第六章 定积分的应用 利用元素法解决: 定积分在几何上的应用 (L.P184) 定积分在物理上的应用.

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1 第六章 定积分的应用 利用元素法解决: 定积分在几何上的应用 (L.P184) 定积分在物理上的应用

2 第一节 定积分的元素法 一、什么问题可以用定积分解决 ? 二 、如何应用定积分解决问题 ? 第六章 (L.P184)
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3 一、什么问题可以用定积分解决 ? 1) 所求量 U 是与区间[a , b]上的某分布 f (x) 有关的 一个整体量 ;
即可通过 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 表示为 (L.P184) 定积分定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束

4 二 、如何应用定积分解决问题 ? 第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量的 近似值 微分表达式
第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的 精确值 积分表达式 (L.P183) 这种分析方法成为元素法 (或微元分析法) 元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等 第二节 目录 上页 下页 返回 结束

5 第二节 定积分在几何学上的应用 一、 平面图形的面积 二、 平面曲线的弧长 三、已知平行截面面积函数的 立体体积
第六章 定积分在几何学上的应用 一、 平面图形的面积 二、 平面曲线的弧长 三、已知平行截面面积函数的 立体体积 四、 旋转体的侧面积 (补充) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

6 一、平面图形的面积 1. 直角坐标情形 设曲线 与直线 及 x 轴所围曲 边梯形面积为 A , 则 右下图所示图形面积为
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7 例1. 计算两条抛物线 在第一象限所围 所围图形的面积 . 解: 由 得交点 机动 目录 上页 下页 返回 结束

8 例2. 计算抛物线 与直线 所围图形 的面积 . 得交点 解: 由 为简便计算, 选取 y 作积分变量, 则有
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9 例3. 求椭圆 所围图形的面积 . 有 解: 利用对称性 , 利用椭圆的参数方程 应用定积分换元法得 当 a = b 时得圆面积公式
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10 一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程 给出时, 按顺时针方向规定起点和终点的参数值 则曲边梯形面积 机动 目录 上页 下页 返回 结束

11 例4. 求由摆线 的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 . 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

12 2. 极坐标情形 求由曲线 及 围成的曲边扇形的面积 . 在区间 上任取小区间 则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为 所求曲边扇形的面积为
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13 例5. 计算阿基米德螺线 对应  从 0 变 到 2 所围图形面积 . 解: 点击图片任意处 播放开始或暂停
对应  从 0 变 到 2 所围图形面积 . 解: 点击图片任意处 播放开始或暂停 机动 目录 上页 下页 返回 结束

14 例6. 计算心形线 所围图形的 面积 . 解: (利用对称性) 运行时, 点击按钮“心形线”, 可演示心形线的生成, 并自动返回.
心形线 目录 上页 下页 返回 结束

15 心形线(外摆线的一种) 即 参数的几何意义 点击图中任意点 动画开始或暂停 尖点: 面积: 弧长:

16 例7. 计算心形线 与圆 所围图形的面积 . 解: 利用对称性 , 所求面积 机动 目录 上页 下页 返回 结束

17 例8. 求双纽线 所围图形面积 . 解: 利用对称性 , 则所求面积为 思考: 用定积分表示该双纽线与圆 所围公共部分的面积 . 答案:
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18 二、平面曲线的弧长 定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 , 当折线段的最大 边长 →0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 , 则称
即 并称此曲线弧为可求长的. 定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的. (证明略) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

19 (1) 曲线弧由直角坐标方程给出: 弧长元素(弧微分) : (P168) 因此所求弧长 机动 目录 上页 下页 返回 结束

20 (2) 曲线弧由参数方程给出: 弧长元素(弧微分) : 因此所求弧长 机动 目录 上页 下页 返回 结束

21 (3) 曲线弧由极坐标方程给出: 则得 弧长元素(弧微分) : (自己验证) 因此所求弧长 机动 目录 上页 下页 返回 结束

22 例9. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量, 下垂 成悬链线 . 悬链线方程为 求这一段弧长 . 解:
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23 例10. 求连续曲线段 的弧长. 解: 典型P282 例1.24 机动 目录 上页 下页 返回 结束

24 例11. 计算摆线 一拱 的弧长 . 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

25 例12. 求阿基米德螺线 相应于 0≤≤2 一段的弧长 . 解: (P349 公式39)
根据学时安排, 若本次课只讲到此处, 则运行时点击按钮“小结”转向“内容小结”第一部分, 并根据情况运行后面的思考与练习题, 然后结束本次课. 小结 目录 上页 下页 返回 结束

26 三、已知平行截面面积函数的立体体积 设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), 上连续, 则对应于小区间 的体积元素为 因此所求立体体积为
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27 特别 , 当考虑连续曲线段 轴旋转一周围成的立体体积时, 有 当考虑连续曲线段 绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时, 有
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28 例13. 计算由椭圆 所围图形绕 x 轴旋转而 转而成的椭球体的体积. 解: 方法1 利用直角坐标方程 则 (利用对称性)
解: 方法1 利用直角坐标方程 则 (利用对称性) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

29 方法2 利用椭圆参数方程 则 特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积 机动 目录 上页 下页 返回 结束

30 所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .
例14. 计算摆线 的一拱与 y＝0 所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 . 解: 绕 x 轴旋转而成的体积为 利用对称性 机动 目录 上页 下页 返回 结束

31 绕 y 轴旋转而成的体积为 注意上下限 ! 注 运行时, 点击按钮“注”, 可显示最后一个积分的计算过程, 显示完毕自动返回.
注 目录 上页 下页 返回 结束

32 注 (利用“偶倍奇零”) 分部积分

33 说明: 柱面面积 柱壳体积 机动 目录 上页 下页 返回 结束

34 偶函数 奇函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束

35 例15. 设 在 x≥0 时为连续的非负函数, 且 形绕直线 x＝t 旋转一周所成旋转体体积 , 证明: 证: 利用柱壳法 则 故
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36 例16. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 , 并 与底面交成  角, 计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .
解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为 其面积为 垂直于x 轴 的截面是直角三角形, 利用对称性 机动 目录 上页 下页 返回 结束

37 思考: 可否选择 y 作积分变量 ? 此时截面面积函数是什么 ? 如何用定积分表示体积 ? 提示: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

38 例17. 计算由曲面 所围立体(椭球体) 的体积. 解: 垂直 x 轴的截面是椭圆 它的面积为 因此椭球体体积为 (L.P191 例7)
例17. 计算由曲面 所围立体(椭球体) 的体积. 解: 垂直 x 轴的截面是椭圆 它的面积为 因此椭球体体积为 (L.P191 例7) 特别当 a = b = c 时就是球体体积 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

39 例18. 求曲线 与 x 轴围成的封闭图形 绕直线 y＝3 旋转得的旋转体体积. 解: 利用对称性 , 在第一象限 故旋转体体积为
(94 考研) 解: 利用对称性 , 在第一象限 故旋转体体积为 (94 考研数二) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

40 四、旋转体的侧面积 (补充) 设平面光滑曲线 求 它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 . 取侧面积元素: 积分后得旋转体的侧面积
(L.P197, 三)(L.P197 例13) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

41 注意: 侧面积元素 不是薄片侧面积△S 的 的线性主部 . 若光滑曲线由参数方程 给出, 则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的 侧面积为
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42 例19. 计算圆 x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S . 解: 对曲线弧 应用公式得 当球台高 h＝2R 时, 得球的表面积公式
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43 例20. 求由星形线 绕 x 轴旋转 一周所得的旋转体的表面积 S . 解: 利用对称性
运行时, 点击按钮 “星形线”, 可显示星形线的生成及参数的几何意义, 演示结束自动返回. 星形线 目录 上页 下页 返回 结束

44 星形线 星形线是内摆线的一种. (当小圆在圆内沿圆周滚动 时, 小圆上的定点的轨迹为是内摆线) 参数的几何意义 大圆半径 R＝a 小圆半径
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45 内容小结 1. 平面图形的面积 直角坐标方程 边界方程 参数方程 极坐标方程 2. 平面曲线的弧长 弧微分: 直角坐标方程 曲线方程
上下限按顺时针方向确定 1. 平面图形的面积 直角坐标方程 边界方程 参数方程 极坐标方程 2. 平面曲线的弧长 注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小 弧微分: 直角坐标方程 曲线方程 参数方程方程 极坐标方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束

46 3. 已知平行截面面面积函数的立体体积 旋转体的体积 绕 x 轴 : 绕 y 轴 : 4. 旋转体的侧面积 侧面积元素为
(柱壳法) 4. 旋转体的侧面积 侧面积元素为 (注意在不同坐标系下 ds 的表达式) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

47 思考与练习 1.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s . 提示: 交点为 以 x 为积分变量 , 则要分 两段积分,
故以 y 为积分变量. 弧线段部分 直线段部分 机动 目录 上页 下页 返回 结束

48 2. 试用定积分求圆 绕 x 轴 旋转而成的环体体积 V 及表面积 S . 上 半圆为 提示: 下 求体积 : 方法1 利用对称性
方法1 利用对称性 (L.P198 例14) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

49 此式反映了环体微元的另一种取法(如图所示).
上 半圆为 下 方法2 用柱壳法 说明: 上式可变形为 此式反映了环体微元的另一种取法(如图所示). 机动 目录 上页 下页 返回 结束

50 上 半圆为 下 求侧面积 : 利用对称性 上式也可写成 它也反映了环面微元的另一种取法. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

51 作业 面积及弧长部分： P279 2 (1) , (3) ; 3; 4; 5 (2) , (3) ;
8 (2) ; 9; 10; 22; 25; ; 30 体积及表面积部分： P ; ; 15 (1), (4); 17; 18 补充题: 设有曲线 过原点作其切线 , 求 由此曲线、切线及 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一 周所得到的旋转体的表面积. 第三节 目录 上页 下页 返回 结束

52 备用题 1. 求曲线 所围图形的面积. 解： 显然 又 故在区域 同理其它. 面积为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

53 2.  为何值才能使 与 x 轴围成的面积等 解: 与 x 轴所围面积 分析曲线特点 故 由图形的对称性 , 也合于所求.
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54 3. 求曲线 与 所围成 图形的公共部分的面积 . 解： 得 所围区域的面积为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

55 图形 A 绕直线 x＝2 旋转一周所得旋转体的体积 .
4. 设平面图形 A 由 与 所确定 , 求 图形 A 绕直线 x＝2 旋转一周所得旋转体的体积 . 提示： 选 x 为积分变量. 旋转体的体积为 若选 y 为积分变量, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

56 第三节 定积分在物理学上的应用 一、 变力沿直线所作的功 二、 液体的侧压力 三、 引力问题 四、 转动惯量 (补充) 第六章
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57 一、 变力沿直线所作的功 设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x＝a 移动到 力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 .
在其上所作的功元 素为 因此变力F(x) 在区间 上所作的功为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

58 位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a < b) ,
例1. 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下, 一个单 位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a < b) , 求电场力所作的功 . 解: 当单位正电荷距离原点 r 时, 由库仑定律电场力为 则功的元素为 所求功为 说明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

59 在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气
例2. 在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气 体, 由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积为S 的活塞从 点 a 处移动到点 b 处 (如图), 求移动过程中气体压力所 作的功 . 解: 建立坐标系如图. 由波义耳—马略特定律知压强 p 与体积 V 成反比 , 即 故作用在活塞上的 力为 功元素为 所求功为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

60 例3. 一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m, 试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解: 建立坐标系如图. 在任一小区间
解: 建立坐标系如图. 在任一小区间 上的一薄层水的重力为 (KN) 这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为 故所求功为 比重现在不用了 过去: 1) 单位体积所受的重力 ; 2) 与水比的相对重量 设水的密度为 ( KJ ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

61 二、液体侧压力 设液体密度为  深为 h 处的压强: • 当平板与水面平行时, 平板一侧所受的压力为 面积为 A 的平板 •
当平板不与水面平行时, 所受侧压力问题就需用积分解决 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

62 一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为
例4. 一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为  的液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力. 解: 建立坐标系如图. 所论半圆的 方程为 利用对称性 , 侧压力元素 端面所受侧压力为 小窄条上各点的压强 机动 目录 上页 下页 返回 结束

63 说明: 当桶内充满液体时, 小窄条上的压强为 侧压力元素 故端面所受侧压力为 奇函数 ( P350 公式67 )
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64 三、 引力问题 质量分别为 的质点 , 相距 r , 二者间的引力 : 大小: 方向: 沿两质点的连线
若考虑物体对质点的引力, 则需用积分解决 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

65 其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M, 试计算
例5. 设有一长度为 l, 线密度为 的均匀细直棒, 在 其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M, 试计算 该棒对质点的引力. 解: 建立坐标系如图. 细棒上小段 对质点的引力大小为 故垂直分力元素为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

66 棒对质点的引力的垂直分力为 利用对称性 棒对质点引力的水平分力 故棒对质点的引力大小为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

67 移到 b (a < b) 处时克服引力作的功,
说明: 1) 当细棒很长时,可视 l 为无穷大 , 此时引力大小为 方向与细棒垂直且指向细棒 . 2) 若考虑质点克服引力沿 y 轴从 a 处 移到 b (a < b) 处时克服引力作的功, 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

68 3) 当质点位于棒的左端点垂线上时, 注意正负号 引力大小为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

69 四、转动惯量 (补充) 质量为 m 的质点关于轴 l 的转动惯量为 的质点系 关于轴 l 的转动惯量为
若考虑物体的转动惯量 , 则需用积分解决 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

70 ⑴ 求圆盘对通过中心与其垂直的轴的转动惯量 ;
例6. 设有一个半径为 R , 质量为 M 的均匀圆盘 , ⑴ 求圆盘对通过中心与其垂直的轴的转动惯量 ; ⑵ 求圆盘对直径所在轴的转动惯量 . 解: ⑴ 建立坐标系如图. 设圆盘面密度为 . 对应于 的小圆环对轴 l 的转动惯量为 故圆盘对轴 l 的转动惯量为 小圆环质量 机动 目录 上页 下页 返回 结束

71 ⑵ 取旋转轴为 y 轴, 建立坐标系如图. 平行 y 轴的细条 关于 y 轴的转动惯量元素为 故圆盘对y 轴的转动惯量为 细条质量:
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72 内容小结 1.用定积分求一个分布在某区间上的整体量 Q 的步骤: (1) 先用微元分析法求出它的微分表达式 dQ 一般微元的几何形状有:
条、段、环、带、 扇、片、壳 等. (2) 然后用定积分来表示整体量 Q , 并计算之. 2.定积分的物理应用: 变力作功 , 侧压力 , 引力, 转动惯量等. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

73 思考与练习 1.为清除井底污泥, 用缆绳将抓斗放入井底, 抓起污 泥后提出井口, 已知井深30 m , 抓斗自重400N , 缆绳每
提升速度为3m /s , 在提升过程中污泥 以20N /s 的速度从抓斗缝隙中漏掉, 现将抓起污泥的抓斗提升到井口, 问 克服重力需作多少焦耳( J ) 功? (99考研) 提示: 作 x 轴如图. 将抓起污泥的抓斗由 x 提升 dx 所作的功为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

74 井深 30 m, 抓斗自重 400 N, 缆绳每米重50N, 抓斗抓起的污泥重 2000N, 提升速度为3m∕s,
污泥以 20N∕s 的速度从抓斗缝隙中漏掉 克服抓斗自重: 克服缆绳重: 抓斗升至 x 处所需时间 : 提升抓斗中的污泥: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

75 2. 设星形线 上每一点处线密 度的大小等于该点到原点距离的立方, 在点O 处有一单 位质点 , 求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力.
提示: 如图. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

76 作业: P287 2 , 3 , 5 , 9 , 12 同理 故星形线在第一象限的弧段对该质点的 引力大小为
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77 备用题 斜边为定长的直角三角形薄板, 垂直放置于 水中, 并使一直角边与水面相齐, 问斜边与水面交成的
锐角 取多大时, 薄板所受的压力 P 最大 . 解: 选取坐标系如图. 设斜边长为 l , 则其方程为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

78 即 故得唯一驻点 由实际意义可知最大值存在 , 故此唯一驻点 即为所求. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

79 习题课 定积分的应用 第六章 1. 定积分的应用 几何方面 : 面积、 体积、 弧长、 表面积 . 物理方面 : 质量、 作功、 侧压力、
引力、 转动惯量 . 2. 基本方法 : 微元分析法 微元形状 : 条、 段、 带、 片、 扇、 环、 壳 等. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

80 例1. 求抛物线 在(0,1) 内的一条切线, 使它与 两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小. 解: 设抛物线上切点为 则该点处的切线方程为
它与 x , y 轴的交点分别为 所指面积 机动 目录 上页 下页 返回 结束

81 得[ 0 , 1] 上的唯一驻点 且为最小点 . 故所求切线为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

82 (2) a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体
例2. 设非负函数 曲线 与直线 及坐标轴所围图形 面积为 2 , (1) 求函数 (2) a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体 体积最小 ? 解: (1) 由方程得 即 故得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

83 又 (2) 旋转体体积 又 为唯一极小点, 因此 时 V 取最小值 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

84 例3. 证明曲边扇形 绕极轴 旋转而成的体积为 证: 先求 上微曲边扇形 绕极轴旋转而成的体积 体积微元 故
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85 例4. 求由 与 所围区域绕 旋转所得旋转体体积. 解: 曲线与直线的交点坐标为 曲线上任一点 到直线 的距离为 则 故所求旋转体体积为
例4. 求由 与 所围区域绕 旋转所得旋转体体积. 解: 曲线与直线的交点坐标为 曲线上任一点 到直线 的距离为 则 故所求旋转体体积为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

86 例5. 半径为 R , 密度为 的球沉入深为H ( H > 2 R ) 的水池底, 水的密度 现将其从水池中取出, 需做 多少功 ?
解: 建立坐标系如图 . 则对应 上球的薄片提到水面上的微功为 提出水面后的微功为 微元体积 所受重力 上升高度 机动 目录 上页 下页 返回 结束

87 因此微功元素为 球从水中提出所做的功为 “偶倍奇零” 机动 目录 上页 下页 返回 结束

88 (1) 以每秒 a 升的速度向空容器中注水, 求水深为
例6. 设有半径为 R 的半球形容器如图. (1) 以每秒 a 升的速度向空容器中注水, 求水深为 为h (0 < h < R ) 时水面上升的速度 . (2) 设容器中已注满水 , 求将其全部抽出所做的功最 少应为多少 ? 解: 过球心的纵截面建立坐标系如图. 则半圆方程为 设经过 t 秒容器内水深为h , 机动 目录 上页 下页 返回 结束

89 (1) 求 由题设, 经过 t 秒后容器内的水量为 at (升) , 而高为 h 的球缺的体积为 故有 半球可看作半圆
绕 y 轴旋转而成 两边对 t 求导, 得 体积元素: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

90 (2) 将满池水全部抽出所做的最少功 为将全部水提 到池沿高度所需的功. 对应于 薄层所需的功元素 故所求功为 微元体积: 微元的重力 :
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91 作业 P ; 3 ; 6 ; 7 ; 9 机动 目录 上页 下页 返回 结束