工職數學 第四冊 第一章 導 數 1 － 1 函數的極限與連續 1 － 2 導數及其基本性質 1 － 3 微分公式 1 － 4 高階導函數.

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2 工職數學 第四冊 第一章 導 數 1 － 1 函數的極限與連續 1 － 2 導數及其基本性質 1 － 3 微分公式 1 － 4 高階導函數

3 1. 區間表示法1. 區間表示法 2. 函數極限的定義2. 函數極限的定義 3. 函數極限的求法3. 函數極限的求法 4. 左、右極限4. 左、右極限 5. 函數的連續性5. 函數的連續性 1-1 函數的極限與連續

4 區間表示法 若 a 、 b 、 x 為實數，且 a < b (1) 閉區間： x 在區間 [ a, b ] 中 (2) 開區間： x 在區間 ( a, b ) 中 (3) 半開區間 ( 或半閉區間 ) ： x 在區間 [ a, b ) 中 x 在區間 ( a, b ] 中

5 函數極限的定義 當函數 f (x) 定義域中的 x 逐漸趨近於定數 a 時 則對應的函數值 f (x) 也逐漸趨近於 ，即 若 x →a, 則 f (x) → 此時我們稱為 x 趨近 a 時， f (x) 的極限為 ，記為

6 函數極限的求法 計算 之值： (1) 以 x = a 直接代入 f (x) ，函數值不會出現分母為 0 的情形，則 (2) 以 x = a 直接代入 f (x) ，函數值出現 的情形， 通常要把使分子、分母產生 0 的公因式約去之 後，再把 x = a 代入，便可求得極限。

7 左、右極限 當 x > a 且 x →a ，我們稱為 f (x) 於 a 的右極限， 記作 當 x < a 且 x →a ，我們稱為 f (x) 於 a 的左極限， 記作

8 函數的連續性 函數 f (x) 若滿足下列三條件，則稱函數 f (x) 於點 x = a 為連續： (1) f (a) 存在 (2) 存在 (3)

9 1-2 導數及其基本性質 1. 導數的定義1. 導數的定義 2. 導數與切線2. 導數與切線 3. 導數的物理意義3. 導數的物理意義

10 導數的定義 a 為函數 f (x) 定義域內一點，我們稱極限值 為 f (x) 在 x = a 處的導數，以 表示之，即

11 導數與切線 曲線 y = f (x) 在 x = a 的導數 ，即為此曲線在 點 (a, f (a)) 的切線斜率。 我們可得曲線 y = f (x) 上一點 (a, f (a)) 的切線方程 式為

12 導數的物理意義 位移函數 f (t) 在 t = a 處的導數 為此運動物體在時刻 a 的瞬時速度。 速度函數 v ( t ) 在 t = a 處的導數 為此運動物體在時刻 a 的瞬時加速度。

13 1. 微分公式 (1)(2)1. 微分公式 (1)(2) 2. 連鎖規則2. 連鎖規則 1-3 微分公式

14 微分公式 (1) 公式 1 ：若 f (x) = x n ，則 ( n 為實數 ) 公式 2 ：若 f (x) = k ，則 ( k 為常數 ) 公式 3 ：若 y = kf (x) ，則 ( k 為常數 ) 公式 4 ：若 y = f (x) + g(x) ，則

15 微分公式 (2) 公式 5 ：若 y = f (x) – g(x) ，則 公式 6 ：若 y = f (x)g(x) ，則 公式 7 ：若 y = ，則

16 連鎖規則 (1) 設 y = g ( f (x) ) ，且 、 均存在， 又 ，則 (2) 設 n 為有理數， f (x) 為可微分函數，若 則

17 1-4 高階導函數 高階導函數的表示法 第一階導函數： 第二階導函數： 第三階導函數： 第 n 階導函數：