CHAPTER 4 CHAPTER 4 微 分 微 分. 4-1 導數 p.124 例 1:

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1 CHAPTER 4 CHAPTER 4 微 分 微 分

2 4-1 導數

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4 p.124 例 1:

5 切線斜率

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8 p.126 例 2:

9 瞬時速度 速度的意義是指在一段時間內物體移動了多 少距離，以 S 表示位移， t 表示時間，則平 均速度 = 位移變化量 / 時間變化量，可用符號 表示為 。但在現實生活中，我們更 想知道在某一瞬間 (t = t 0 ) 的瞬時速度 v ，一 瞬間指時間變化量趨近於 0 ( △ t → 0)

10 p.127 例 3:

11 邊際成本 邊際效應指的是最後加上去的單位所產生的效 應， 邊際觀念用於成本，就產生了邊際成本，指的 是再增加 1 單位商品的生產所需的成本； 邊際觀念用於收入，就產生了邊際收入，指的 是再增加 1 單位商品的銷售所得到的收入； 邊際的概念代表著單量的變化，比總量更具有 經濟的意義。

12 例 : 有個大胃王，一次可吃下二十碗飯， 這二十碗飯就是總量， 吃這二十碗飯的過程中，每一碗所帶來的效果 就屬於邊際問題， 吃第一碗飯時有一種從無到有的滿足感，漸漸 的當吃到第二十碗時，其滿足感就與第十九碗 相差不大， 邊際效用遞減的結果，讓人們即使在無預算限 制下，也不會永無止盡的消費下去。

13 廠商生產一種商品的總成本 (Total Cost) 分為兩 大項，一項是不因生產量變動而變動的固定成 本 (Fixed Cost) ，另一項是生產一單位產量所需 的成本稱為可變成本 (Variable Cost) ，故總成本 函數 C(x)= 固定成本 +( 平均可變成本 ) × ( 產量 ) 邊際成本 (Marginal Cost) 指的是當產量為 x 0 時，再增加 1 單位商品的生產所需之 實際成本。

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16 p.129 例 4:

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20 電流變化 電流是指在一段時間之內通過導線橫截 面之電量

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22 p.131 例 5:

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25 極限存在  左極限 = 右極限 導數存在  左導數 = 右導數

26 p.133 例 6:

27 從圖形來觀察函數到底在那些地方有導 數 ( 可以微分 ) 或那些地方沒有導數 ( 不可 微分 ) 。 函數不可微分的點有三類 : (1) 角點 (2) 具有垂直切線的點 (3) 不連續點

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31 導函數就是函數 f (x) 的所有導數的集合 導函數本身也是函數的一種，故導函數 也存在著定義域和值域的對應關係， 導函數的定義域與函數的定義域兩者不 一定完全相同 函數 f (x) 在其定義域中的每一個點都可 微分，此時兩者的定義域才會完全相同

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33 p.136 例 7:

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38 微分與連續之關係 若函數 f 在 x 0 可微分，則 f 在 x 0 連續 若函數 f 在 x 0 為連續，則 f 在 x 0 不一定 可微分

39 p.138 例 8: 試證「若函數 f 在 x 0 可微分，則 f 在 x 0 連 續」

40 4-2 微分公式 介紹常見的微分公式，以利我們很快的 求出導函數，更進一步求出在 x 0 的導數 值。 以下的微分公式皆可用導函數的定義求 出。

41 p.143 例 9: 試微分下列函數 y=f (x) ，求出導函數 y ’ ? (1) (2) y =-100 (3) y =100

42 在冪次公式中，當 n 推廣為任意實數時， 結果仍可成立

43 p.144 例 10:

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45 p.145 例 11:

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47 p.146 例 12:

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50 p.148 例 13:

51 4-3 連鎖法則

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54 p.152 例 14:

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56 p.152 例 15:

57 p.153 例 16:

58 p.154 例 17:

59 p.154 例 18:

60 p.155 例 19:

61 4-4 隱微分法

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65 p.159 例 20:

66 p.159 例 21:

67 p.160 例 22:

68 p.160 例 23:

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70 4-5 高階導函數

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72 p.164 例 24:

73 p.165 例 25:

74 p.165 例 26:

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76 p.166 例 27:

77 在物理學上有所謂的瞬時速度和瞬時加速度， 瞬時速度是指位移對時間的變化率，瞬時加 速度是指瞬時速度對時間的變化率，對導數 而言，瞬時速度是一階導函數，瞬時加速度 是二階導函數。

78 p.167 例 28:

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80 4-6 三角函數的導函數 導數的幾何意義就是切線斜率

81 sin 函數的導數列表如下 : x -2π -3π/2 – π – π/2 0 π/2 π 3π/2 2π (sinx) ’ 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 若將上表之對應關係在座標平面上標示出 來，並將這些點以平滑的曲線連接起來， 其結果如圖 4-7 所示，這似乎是一個 cos 函數的圖形。

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86 p.172 例 29:

87 p.172 例 30:

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89 p.173 例 31:

90 p.174 例 32:

91 補充 :

92 p.1734 例 33:

93 4-7 對數函數與指數函數的導函數 常數 e 是一個不循環的無限小數，其定義 如下 :

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95 p.178 例 34:

96 p.178 例 35:

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99 p.179 例 36:

100 p.179 例 37:

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104 p.181 例 38:

105 p.181 例 39:

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108 p.182 例 40:

109 p.183 例 41:

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