第五章 一元函数积分学 第一节 不定积分的概念与性质 第一节 不定积分的概念与性质 第二节 不定积分法 第二节 不定积分法 第三节 定积分的概念与性质 第三节 定积分的概念与性质 第四节 牛顿 - 莱布尼兹公式 第四节 牛顿 - 莱布尼兹公式 第五节 定积分的换元法与分部积分法 第五节 定积分的换元法与分部积分法.

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1 第五章 一元函数积分学 第一节 不定积分的概念与性质 第一节 不定积分的概念与性质 第二节 不定积分法 第二节 不定积分法 第三节 定积分的概念与性质 第三节 定积分的概念与性质 第四节 牛顿 - 莱布尼兹公式 第四节 牛顿 - 莱布尼兹公式 第五节 定积分的换元法与分部积分法 第五节 定积分的换元法与分部积分法 第六节 广义积分 第六节 广义积分 第七节 数学实验四 用 Mathematica 计算积分 第七节 数学实验四 用 Mathematica 计算积分

2 第五章 一元函数积分学 微分和积分是高等数学中的两大基本运算. 微分的基本 问题是 : 已知一个函数, 求它的导数. 但是, 在许多实际问 题中往往会遇到反问题 : 已知一个函数的导数, 求原来的 函数. 由此产生了积分学. 积分学包括不定积分和定积分 两大部分.

3 第一节 不定积分的概念与性质 一、原函数

4

5 证

6 二、不定积分

7 证

8 由导数与不定积分定义，很容易得到如下规律： （微分运算与不定积分的运算是互逆的！）

9 三、不定积分的几何意义

10 由于不定积分是微分的逆运算，所以根据微分基本公式 就得对应的积公式： 四、基本的积分公式

11 以上 13 个公式是积分法的基础，必须熟记，不仅要 记住等式右端的结果，还要熟悉左端被积函数的形式！

12 由导数的运算法则和不定积分的定义，可以得到以下不 定积分的运算法则. 法则 1 对于有限个函数的代数和也是成立的 ! 五、积分的基本运算法则

13 解

14 解 解

15 解 解

16 解

17 解

18 思考题 答案

19 课堂练习题 答案

20 第二节 不定积分 利用直接积分法能计算的不定积分是非常有限的，因此有 必要探索计算不定积分的新方法. 本节介绍换元积分法与分部 积法、换元积分法可分为第一类换元法和第二类换元法. 第一类换元积分法（又称凑微分法）是与微分分学中的复 合函数微分法则相应的积分法. 一、第一类换元积分法

21 注：换元过程可以省略.

22 一般地，若不定积分被积表达式能写成

23 下面举例说明 解 解

24 解 解

25 以上几例都是直接用凑微分求积分的，下在介绍几个常 用的凑微分的等式供参考

26 解 解

27 解

28 解

29 解

30 解法二 解法一

31 二、第二类换元积分法

32 解

33 解

34 解 图 16-3 辅助直角三角形

35 解 图 16-4 辅助直角三角形

36 解 图 16-5 辅助直角三角形

37 图 16-3 辅助直角三角形 图 16-4 辅助直角三角形图 16-5 辅助直角三角形

38 第二类换元法常用于被积函数中含有根式的情况， 常用的变量替换可总结如下. 在做三角替换时，可以利用直角三角形的边角关 系确定有关三角函数的关系，按图做代换及还原.

39 本节一些例题的结果，可当作公式使用，为便于读者使用， 将这些常用的积分公式列举如下.

40 两类换元法就介绍这里，归纳起来看，它们的实 质就是变量代换，变量代换是求不定积分的最基本的 方法之一。因此，善于恰当地利用变量代换是掌握积 技巧的关键. 想要做到恰当, 第一要熟悉基本积分公式, 因为变量代换最终要化为积分公式中已有的形式 ; 第二 要熟悉微分表, 因为变量代换 ( 或凑微分 ) 时经常用到它, 同时要熟具体函数及其微分特征, 这样才较好地掌握换 元积分法.

41 三、分部积分法

42 解

43 解 解 在此例中, 两次用了分部积分法.

44 解

45 解

46 解

47 解法二 解法一

48 解法三 由例 22 可以看出, 求不定积分, 常有多种方法, 比较灵 活, 各种解法都有其特点, 学习中要注意不断积累经验.

49 思考题 答案

50 课堂练习题 答案

51 第三节 定积分的概念与性质 1. 曲边梯形的面积 在初等数学中，已经解决了圆、三角形、矩形及多边 形等图形的面积问题，而对由任意曲线所围成的一般平面 图形的面积计算问题还未解决，其原因是用初等数学方法 是非常困难的. 这里介绍计算曲边梯形的面积的方法，有了 这种方法就可以解决一般封闭图形的面积问题. 一、两个实例

52 图 16-7 求曲边梯形面积

53

54 ( 见图 16 — 7)

55

56 2. 变速直线运动的路程

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58 以上的两个实例具有不同的实际意义, 但计算这些量时使 用的方法是相同的. 抛开这些问题的具体意义, 由表达式在数 量关系上的共同特性, 抽象出定积分的概念. 二、定积分的定义

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61 关于定积分的定义做以下三点说明.

62 三、定积分的几何意义

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65 例 1 用定积分表示图 16-9 中四个图形阴影部分的面积 解 16-9(a) 16-9(b)

66 16-9(c)

67 (a) (b) (c) (d)

68 解 图 16-10 例 2 图形

69 由定积分的定义，可以直接推证定积分具有下述性质， 其中所涉及的函数在讨论的区间都是可积的. 性质 1 被积表达式中的常数因子可以提到积分号前，即 性质 2 两个函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即 （这一结论可以推广到任意有限个多个函数代数和的情况！） 四、定积分的性质

70 性质 3 对任意点 c ，有 性质 4

71 性质 5 性质 6 性质 7

72 证

73 图 16-11 积分中值定理

74 解

75 例 4 比较下列各对积分值的大小 解

76 思考题 答案

77 课堂练习题 答案

78 第四节 牛顿 - 莱布尼兹公式 定积分作为一种特定和式的极限，如果按定义计算定 积分是很复杂、很困难的，所以本节将通过对定积分与原 函数的讨论，寻找一种计算定积分简便而效的方法.

79

80 一、积分上限函数

81 图 16-12 积分上限函数几何意义

82 证

83 这个定理一方面肯定了连续函数的原函数是存在的，另 一方面提供了在定积分与原函数之间建立联系的可能性！

84 解 解

85 证 二、牛顿 — 莱布尼兹公式

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87

88 解 解

89 解 解

90 解

91 解

92 解

93 思考题 答案

94 课堂练习题 答案

95 第五节 定积分的换元法与分部积分法 前面学习了使用换元积分法求已知函数的原函数，在某 些条件下换元积分法也可以用计算定积分. 式（ 16-9 ）称为定积分的换元公式 一、定积分的换元法

96 在应用定积分的换元公式（ 16-9 ）时，应注意

97 解 这一解法没有引入新的积分变量. 计算时，原积分的上、 下限不要改变. 解

98 解先把被积函数化简

99

100 证

101 在计算对称区间上的定积分时，如果能判定被积函 数的奇偶性，利用这一结果可使计算简化.

102 解

103 解

104 解 图 16-14 例 7 几何意义

105 式（ 16-10 ）称为定积分的分部积分法，其方法与不定 积分相类似，但其结果不相同. ( 定积分是一个数值，面不定积分是一类函数！ ) 二、定积分的分部积分法

106 解 解

107 解

108

109

110 思考题 答案

111 课堂练习题 答案

112 第六节 、广义积分 前面曾提到，若被积函数在积分区间上有无穷不连续点 时，不能应用牛顿 - 莱布尼兹公式计算. 这是因为牛顿 - 莱布尼 兹公式的使用受到以下两个条件的限制.

113 为了使定积分的应用更加广泛，将上述两个条件放宽， 使得公式对积分区间为无穷区间，或被积函数在有限的积 分区间上为无界函数的积分也能使用. 这两种积分称为广 义积分，相应地，前面讨论的积分称为常义积. 本书仅讨 论积分区间为无穷区间的广义积分. 一般地，对于积分区间无限的情形，给出下面的定义.

114

115 计算广义积分时，为了书写方便，实际计算中常常 略去极限符号，形式上直接利用牛顿 - 莱布尼兹公式的计 算式（注意是形式上）.

116 解 解

117 证

118 思考题 答案

119 课堂练习题 答案

120 第七节 数学实验四 用 Mathematica 计算积分 一、学习 Mathematica 命令

121 二、求不定积分 例 1 计算下列不定积分： 解

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123 三、求定积分及广义积分 例 2 计算下列积分 解

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