 0.09 ／ 2)×0.9167 ]/[0.3×√0.9167]= 0.3952  d 2 =0.3952-0.3×√0.9167 ＝ 7.2824  c 11 ＝ 49.0404×0.6536—45.6203×0.543 ＝ 7.2824  由于 C11 ＞ C12 ，  因此该美式看涨期权价值近似为 7.2824 元

 2 、美式看跌期权  由于收益虽然使美式看跌期权提前执行的可能性减小，但仍不排除提前执行的可能性，因此有收益美式看跌期权的价值仍不同于欧式看跌期权，它也只能通过较复杂的数值方法来求出。

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