第三节 二阶线形微分方程 4.3.1 二阶线形齐次微分方程4.3.1 二阶线形齐次微分方程 4.3.2 二阶线形非齐次微分方程4.3.2 二阶线形非齐次微分方程.

Presentation on theme: "第三节 二阶线形微分方程 4.3.1 二阶线形齐次微分方程4.3.1 二阶线形齐次微分方程 4.3.2 二阶线形非齐次微分方程4.3.2 二阶线形非齐次微分方程."— Presentation transcript:

1

2 第三节 二阶线形微分方程 4.3.1 二阶线形齐次微分方程4.3.1 二阶线形齐次微分方程 4.3.2 二阶线形非齐次微分方程4.3.2 二阶线形非齐次微分方程

3 第三节 二阶线形微分方程 一、引例 二、概念和公式的引出 三、案例

4 www.cec.edu.cn 第三节 二阶微分方程 一、引例 [ 弹簧的运动方向 ] 设一弹簧放于油中，其运动满足以下微分方程 二阶线形齐次微分方程

5 www.cec.edu.cn 第三节 二阶微分方程 二、概念和公式的引出 二阶线性微分方程 形如 的方程称为二阶线性微分方程．如果 ，方程称为齐次的；如果 ，方程称为非齐次的。

6 www.cec.edu.cn 第三节 二阶微分方程 齐次线性方程解的结构 如果函数与 是二阶齐次线性微分方程 的两个解，那么 也是该方程的解，其中 、 是任意常数．如果 与 之比不为常数 、 是任意常数 是该方程的通解．求二阶常系数齐次线性微分方程 的通解步骤如下： 常数），则 （即

7 www.cec.edu.cn 第三节 二阶微分方程 第一步 写出对应的特征方程 第二步 求出特征根 、 ； 出了三种不同特征根对应的方程的通解． 第三步 根据 的三种不同情况，写出对应的通解．下表给 特征方程的根微分方程的通解 两个相异实根 两个相等的实根 一对共轭复根

8 www.cec.edu.cn 第三节 二阶微分方程 三、案例 案例 1 质量为 10 千克的物体悬于弹簧下, 使之比自然状态伸长了 0.7 米. 物体以 1 米 / 秒的初始速度从平衡位置开始向上运动. 若空气阻力是 牛,求牛,求 解 取米/秒米/秒,有,有牛牛/米,而牛/米,而 ( 没有外力 ). 由公式得： 物体随后的运动. 研究

9 www.cec.edu.cn 第三节 二阶微分方程 相应的特征方程的根是他们都是实的单根 ; 因此 (1) 的解是 初始条件是 ( 物体从平衡位置开始运动 ) 和 初始速度在负方向上. 应用这些条件有于是, 注意当 时,时, 因此运动是瞬时的.

10 第三节 二阶线形微分方程 一、引例 二、概念和公式的引出 三、案例

11 www.cec.edu.cn 第三节 二阶微分方程 一个 RLC 串联回路由电阻 欧姆，电容法拉，电感 一、引例 [ 电路问题 ] 电流是 1 安培，求随后电容上的电量． 解 由基尔霍夫定律，得 将已知条件代入上式，得 初始条件为 亨利和电源构成．假设在初始时刻 ，电容上没有电量

12 www.cec.edu.cn 第三节 二阶微分方程 二、概念和公式的引出 二阶线性. 非齐次微分方程解的结构 设是二阶非齐次线性 的一个特解， 是该方程所对应的齐次线性方程 (6-10) 的通解，则 是非齐次线性方程（ 6-9 ）的通解． 微分方程

13 www.cec.edu.cn 第三节 二阶微分方程 三、案例 案例 1 设某一 RLC 回路中 ，， ，, 则满足以下微分方程 设其特解为 求导，得

14 www.cec.edu.cn 第三节 二阶微分方程 将其代入原方程，得 即 解得 因此