数学归纳法及其应用举例 数学归纳法及其应用举例 教学内容 地位作用 重点难点 数学归纳法及其应用举例是人民教育 出版社全日制普通高级中学教科书数 学第三册 ( 选修 II) 第二章第一节的内容， 根据教学大纲，本节共 3 课时，这是第 1 课时, 主要内容是数学归纳法理解与 简单应用． 数学归纳法学习是数列知识的深入与.

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2 数学归纳法及其应用举例

3 数学归纳法及其应用举例 教学内容 地位作用 重点难点 数学归纳法及其应用举例是人民教育 出版社全日制普通高级中学教科书数 学第三册 ( 选修 II) 第二章第一节的内容， 根据教学大纲，本节共 3 课时，这是第 1 课时, 主要内容是数学归纳法理解与 简单应用． 数学归纳法学习是数列知识的深入与 扩展, 也是一种重要的数学方法, 可以使 学生学会一种研究数学的科学方法． 重点：归纳法意义的认识和数学归纳法 产生过程的分析． 难点：数学归纳法中递推思想的理解．

4 数学归纳法及其应用举例 知识准备 能力储备 学生情况 学生对等差（比）数列、数列求和、 二项式定理等知识有较全面的把握和 较深入的理解，同时也具备一定的从 特殊到一般的归纳能力，但对归纳的 概念是模糊的． 学生经过中学五年的数学学习，已具 有一定的推理能力，数学思维也逐步 向理性层次跃进，并逐步形成了辨证 思维体系．但学生自主探究问题的能 力普遍还不够理想． 我所在的学校是省属重点中学，所教 的班级是平行班，学生基础还不错.

5 数学归纳法及其应用举例 知识与技能 过程与方法 情感态度价值观 了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实 质．掌握两个步骤；会证明简单的与自然 数有关的命题．培养学生观察, 分析, 论证 的能力, 发展抽象思维能力和创新能 力．培养学生大胆猜想，小心求证的辨证 思维素质以及发现问题，提出问题的意识 和数学交流的能力． 努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思 考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣 和课堂效率．让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想． 让学生领悟数学思想和辩证唯物主 义观点；体会研究数学问题的一 种方法, 激发学生的学习热情，使 学生初步形成做数学的意识和科 学精神．

6 数学归纳法及其应用举例 教学方法 学法指导 教学手段 类比启发探究式教学方法进行教学 在教学过程中，我不仅要传授学生课 本知识，还要培养学生主动观察、主 动思考、亲自动手、自我发现等学习 能力，增强学生的综合素质，从而达 到较为理想的教学终极目标． 借助多媒体呈现多米诺骨牌等生活素 材, 真正辅助课堂教学.

7 数学归纳法及其应用举例 第一阶段 : 输入阶段 第一阶段 : 输入阶段 第二阶段 : 新旧知识相互作用阶段 第二阶段 : 新旧知识相互作用阶段 第三阶段 : 操作阶段 第三阶段 : 操作阶段 创设问题情境，启动学生思维 ; 回顾数学旧知，追溯归纳意识 ; 借助数学史料, 促使学生思辨. 搜索生活实例，激发学习兴趣 ; 类比数学问题, 激起思维浪花 ; 引导学生概括, 形成科学方法. 蕴含猜想证明, 培养研究意识 ; 基础反馈练习, 巩固方法应用 ; 师生共同小结, 完成概括提升 ; 布置课后作业, 巩固延伸铺垫. 教学设计三条线 : 1. 知识线 ; 2. 思想方法线 ; 3. 逻辑思维线.

8 第一阶段 : 输入阶段 第一阶段 : 输入阶段创设问题情境，启动学生思维 (1) 不完全归纳法引例 明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话：财主的儿子学写 字．这则笑话中财主的儿子得出 “ 四就是四横、五就是五横 ……” 的结论，用的就是 “ 归纳法 ” ，不过，这个归纳推出的结论显然是 错误的． (2) 完全归纳法对比引例 有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些．他给每人 筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁先 给出答案．大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣了 几个饱满的，几个干瘪的，几个熟好的，几个没熟的，几个三仁 的，几个一仁、两仁的，总共不过一把花生．显然，二徒弟比大 徒弟聪明．

9 第一阶段 : 输入阶段 第一阶段 : 输入阶段回顾数学旧知，追溯归纳意识 (1) 不完全归纳法实例 给出等差数列前四项, 写出该数列的通项公式． (2) 完全归纳法实例 证明圆周角定理分圆心在圆周角内 部、外部及一边上三种情况．

10 第一阶段 : 输入阶段 第一阶段 : 输入阶段 借助数学史料, 促使学生思辨 问题 1 已知 = (n ∈ N * ), (1) 分别求,,,. (2) 由此你能得到一个什么结论 ? 这个结论正确吗 ? 问题 2 费马（ Fermat ）是 17 世纪法国著名的数学家，他曾认为， 当 n ∈ N 时， 一定都是质数，这是他对 n ＝ 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 作 了验证后得到的．后来， 18 世纪伟大的瑞士科学家欧拉（ Euler ） 却证明了 ＝ 4 294 967 297 ＝ 6 700 417×641 ，从而否定了 费马的推测．没想到当 n ＝ 5 这一结论便不成立． 问题 3, 当 n ∈ N 时，是否都为质数？ 验证： f （ 0 ）＝ 41 ， f （ 1 ）＝ 43 ， f （ 2 ）＝ 47 ， f （ 3 ）＝ 53 ， f （ 4 ） ＝ 61 ， f （ 5 ）＝ 71 ， f （ 6 ）＝ 83 ， f （ 7 ）＝ 97 ， f （ 8 ）＝ 113 ， f （ 9 ）＝ 131 ， f （ 10 ）＝ 151 ， … ， f （ 39 ）＝ 1 601 ． 但是 f （ 40 ）＝ 1 681 ＝ ，是合数．

11 第二阶段 : 新旧知识相互作用阶段 第二阶段 : 新旧知识相互作用阶段搜索生活实例，激发学习兴趣 多米诺成功的关键有两点： (1) 第一张牌被推倒； (2) 假如某一张牌倒下, 则它的后一张牌必定倒下． 于是, 我们可以下结论： 多米诺骨牌会全部倒下． 搜索：再举几则生活事例：推倒自行车, 早操排队对齐等．

12 第二阶段 : 新旧知识相互作用阶段 第二阶段 : 新旧知识相互作用阶段 类比数学问题, 激起思维浪花 (1) 当 n ＝ 1 时等式成立； (2) 假设当 n ＝ k 时等式成立, 即 a k =a 1 +(k － 1)d, 则 a k+1 =a k +d=a 1 +[(k+1)-1]d, 即 n ＝ k ＋ 1 时等式也 成立． 于是, 我们可以下结论：等差数列的通项公式 a n =a 1 +(n － 1)d 对任何 n ∈ N* 都成立． 类比多米诺骨牌过程, 证明等差数列通项公式.

13 第二阶段 : 新旧知识相互作用阶段 第二阶段 : 新旧知识相互作用阶段 引导学生概括, 形成科学方法 证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下： (2) 假设当 n ＝ k (k ∈ N*, k≥n 0 ) 时结论正确, 证明当 n ＝ k ＋ 1 时结论也正确． 完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从开 始的所有正整数 n 都正确． 这种证明方法叫做数学归纳法． (1) 证明当 n 取第一个值 n = n 0 时结论正确 ;

14 第三阶段 : 操作阶段 第三阶段 : 操作阶段 蕴含猜想证明, 培养研究意识 例题 在数列 {}中,}中, ＝ 1, (n ∈ ), 先计算 ，， 的值，再推测通项 的公式, 最后证明你的结论．

15 第三阶段 : 操作阶段 第三阶段 : 操作阶段 基础反馈练习, 巩固方法应用 （ 1 ）（第 63 页例 1 ）用数学归纳法证明： 1 ＋ 3 ＋ 5 ＋ … ＋（ 2n － 1 ）＝ n 2. （ 2 ）（第 64 页练习 3 ）首项是 a 1, 公比是 q 的 等比数列的通项公式是 a n =a 1 q n － 1.

16 第三阶段 : 操作阶段 第三阶段 : 操作阶段 师生共同小结, 完成概括提升 (1) 本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法； (2) 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，它可以分为完全归 纳法和不完全归纳法两种，完全归纳法只局限于有限个元素，而 不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性，数学归纳法属于完 全归纳法； (3) 数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递推 ( 递归 ) 思想，它的使用要点可概括为：两个步骤一结论，递推基础不可 少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉； (4) 本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、类比思想、 分类思想、归纳思想、辩证唯物主义思想．

17 第三阶段 : 操作阶段 第三阶段 : 操作阶段 布置课后作业, 巩固延伸铺垫 (1) 课本第 64 页练习第 1, 2 题；第 67 页习题 2.1 第 2 题． (2) ( 辨析与思考 ) 用数学归纳法证明 1+2+2 2 +2 3 + … +2 n －１ = 2 n － 1 (n ∈ N*) 时, 其中第二步采用下面的证法： 设 n ＝ k 时等式成立, 即 1+2+2 2 +2 3 +…+2 k － 1 =2 k － 1, 则 当 n ＝ k ＋ 1 时,, 即 n ＝ k ＋ 1 时等式也成立．

18 数学归纳法及其应用举例 2.1 数学归纳法及其应用举例 2.1 数学归纳法及其应用举例 问题 1 例题 ( 猜想, 证明过程的板书 ) 问题 2 问题 3 练习 1 练习 2 数学归纳法定义 ( 练习请两位同学上黑板板演 ) 证明步骤 :(1) (2)

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