第五章平稳时间序列预测设当前时刻为t，我们已经知道平稳时间序列Xt在时刻t 及以前时刻的观察值Xt ,Xt-1,Xt-2… ，现在用序列Xt对时刻t以后的观察值Xt+l(l>0)进行预测。这种预测称为以t 为原点，向前步长为l的预测，预测值记为.

第五章平稳时间序列预测设当前时刻为t，我们已经知道平稳时间序列Xt在时刻t 及以前时刻的观察值Xt ,Xt-1,Xt-2… ，现在用序列Xt对时刻t以后的观察值Xt+l(l>0)进行预测。这种预测称为以t 为原点，向前步长为l的预测，预测值记为

第一节正交投影预测（几何预测）在已知的条件下，对进行预测，一个常用而简单的函数形式就是的线形组合形式，即余下的问题就是求得系数
使与最接近。

正交投影预测几何示意图在从图中可以看出，一个“最佳”的选择就是所形成平面上的正交投影。

根据平稳序列的传递形式，序列的线性组合形式，因此可以表示为所形成平面也是所形成平面，且为一组正交基。因而有：因而，求解
的问题就转化为求解

预测误差与平面中每个基正交，即有解之有即最后的预测函数为

预测误差为其方差为从上式可以看出L步预测的的方差和步长L有关而与起点t无关，且步长Ｌ越大，预测误差的方差越大。

第二节条件期望预测正交投影预测在线性条件下具有最小的均方误差，而一个更一般条件下的预测为基于条件期望的预测。条件期望
所谓条件期望，是指在一定条件下的期望值。例如，在已知的条件下，的期望值称为的条件期望，记为：或

条件期望的性质性质一：性质二：性质三：性质1表明：条件期望满足线性运算法则；性质2表明：现在或过去观察值的条件期望是其本身，未来取值的条件期望是其预测值；性质3表明：现在或过去的残差的条件期望是它的估计值，未来残差的条件期望则为零。

用模型的逆转形式进行预测任一ARMA模型可用逆转形式来表示，即将xt表示为过去观测值的线性组合再加一个随机扰动：

用差分方程形式进行预测 AR（1）模型

MA（1）模型

ARMA（1，1）模型

即当 l>1时，预测值满足模型自回归部分差分方程
做为初始值，解此差分方程得预测值为

ARMA(m,n)模型预测的一般结果其中对于

结论：对一般的ARMA(n,m)模型，自回归部分决定了预测函数的形式，而滑动平均部分用于确定预测函数中的系数。
由于

由前面知实际计算中用下式替代

第三节实时修正预测随着时间的推移，某些先前需要预测的未来信息已经变为现实，原来的时间序列预测模型可能没有反应这种现实的变化，此时有两种选择，一种是重新建立预测模型，另一种更好的选择是对原有预测模型进行实时修正。

实时修正预测的具体方法：对于一个ARMA过程，由得：因此：

式中，为一步预测误差。结论：新的预测值是在旧的预测值基础上加一个修正项，而这一修正项比例于旧的一步预测误差，比例系数随预测超前步数而变化。例：P138。

第四节指数平滑预测——ARMA模型特例指数平滑预测预测公式：其中：

指数平滑两个重要公式指数平滑与ARMA模型的关系指数平滑预测公式：

如果预测误差为，则：若在t-1时刻，则上式正是模型的逆转形式。

反之，若以该模型的逆转形式进行预测，可得：
此即为指数平滑预测。结论：指数平滑预测与ARMA（1，1）模型在时的特殊情况下的预测等价。

本章回顾正交投影预测条件期望预测实时修正预测 ARMA模型特例---指数平滑预测