一、平面点集 定义: x、y ---自变量，u ---因变量. 点集 E ---定义域， --- 值域.

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1 一、平面点集 定义: x、y ---自变量，u ---因变量. 点集 E ---定义域， --- 值域.

2 例1 与一元函数相类似，对于定义域约定： 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集.

3 二元函数的图形通常是一张曲面.

4 例2 求 的定义域． 解: 要使函数有定义,必须 所求定义域为 二、二元函数的极限

5 还是从x0的右边无限接近于x0时, 对应的函数值无限接近于数 A.
回忆一元函数的极限. 设 表示 x y A f (x) y = f (x) x0 x  x0 当 x 不论是从 x0的左边 还是从x0的右边无限接近于x0时, 对应的函数值无限接近于数 A. 如图 就是 >0, >0. 当0<|x – x0|<  时, 有|f (x) – A |< .

6 定义：

7 说明： （2）二元函数的极限也叫二重极限 （3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．

8 例3 求极限 解

9 其中

10 例4 证明 不存在． 证 取 其值随k的不同而变化， 故极限不存在．

11 确定极限不存在的方法：

12 三、二元函数的连续性 例5 讨论函数 在(0,0)处的连续性．

13 解 取 当 时

14 故函数在(0,0)处连续. 例6 讨论函数 在(0,0)的连续性． 解 取

15 其值随k的不同而变化， 极限不存在． 故函数在(0,0)处不连续． 注:

16 四、有界闭区域上连续函数的性质

17 （1）有界性定理 （2）一致连续性定理

18 （3）最大值和最小值定理

19 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．
（4）零点存在定理 多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数. 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的． 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．

20 例７ 解

21 五、二重极限和二次极限 定义: 二次极限有两个:

22 二重极限和二次极限的关系 （1）两个二次极限都不存在，而二重极限仍可能存在。 例8

23 故 (2)两个二次极限存在而不相等，二重极限必不存在。 例9 因 两个二次极限都不存在。

24 但由下面的定理知二重极限必不存在. (3)两个二次极限存在且相等，但二重极限仍可能不存在。 例10 注： 二次极限存在与否和二重极限存在与否，二者之间没有一定的联系.

25 定理

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