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三角形 “ 四心 ” 的向量表示
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一、 外心 A BC A BC A BC A BC A BC A BC A BC 三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。 证明外心定理 证明 : 设 AB 、 BC 的中垂线交于点 O ， 则有 OA=OB=OC ， 故 O 也在 AC 的中垂线上， 因为 O 到三顶点的距离相等， 故点 O 是 ΔABC 外接圆的圆心． 因而称为外心． O O
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点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心 的定义及性质等相关知识巧妙结合。 到 的三顶点距离相等。 故 是 解析：由向量模的定义知 的外心 ，选 B 。 O是O是 的外心 若 为内一点， 则 是 的（ ） A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心 B
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二、垂心 A BC A BC A BC 三角形三边上的高交于一点，这一点叫三角形的垂心。 D E F 证明 : AD 、 BE 、 CF 为 ΔABC 三条高， 过点 A 、 B 、 C 分别作对边的平行线 相交成 ΔA′B′C′ ， AD 为 B′C′ 的中垂线；同理 BE 、 CF 也分别为 A′C′ 、 A′B′ 的中垂线， 由外心定理，它们交于一点， 命题得证． 证明垂心定理 A′ B′ C′
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例 1 ．如图， AD 、 BE 、 CF 是△ ABC 的三条高， 求证： AD 、 BE 、 CF 相交于一点。 A B C D E F H 又∵点 D 在 AH 的延长线上，∴ AD 、 BE 、 CF 相交于一点． 证：设 BE 、 CF 交于一点 H ， 垂心
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A B C O 证：设 例 2 ．已知 O 为⊿ ABC 所在平面内一点，且满足 : 求证： 化简： 同理： 从而 垂心
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1.O 是的垂心 是△ ABC 的边 BC 的高 AD 上的任意向量，过垂心.
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例 3 ． O 是平面上一定点， A 、 B 、 C 是平面上不共线的三个点， 动点 P 满足 则 P 的轨迹一定通过△ ABC 的 _______ ∵ ∴ ∴ 在△ ABC 的边 BC 的高 AD 上. P 的轨迹一定通过△ ABC 的垂心. 所以， 时， 解:解:
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解:解: 例 4. （ 2005 全国Ⅰ）点 O 是 Δ ABC 所在平面上一点， 若 ， 则点 O 是 Δ ABC 的（ ） （ A ）三个内角的角平分线的交点 （ B ）三条边的垂直平分线的交点 （ C ）三条中线的交点 （ D ）三条高线的交点 则 O 在 CA 边的高线上, 同理可得 O 在 CB 边的高线上. D 垂心 5. (2005 湖南 ) P 是△ ABC 所在平面上一点，若 则 P 是△ ABC 的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心 D
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三、重心 A BC A BC A BC 三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的重心。 证明重心定理 E F D G
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3. O 是 的重心 为的重心. 是 BC 边上的中线 AD 上的任意向量，过重心. 2. 在 中，给出 等于已知 AD 是中 BC 边的中线 ;
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例 1 ． P 是△ ABC 所在平面内任一点.G 是△ ABC 的重心 证明 : ∵ G 是△ ABC 的重心 即由此可得 （反之亦然（证略）） 思考： 若 O 为△ ABC 外心， G 是△ ABC 的重心，则 O 为△ ABC 的内心、垂心呢？
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例 2 ．证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍． A B C E F D G 证：设 ∵ A, G, D 共线， B, G, E 共线． ∴可设 即： AG = 2GD 同理可得： AG = 2GD, CG = 2GF ． 重心
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例 2 ．证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍． 另证 : A B C E F D G 重心 想想看？
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四、内心 A B C A B C A B C A B C A B C 三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心。 证明内心定理 证明 : 设∠ A 、∠ C 的平分线相交于 I, 过 I 作 ID ⊥ BC ， IE ⊥ AC ， IF ⊥ AB ，则有 IE=IF=ID ． 因此 I 也在∠ C 的平分线上， 即三角形三内角平分线 交于一点． I I E F D
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1. 设 a,b,c 是三角形的三条边长， O 是三角形 ABC 内心的 充要条件是 A C B O a b c
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2003 天津理科 高考题 2. O 是平面上一定点， A 、 B 、 C 是平面上不共线的三个点， 动点 P 满足 则 P 的轨迹一定通过△ ABC 的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心 B 内心 是∠ BAC 的角平分线上的任意向量，过内心；
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3. （ 2006 陕西）已知非零向量 与 满足 则△ ABC 为（ ） A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形 解法一：根据四个选择项的特点，本题可采用验证法来处理. 不妨先验证等边三角形，刚好适合题意，则可同时 排除其他三个选择项，故答案必选 D. D
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解法二：由于 所在直线穿过△ ABC 的内心，则由 ( 等腰三角形的三线合一定理 ) ；又 ， 所以, 即△ ABC 为等边三角形，故答案选 D. 注 : 等边三角形 ( 即正三角形 ) 的 “ 外心、垂心、 重心、内心、中心 ” 五心合一！
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法一抓住了该题选择项的特点而采用了验证法, 是处理本题的巧妙方法；法二要求学生能领会一些向 量表达式与三角形某个 “ 心 ” 的关系，如 所在直 线一定通过△ ABC 的内心 ; 所在 直线过 BC 边的中点，从而一定通过△ ABC 的重心； 所在直线一定通过△ ABC 的垂心等.
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【总结】 (1). 是用数量积给出的三角形面积公式 ; (2). 则是用向量坐标给出的三角形面积公式. 4. 在△ ABC 中 : (1) 若 CA ＝ a ， CB ＝ b ，求证△ ABC 的面积 (2) 若 CA ＝ (a 1 ， a 2 ) ， CB ＝ (b 1 ， b 2 ) ， 求证：△ ABC 的面积 解:解:
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A B C P
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思考 : 如图，设点 O 在 内部，且有 则 的面积与 的面积的比为 ___________ ． (2004 年全国奥赛题 ) 3 作 AC 、 BC 边上的中点 E 、 D ， 解1:解1: D E A B C O
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作 AC 边上的中点 E ， 解 2: 思考 : 如图，设点 O 在 内部，且有 则 的面积与 的面积的比为 ___________ ． (2004 年全国奥赛题 ) 3 E
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如图，延长 OB 至 D ，使 OB=BD ； 解 3: 思考 : 如图，设点 O 在 内部，且有 则 的面积与 的面积的比为 ___________ ． (2004 年全国奥赛题 ) 3 E D 延长 OC 至 E ，使 CE=2OC. 则 : 2OB=OD, 3OC=OE.
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