第七章 时变电磁场 主 要 内 容 位移电流、麦克斯韦方程、边界条件、位函数、能流密度矢量、正弦电磁场、复能流密度矢量 1. 位移电流

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1 第七章 时变电磁场 主 要 内 容 位移电流、麦克斯韦方程、边界条件、位函数、能流密度矢量、正弦电磁场、复能流密度矢量 1. 位移电流
主 要 内 容 位移电流、麦克斯韦方程、边界条件、位函数、能流密度矢量、正弦电磁场、复能流密度矢量 1. 位移电流 2. 麦克斯韦方程 3. 时变电磁场边界条件 4. 标量位与矢量位 5. 位函数方程求解 6. 能量密度与能流密度矢量 7. 时变电磁场惟一性定理 8. 正弦电磁场 9. 麦克斯韦方程的 复矢量形式 10. 位函数的复矢量形式 11. 复能流密度矢量 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

2 静 电 场 恒定磁场 物理量 介质特性 场方程式 边界条件 能量密度 力 电场强度 E 磁通密度 B 电通密度 D 磁场强度 H
介电常数  磁导率  无旋 无散 有散 有旋 2013年4月9日星期二 电磁场与电磁波

3 重点和难点 通过位移电流的引入，导出全电流定律，说明时变电场可以产生时变磁场。详细讲解麦克斯韦方程的积分形式和微分形式，说明时变电磁场是有旋有散的，时变电场的方向与时变磁场的方向处处相互垂直，以及麦克斯韦对于人类文明和进步的伟大贡献。 讲解时变电磁场的边界条件时，应与静态场进行比较，尤其要介绍理想导电体的边界条件。 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

4 能量密度容易理解，着重讲解能流密度矢量。时变电磁场的惟一性定理证明可以略去，但是其物理意义及其重要性必须介绍。
讲解位函数时，应强调罗伦兹条件的重要性。详细讲解位函数解的物理意义，强调没有滞后效应就不可能有辐射。指出位函数的积分解仅适用于均匀线性各向同性的介质。 能量密度容易理解，着重讲解能流密度矢量。时变电磁场的惟一性定理证明可以略去，但是其物理意义及其重要性必须介绍。 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

5 对于复能流密度矢量，应着重介绍其实部和虚部的物理意义，以及电场和磁场之间的相位差对于复能流密度矢量的影响
讲解正弦电磁场的复矢量表示方法时，应强调仅适用于频率相同的场量之间的运算。此外，还应指出该教材使用的时间因子是 ，而不是 。同时指出使用不同的时间因子，将导致麦克斯韦方程的形式不同。 对于复能流密度矢量，应着重介绍其实部和虚部的物理意义，以及电场和磁场之间的相位差对于复能流密度矢量的影响 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

6 在麦克斯韦之前已有电磁学说定理与定律有以下几点：
1. 位移电流 在麦克斯韦之前已有电磁学说定理与定律有以下几点： 库伦定理（实验规律）： 高斯定理（推论）： 电荷守恒定律（推论）： 恒定电流的电流连续性方程（推论）： 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

7 1. 位移电流 比奥--萨伐尔定律（实验规律）： 磁通连续性原理（推论）： 安培环路定理（推论）： 法拉第电磁感应定律（实验定律）：
1. 位移电流 比奥--萨伐尔定律（实验规律）： 磁通连续性原理（推论）： 安培环路定理（推论）： 法拉第电磁感应定律（实验定律）： 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

8 1. 位移电流 当开关合上，回路是否有电流产生？ 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

9 1. 位移电流 考虑如图所示平板电容器与时变电源连接的电路，导线中的传导电流为时变电流，极板之间的介质中传导电流为零。 图中对应相同的闭合曲线 C 有两个不同的曲面 S1 和 S2 。 如果仅考虑传导电流，则有 麦克斯韦假设了位移电流 于是： 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

10 麦克斯韦将 称为位移电流密度，以 Jd 表示，即
求得 上式称为全电流连续性原理。它包括了传导电流、运流电流及位移电流。 位移电流密度是电通密度的时间变化率，或者说是电场的时间变化率。 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

11 对于时变电场，电场变化越快，产生的位移电流密度也越大。
对于静电场，由于 ，自然不存在位移电流。 对于时变电场，电场变化越快，产生的位移电流密度也越大。 已知传导电流密度 ，因此 在电导率较低的介质中 在良导体中 麦克斯韦认为位移电流也可产生磁场，因此前述安培环路定律变为 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

12 上两式称为全电流定律（或者广义安培环路定律）。它表明时变磁场是由传导电流、运流电流以及位移电流共同产生的。
即 上两式称为全电流定律（或者广义安培环路定律）。它表明时变磁场是由传导电流、运流电流以及位移电流共同产生的。 位移电流是由时变电场形成的，由此可见，时变电场可以产生时变磁场。 电磁感应定律表明，时变磁场可以产生时变电场。因此，麦克斯韦引入位移电流以后，预见时变电场与时变磁场相互转化的特性可能会在空间形成电磁波。 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

13 由于平板电容器中的介质为理想介质，因此，传导电流为零，只有位移电流。
例题1 设平行平板电容器的极板为半径为 a 的导体圆盘，其中填充介电常数为 ε 的理想介质，极板间距 d 远小于极板的半径，可认为极板之间为均匀时变电场。求平板电容器中的磁场强度。 平板电容器中的电场强度为 由于平板电容器中的介质为理想介质，因此，传导电流为零，只有位移电流。 由于位移电流的方向为 z 方向，它所产生的磁场强度只有  方向分量。

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15 例2 设介质的介电常数为 ε ，磁导率为 μ0 ，电导率为 σ ，介质中的传导电流为
那么，介质中的位移电流为 （A） （B） （C） （D） （E）

16 2. 麦克斯韦方程 积分形式 微分形式 全电流定律 电磁感应定律 磁通连续性原理 高斯定律
2. 麦克斯韦方程 静态场中的高斯定律及磁通连续性原理对于时变电磁场仍然成立。那么，对于时变电磁场，麦克斯韦归纳为如下4 个方程： 积分形式 微分形式 全电流定律 电磁感应定律 磁通连续性原理 高斯定律 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

17 除了麦克斯韦方程组之外，为了完整描述时变电磁场的规律和特性，还需要加上如下关系或者方程。
电流连续性方程（电荷守恒原理） 介质本构方程 线性、各向同性介质 非线性介质 洛伦兹力方程

18 2. 麦克斯韦方程 在自由空间中： （2）右边 令： 同理可得： 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

19 2. 麦克斯韦方程 这二个是标准形式的波动方程，表示一切脱离场源(电荷、电流)而单独存在的电磁场，在空间以波动形式进行，称电磁波，(无线电波、光波、x、r射线)，不论它们频率是多少，传播速度都为 正好与当时侧的光速相同。 说明光也是一种电磁波 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

20 时变电场是有旋有散的，时变磁场是有旋无散的。但是，时变电磁场中的电场与磁场是不可分割的，因此，时变电磁场是有旋有散场。
积分形式 微分形式 时变电场是有旋有散的，时变磁场是有旋无散的。但是，时变电磁场中的电场与磁场是不可分割的，因此，时变电磁场是有旋有散场。 在无源区中，时变电磁场是有旋无散的。 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

21 电场线与磁场线相互交链，自行闭合，从而在空间形成电磁波。
时变电场与时变磁场处处相互垂直。 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

22 麦克斯韦方程组中各个方程不是完全独立的。可以由第 ① 、 ② 方程导出第 ③ 、 ④方程，或反之。
对于静态场，则 那么，上述麦克斯韦方程变为静电场方程和恒定磁场方程，电场与磁场不再相关，彼此独立。 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

23 关于麦克斯韦方程组的注解 如果把时间向后退回到电磁场建立之前，则可得以上两个常数 C1 和 C2 为零。
对于时变电磁场，麦克斯韦旋度方程自动隐含了散度方程，也就是说，麦克斯韦旋度方程是基本方程，散度方程是导出方程。 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

24 Maxwell方程揭示的电磁规律与在实际生活中的应用
变压器的工作原理 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

25 发电机的工作原理 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

26 随时间变化的电场和磁场互为激发源，在空间中以波的形式传播
26 随时间变化的电场和磁场互为激发源，在空间中以波的形式传播 无线电磁波的传播机理 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

27 麦克斯韦对于电磁学的贡献主要体现在 1861 年的论文《论物理力线》中，他将位移电流项加入了安培定律，将安培定律修改成麦克斯韦-安培定律。这个添加的项使他后来在 1865 年的论文《电磁场的动力学理论》中，能够推导出电磁波方程，在理论上证明了光波就是电磁波。 麦克斯韦方程组这术语原本指的是麦克斯韦于 1865 年在论文《电磁场的动力学理论》提出的一组 8 个方程。但是，现在常见的麦克斯韦方程组，则是经过奥利弗·赫维赛德于 1884 年编排修改而成的 4 个方程。同时期，约西亚·吉布斯和海因里希·赫兹均分别研究得到类似的结果。有很久一段时间，这些方程被称为赫兹-赫维赛德方程组、麦克斯韦-赫兹方程组或麦克斯韦-赫维赛德方程组。

28 2004年5月英国《物理世界》网站曾让读者投票评选世界上有史以来“最伟大的公式”，麦克斯韦方程组排名第一。
任何一个能把这几个公式看懂的人，一定会感到背后有凉风－如果没有上帝，怎么解释如此完美的方程？这组公式融合了电的高斯定律、磁的高斯定律、法拉第定律以及安培定律。比较谦虚的评价是：“一般地，宇宙间任何的电磁现象，皆可由此方程组解释。”到后来麦克斯韦仅靠纸笔演算，就从这组公式预言了电磁波的存在。 英国爱丁堡麦克斯韦塑像 也正是因为这个方程组完美统一了整个电磁场，让爱因斯坦始终想要以同样的方式统一引力场，并将宏观与微观的两种力放在同一组式子中：即著名的“大一统理论”。 爱因斯坦直到去世都没有走出这个隧道，而如果一旦走出去，我们将会在隧道另一头看到上帝本人。

29 1918年诺贝尔物理学奖获得者马克斯·普朗克（Max Karl Ernst Ludwig Planck，1858 – 1947）对麦克斯韦的评述：
“ 麦克斯韦的光辉名字将永远镌刻在经典物理学家的门扉上，永放光芒。从生地来说，他属于爱丁堡；从个性来说，他属于剑桥大学；从功绩来说，他属于全世界”。 英国爱丁堡安德鲁广场旁边雕刻的麦克斯韦方程

30 诺贝尔物理学奖获得者阿尔伯特·爱因斯坦（Albert Einstein ，1879–1955）对麦克斯韦方程组的评述：
“ 这个方程的提出是牛顿时代以来物理学上的一个重要事件， 它是关于场的定量数学描述，方程所包含的意义比我们指出的要丰富得多。” “在简单的形式下隐藏着深奥的内容，这些内容只有仔细的研究才能显示出来，方程是表示场的结构的定律。它不像牛顿定律那样，把此处发生的事件与彼处的条件联系起来，而是把此处的现在的场只与最邻近的刚过去的场发生联系。” “假使我们已知此处的现在所发生的事件，藉助这些方程便可预测在空间稍微远一些，在时间上稍微迟一些所发生的事件。” 1931 年，爱因斯坦在麦克斯韦百年诞辰的纪念会上，评价其建树“是牛顿以来，物理学最深刻和最富有成果的工作。” Albert Einstein: One scientific epoch ended and another began with James Clerk Maxwell. 阿尔伯特·爱因斯坦: 麦克斯韦标志着一个科学时代的终结和另一个科学时代的开始。

31 诺贝尔物理学奖获得者理查德·费曼（Richard Phillips Feynman，1918 – 1988）对麦克斯韦方程组的评述：
“ 从人类历史的漫长远景来看─即使过一万年之后回头来看─毫无疑问，在 19 世纪中发生的最有意义的事件将判定是麦克斯韦对于电磁定律的发现，与这一重大科学事件相比之下， 同一个十年中发生的美国内战（1861 – 1865）将会降低为一个地区性琐事而黯然失色”。

32 2011

33 2008 2010 电磁学天堂秘笈： 轻松解析最实用的马克士威方程式

34 无线信息高速公路使人们能在任何地点、任何时间同任何人取得联系。
处于信息时代的今天，从婴儿监控器到各种遥控设备、从雷达到微波炉、从地面广播电视到太空卫星广播电视、从地面移动通信到宇宙星际通信、从室外无线广域网到室内蓝牙技术、以及全球卫星定位导航系统等，无不利用电磁波作为信息载体。 无线信息高速公路使人们能在任何地点、任何时间同任何人取得联系。 目前中国已有13亿多移动通信用户。 如此广泛的应用说明了麦克斯韦和赫兹对于人类文明和进步的伟大贡献。 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

35 什么是电磁场的边界条件? 为什么要研究边界条件? 如何讨论边界条件? 3. 时变电磁场的边界条件
3. 时变电磁场的边界条件 媒质1 媒质2 什么是电磁场的边界条件? 为什么要研究边界条件? 实际电磁场问题都是在一定的物理空间内发生的，该空间中可能是由多种不同媒质组成的。边界条件就是不同媒质的分界面上的电磁场矢量满足的关系，是在不同媒质分界面上电磁场的基本属性。 如何讨论边界条件? 物理：由于在分界面两侧介质的特性参 数发生突变，场在界面两侧也发 生突变。麦克斯韦方程组的微分 形式在分界面没有意义，必 须对边界上电磁现象单独描述。 数学：麦克斯韦方程组是微分方程组，其 解是不确定的（非限定的），边界 条件起定解的作用。 麦克斯韦方程组的积分形式在不同媒质的分界面上仍然适用，由此可导出电磁场矢量在不同媒质分界面上的边界条件。 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

36 不同媒质分界面的法向单位矢量，由媒质2指向媒质1
3. 时变电磁场的切向边界条件 不同媒质分界面的法向单位矢量，由媒质2指向媒质1 媒质1 媒质2 为回路C所围面元的法向单位矢量与C的绕行方向呈右手螺旋关系 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

37 在介质分界面两侧，选取如图所示的小环路，令Δh →0，则由
3. 时变电磁场的切向边界条件 在介质分界面两侧，选取如图所示的小环路，令Δh →0，则由 由于 为有限值，故 而 是回路C所包围的传导电流，式中： 媒质1 分界面上的传导 电流面密度 媒质2 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

38 由于回路C是任意取得，故N也是任意的，因而上式可改写为：
3. 时变电磁场的切向边界条件 又 所以有： 利用矢量恒等式： 有 由于回路C是任意取得，故N也是任意的，因而上式可改写为： 媒质1 媒质2 标量形式： 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

39 因为只要磁通密度的时间变化率是有限的，那么由电磁感应定律的积分形式
3. 时变电磁场的切向边界条件 因为只要磁通密度的时间变化率是有限的，那么由电磁感应定律的积分形式 应用于闭合路径C上，令： Δh →0， 得 或 媒质1 即在不同媒质的分界面上，电场的切向方向是连续的 媒质2 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

40 在两种媒质的交界面上任取一点P，作一个包围点P 的扁平圆柱曲面S，如图表示。
3. 时变电磁场的法向边界条件 媒质1 媒质2 P S 在两种媒质的交界面上任取一点P，作一个包围点P 的扁平圆柱曲面S，如图表示。 令Δh →0，则由 即 或 或 同理 ，由 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

41 ①在任何边界上电场强度的切向分量是连续的，即
3. 时变电磁场的边界条件 ①在任何边界上电场强度的切向分量是连续的，即 ① ② en 或写成矢量形式 因为只要磁通密度的时间变化率是有限的，那么由电磁感应定律的积分形式 即可获得上面结果。 对于各向同性的线性介质，得 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

42 ③ 电通密度的法向分量边界条件与介质特性有关。
② 在任何边界上，磁通密度的法向分量是连续的， 即 或写成矢量形式 上式由磁通连续性原理 求得。 对于各向同性的线性介质，得 ③ 电通密度的法向分量边界条件与介质特性有关。 在一般情况下，由高斯定律求得 或写成矢量形式 式中, S 为边界表面上自由电荷的面密度。 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

43 关于时变电磁场边界条件的讨论 静电场、恒定磁场和时变电磁场满足如下相同形式的边界条件 对于静电场和恒定磁场，电场和磁场是相互独立的，法向边界条件和切向边界条件也是相互独立的。 对于时变电磁场，电场和磁场不是相互独立的，它们之间是耦合在一起的。由于麦克斯韦旋度方程与散度方程不是相互独立的，因此，法向边界条件和切向边界条件也不是相互独立的。 时变电磁场边界条件的等价关系

44 ④ 磁场强度的切向分量边界条件也与介质特性有关。
两种理想介质的边界上不可能存在表面自由电荷，因此 对于各向同性的线性介质，得 ④ 磁场强度的切向分量边界条件也与介质特性有关。 在一般情况下，由于边界上不可能存在表面电流，根据全电流定律，只要电通密度的时间变化率是有限的，可得 或写成矢量形式 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

45 在理想导电体内部不可能存在时变电磁场及时变的传导电流，它们只可能分布在理想导电体的表面。
在理想导电体表面上可以形成表面电流，此时磁场强度的切向分量不再连续。 在理想导电体内部不可能存在时变电磁场及时变的传导电流，它们只可能分布在理想导电体的表面。 E ≠ 0  J = E      H ≠ 0  E ≠ 0 E(t), B (t), J (t) = 0 J ≠ 0  H ≠ 0 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

46 已知在任何边界上，电场强度的切向分量及磁通密度的法向分量是连续的，因此理想导体表面上不可能存在电场切向分量及磁场法向分量，即时变电场必须垂直于理想导电体的表面，而时变磁场必须与其表面相切。
E H  ,    en et ① ② 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

47 由于理想导电体表面存在表面电流 JS ，令表面电流密度的方向与积分回路构成右旋关系，因 ，求得
E H  ,    en et ① ② H1t H2t JS 因 ，由前式得 或 由于理想导电体表面存在表面电流 JS ，令表面电流密度的方向与积分回路构成右旋关系，因 ，求得 或 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

48 例 已知内截面为a  b 的矩形金属波导中的时变电磁场的各分量为
z y x b 其坐标如图所示。试求波导中的位移电流分布和波导内壁上的电荷及电流分布。波导内部为真空。 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

49 解 ① 由前式求得位移电流为 ② 在 y = 0 的内壁上 在 y = b 的内壁上 y b a z x 电磁场与电磁波
解 ① 由前式求得位移电流为 ② 在 y = 0 的内壁上 a z y x b 在 y = b 的内壁上 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

50 在 x = 0 的侧壁上， 在 x = a 的侧壁上， 在 x = 0 及 x = a 的侧壁上，因 ，所以 。 y 内壁电流 z x
2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

51 4. 标量位与矢量位 时域电磁位函数 电磁矢量位 电磁标量位 电磁矢量位和电磁标量位统称为电磁位函数。
4. 标量位与矢量位 时域电磁位函数 亥姆赫兹定理（电场和磁场用位函数表示） 磁场高斯定律 法拉第定律 电磁矢量位 电磁标量位 电磁矢量位和电磁标量位统称为电磁位函数。

52 安培定律 线性、均匀介质

53 已定义了矢量场 A 的旋度， ，必须再规定其散度(亥姆赫兹定理，矢量场唯一确定必须同时确定散度和旋度）。
解耦条件 注意：恒定磁场库伦规范 仅与电流 J 有关 达朗贝尔方程 仅与电荷  有关 恒定磁场的矢量磁位满足矢量泊松方程 静电场的标量电位满足标量泊松方程

54 上式称为洛伦茨条件或者洛伦茨规范。电磁位函数又称为洛伦茨电磁位函数。
路德维希·洛伦茨（Ludwig Lorenz，1829年－1891 年），丹麦数学家和物理学家，他于1876年提出了时变电磁场的矢量位与标量位之间的关系以及推迟位的概念。几乎在所有电磁学书籍中，均把洛伦茨规范误写为洛仑兹规范。 亨德里克·安东·洛伦兹（Hendrik Antoon Lorentz，1853年－1928年），荷兰物理学家，他以与彼得·塞曼发现与解释的“塞曼效应理论”获诺贝尔物理学奖。他提出了洛伦兹力方程和用于爱因斯坦狭义相对论中的洛伦兹变换。 有趣的是，他们分别独立提出了光的折射率与介质密度之间关系的公式，称为洛伦兹－洛伦茨公式。 亨德里克·安东·洛伦兹 路德维希·洛伦茨

55 电磁位函数方程 电场强度和磁通密度 洛伦茨规范 对于时变电磁场，电磁矢量位与电磁标量位不是独立的。一般情况下，常采用电磁矢量位描述时变电磁场。

56 在麦克斯韦方程组的原始形式中，麦克斯韦认为位函数（标量位和矢量位）是其方程组的中心概念。赫维赛德不同意这种看法，他认为只有电场和磁场才是最基础、最实际的物理量。赫维赛德试着除去方程组中的位函数，才得到现代常用的麦克斯韦方程组的对称形式。 1966（1E），1989（2E） 美国西弗吉尼亚大学杰斐门柯教授（Oleg Dmitrovich Jefimenko）在其《电磁学》教科书中，采用时间滞后的电磁位函数，推导出了用时变电荷和时变电流及其它们的时间变化率表示的时变电场和时变磁场表达式，称为杰斐门柯方程，可合理解释时变电磁场的因果关系，他认为，仅采用时变电场和时变磁场不能说明电磁场的因果关系。 Oleg D Jefimenko

57 麦克斯韦方程组原始的 8 个方程（采用现代的矢量写法）
麦克斯韦在其 1873 年的《电磁通论》中总结出两组方程

58 位函数与场量之间的关系 静电场 磁矢量位 位移磁流 电矢量位 时变电磁场 恒定磁场

59 电磁位函数与麦克斯韦方程组的等价性 时域麦克斯韦方程组 时域电磁位函数 只要求得电磁位函数，即可得到麦克斯韦方程组的解。

60 时域电磁位函数 时域麦克斯韦方程组

61

62 电场强度和磁场强度满足如下非齐次矢量波动方程
在三维空间需要求解 6 个标量方程。 电磁位函数满足如下非齐次矢量和标量波动方程 在三维空间仅需求解 4 个标量方程。 对于直角坐标系，实际上仅需求解 1 个标量方程。

63 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

64 上述方程为非齐次波动方程。先求解时域标量位波动方程，然后，根据类比的方法得到时域矢量位的表达式。
5. 位函数方程的求解 时域电磁位函数满足如下方程 上述方程为非齐次波动方程。先求解时域标量位波动方程，然后，根据类比的方法得到时域矢量位的表达式。 求解时域标量位波动方程时，先求解标量位齐次波动方程，然后，根据静态场的结果，采用类比的方法得到标量位非齐次波动方程的解。 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

65 当时变点电荷位于坐标原点时，其场分布与 和  无关。那么，在除坐标原点以外整个无源空间，标量位函数  满足的方程式为
5. 位函数方程的求解 先求解时变点电荷的标量位，再利用线性叠加原理导出分布的时变体电荷的标量位。 当时变点电荷位于坐标原点时，其场分布与 和  无关。那么，在除坐标原点以外整个无源空间，标量位函数  满足的方程式为 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

66 因此，如下形式的函数满足上述齐次波动方程
5. 位函数方程的求解 如果令 则有 因此，如下形式的函数满足上述齐次波动方程 由此可得上述齐次波动方程的通解为 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

67 上式中的第二项不符合实际的物理条件，应该舍去。因此，求得位于原点的时变点电荷产生的标量位为
5. 位函数方程的求解 上式中的第二项不符合实际的物理条件，应该舍去。因此，求得位于原点的时变点电荷产生的标量位为 已知位于原点的静止点电荷 产生的电位为 由此可得函数 f1 的具体形式为 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

68 下面采用类比的方法，根据时域标量位的结果推导出时域矢量位的表达式。
5. 位函数方程的求解 位于原点的时变点电荷产生的标量位为 位于体积 V 中的体电荷在 r 处产生的标量位为 下面采用类比的方法，根据时域标量位的结果推导出时域矢量位的表达式。 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

69 在直角坐标系中，矢量位函数方程分解为如下三个标量方程
5. 位函数方程的求解 在直角坐标系中，矢量位函数方程分解为如下三个标量方程 与标量位函数满足的方程进行对比，即可得到矢量位三个分量的表达式，再把三个分量表达式合成，可得矢量位如下 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

70 电磁波从场源传播到场点所需时间称为推迟时间，或者，滞后时间，定义为
5. 位函数方程的求解 时域电磁位函数与场源的关系为 上式表明，场点在 t 时刻的电磁位是由 t –R/v 时刻的场源产生的，或者，场源产生的电磁场需要经过时间差 τ=R/v 才能传播到场点，v 即为电磁波的传播速度。 电磁波从场源传播到场点所需时间称为推迟时间，或者，滞后时间，定义为 由于场点电磁位随时间的变化总是落后于场源随时间的变化，因此，电磁位通常又称为推迟位，或者，滞后位。 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

71 上式意味着，场点电磁位随时间的变化提前于场源随时间的变化，也就说，先有结果，后有原因，违背了先有源后有场的因果关系，因此，应该舍弃。
5. 位函数方程的求解 回过头来，再考察齐次波动方程的另一个解 上式意味着，场点电磁位随时间的变化提前于场源随时间的变化，也就说，先有结果，后有原因，违背了先有源后有场的因果关系，因此，应该舍弃。 上式可改写成如下形式 这样，上式又可理解为向负 r 方向传播的波，也就是来自无限远处的反射波。对于点电荷所在的无限大自由空间，这种反射波不可能存在。 后面将会看到，对于无源空间电磁波的传播，在介质不连续处会出现反射波。 若某一时刻场源已消失，只要前一时刻场源还存在，它们原来产生的空间电磁场仍然存在，这就表明场源已将电磁能量释放到空间，这种现象称为电磁辐射。 静止电荷或恒定电流一旦消失，它们产生的场也随之失去，因而静态场称为束缚场，没有辐射作用。 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

72 注意，上述公式仅可用于均匀、线性、各向同性的介质。
5. 位函数方程的求解 对于面分布和线分布的时变场源，电磁位函数的表达式如下 注意，上述公式仅可用于均匀、线性、各向同性的介质。 根据电磁波传播速度的表达式 可知，电磁波的传播速度与介质的特性有关。对于自由空间，则有 自由空间中的光速 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

73 电磁位满足位函数连续性方程（洛伦茨规范）
5. 位函数方程的求解 杰斐门柯方程 电磁位函数与场源之间的关系 场源满足电流连续性方程（电荷守恒原理） 电磁位满足位函数连续性方程（洛伦茨规范） 二者之间的关系 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

74 5. 位函数方程的求解 令 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

75 5. 位函数方程的求解 通过简单运算，可得 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

76 5. 位函数方程的求解 上式称为库仑定律的时变推广。 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

77 5. 位函数方程的求解 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

78 5. 位函数方程的求解 上式称为毕奥-萨伐定律的时变推广。 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

79 杰斐门柯方程中，场源只有实际的电荷密度和电流密度，并没有位移电流。
5. 位函数方程的求解 杰斐门柯方程（ Jefimenko Equation ） 杰斐门柯方程可看成是麦克斯韦方程组的解，方程左边为 t 时刻的电场强度和磁通密度，方程右边为 t – R/v 时刻的场源及其时间变化率的积分，反映了由场源产生电磁场的因果关系。 对麦克斯韦方程组的传统解释是，时变电场与时变磁场相互产生，但是，并没有指明电场与磁场之间的因果关系。杰斐门柯方程表明，实际情况并不是这样，时变电磁场是一个对偶实体，是由含时电荷分布和含时电流分布共同同时产生的电场和磁场。 杰斐门柯方程中，场源只有实际的电荷密度和电流密度，并没有位移电流。 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

80 5. 位函数方程的求解 法拉第电磁感应定律 符合因果关系的表述 不符合因果关系的表述 对时变电磁场因果关系的理解
5. 位函数方程的求解 对时变电磁场因果关系的理解 1981（1E），1989（2E） 1999（3E），2013（4E） 取自格利菲斯（Griffiths ）的教科书 法拉第电磁感应定律 符合因果关系的表述 一个变化的磁场感应出一个电场。 A changing magnetic field induces an electric field. 不符合因果关系的表述 一个变化的磁场产生出一个电场。 A changing magnetic field produces an electric field. 由于磁场分布在整个空间，其时间变化率并不是一个独立的场源，而是电磁信息的携带者。 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

81 5. 位函数方程的求解 麦克斯韦位移电流 符合因果关系的表述 不符合因果关系的表述 一个变化的电场感应出一个磁场。
5. 位函数方程的求解 麦克斯韦位移电流 符合因果关系的表述 一个变化的电场感应出一个磁场。 A changing electric field induces a magnetic field. 不符合因果关系的表述 一个变化的电场产生出一个磁场。 A changing electric field produces a magnetic field. 由于电场分布在整个空间，其时间变化率并不是一个独立的场源，而是电磁信息的携带者。 场源 位函数（时间滞后） 场量（时间滞后） 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

82 在离开时变源的远处，由于滞后时间很大，辐射效应显著，所以，远场区的时变场称为辐射场，将在第 10 章讨论。
在时变源的附近，滞后时间很小，电场和磁场随时间的变化基本上与场源同步，所以，近场区的时变场称为似稳场。 在离开时变源的远处，由于滞后时间很大，辐射效应显著，所以，远场区的时变场称为辐射场，将在第 10 章讨论。 场源变化越快，相位滞后效应越明显，即使在场源附近，也有显著的电磁辐射。所以，似稳场和辐射场的区域划分不仅取决于空间距离，也与场源的变化快慢有关。 为了向空间辐射电磁能量，必须使用高频电流激励发射天线，而通常 50 Hz 的交流电不可能有效地向空间辐射电磁能量。

83 静态场的能量密度公式及损耗功率密度公式可以推广到时变电磁场。
6. 能量密度与能流密度矢量 静态场的能量密度公式及损耗功率密度公式可以推广到时变电磁场。 对于各向同性的线性介质 电场能量密度 磁场能量密度 损耗功率密度 因此，时变电磁场的能量密度为 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

84 能流密度矢量的方向表示能量流动的方向，其大小表示单位时间内垂直穿过单位面积的能量，或者说垂直穿过单位面积的功率。
时变电磁场的能量密度是空间和时间的函数，而且，时变电磁场的能量还会流动。为了衡量时变电磁场能量流动的方向及强度，引入能量流动密度矢量，简称为能流密度矢量。 能流密度矢量的方向表示能量流动的方向，其大小表示单位时间内垂直穿过单位面积的能量，或者说垂直穿过单位面积的功率。 能流密度矢量定义为 能流密度矢量通常称为坡印廷矢量，其单位为瓦每平方米 [ W/m2 ]。 坡印廷矢量沿某个曲面的面积分，等于穿过该曲面的电磁场功率，亦即 实际上，坡印廷矢量应该称为功率流密度矢量。 能量流动密度矢量在英美书刊中称为坡印廷矢量，在俄罗斯书刊中称为乌莫夫矢量。

85 E, H 利用矢量恒等式 ，将上式代入，整理后求得 在无外源 ( ) 的区域 V 中，若介质是线性且各向同性的，则此区域中麦克斯韦方程为
, ,  E, H V 利用矢量恒等式 ，将上式代入，整理后求得 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

86 能量守恒关系的数学描述——坡应廷定理 微分形式（瞬时功率密度关系）： 积分形式（瞬时功率关系）（上式两端对V积分左端利用散度定理） ：
（新物理量） 体积V 内增加的电磁功率 体积V内损耗的电磁功率 坡印廷定理物理意义：单位时间内流入体积V内的电磁能量等于体积V内增加的电磁能量与体积V内损耗的电磁能量之和。 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

87 描述时变电磁场中电磁能量传输（流动）的特性
坡应廷矢量 定义： 瞬时坡印廷矢量 物理意义： 大小：通过垂直于能量传输方向 单位面积的电磁功率(功率流密度） 方向：电磁能量传输方向 描述时变电磁场中电磁能量传输（流动）的特性 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

88 平均坡应廷矢量 对某些时变场，用周期内通过某个平面的电磁能量，才能反映电磁能量的传递情况。
平均坡印廷矢量：将瞬时形式坡印廷矢量在一个周期内取平均。 注： 与时间t无关。 坡印廷定理是以时变电磁场为基础的，对于静电场和恒定磁场，电场和磁场是相互独立的，此时定义坡印廷矢量是没有意义的。 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

89 该静态电磁场不存在功率流动，应用坡印廷定理是无意义的。
典型例子 一个静止的点电荷位于永久磁铁的附近 空间是否存在功率流动？ 静电场和静磁场 坡印廷矢量不等于零，但是，流出任意闭合面的净功率为零！ 该静态电磁场不存在功率流动，应用坡印廷定理是无意义的。

90 由于是恒定电磁场，坡印廷定理简化为 导线表面的电场强度和磁场强度为 满足坡印廷定理！ 载有恒定电流的圆柱导线
设圆柱导线的半径为 a ，电导率为 σ，恒定电流 I 在导线横截面均匀分布。选区一段长度为 L 的导线。 由于是恒定电磁场，坡印廷定理简化为 导线表面的电场强度和磁场强度为 该例子虽然满足坡印廷定理，但是，从 – r 方向流进导线的功率完全被焦耳热损失掉了，没有沿 z 方向的功率流动！实际情况存在 z 方向的功率传输。因此，坡印廷定理对静态电磁场是无意义的。 满足坡印廷定理！

91 将上式两边对区域 V 求积，得 考虑到 ，那么 根据能量密度的定义，上式又可表示为 该式称为时变电磁场的能量定理。 电磁场与电磁波
考虑到 ，那么 根据能量密度的定义，上式又可表示为 该式称为时变电磁场的能量定理。 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

92 可见， ， 。又知 ，因此，S，E 及 H 三者相互垂直，且由 E 至 H 与 S 构成右旋关系。
, ,  E, H S S E H 矢量( )代表垂直穿过单位面积的功率，因此，就是前述的能流密度矢量 S ，单位为W/m2， 即 可见， ， 。又知 ，因此，S，E 及 H 三者相互垂直，且由 E 至 H 与 S 构成右旋关系。 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

93 可见，能流密度矢量的瞬时值等于电场强度和磁场强度瞬时值的乘积。
能流密度矢量的瞬时值为 可见，能流密度矢量的瞬时值等于电场强度和磁场强度瞬时值的乘积。 只有当两者同时达到最大值时，能流密度才达到最大。 若某一时刻电场强度或磁场强度为零，则在该时刻能流密度矢量为零。 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

94 7. 时变电磁场惟一性定理 S V 采用反证法即可证明这个定理。
7. 时变电磁场惟一性定理 在闭合面 S 包围的区域 V 中，当t = 0时刻的电场强度及磁场强度的初始值给定时，又在 t > 0 的时间内，只要边界 S 上的电场强度切向分量或磁场强度的切向分量给定后，那么在 t > 0 的任一时刻，体积 V 中任一点的电磁场由麦克斯韦方程惟一地确定。 V S E( r, t), H(r, t ) E(r, 0) 及 H(r, 0 ) E t (r, t) 或 H t (r, t) 采用反证法即可证明这个定理。 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波

95 位移电流、麦克斯韦方程、边界条件、位函数、 能流密度矢量、正弦电磁场、复能流密度矢量
主 要 内 容 位移电流、麦克斯韦方程、边界条件、位函数、 能流密度矢量、正弦电磁场、复能流密度矢量 主 要 概 念 电磁辐射、复矢量、瞬时值、最大值、有效值和周期平均值 全电流连续性原理、全电流定律、能量定理和复能量定理、惟一性定理。 主要定律和原理 2017年3月1日星期三 电磁场与电磁波