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第四章 运筹学模型 本章重点： 线性规划基础模型、目标规划模型、运输模型 及其应用、图论模型、最小树问题、最短路问题
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1．营养配餐问题的数学模型
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上式可更简洁的写为 其中的常数 表示第j种食品的市场价格， 表示第j种 食品含第i种营养的数量， 表示人或动物对第i种营养 的最低需求量.
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2．合理配料问题的数学模型 有m种资源B1，B2，…，Bm,可用于生产n种代 号为A1，A2，…，An的产品．单位产品Aj需用资源
Bi的数量为aij，获利为Cj单位，第i种资源可供给总 量为bi个单位.问如何安排生产，使总利润达到最大？
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设生产第j种产品xj个单位（j=1,2,…,n），则有
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3．运输问题模型 运输问题也是一种线性规划问题，只是决策变量
设置为双下标变量．假如问题具有m个产地和n个销地，第i个产地用Ai表示，其产量为ai(i=1,2,…，m)，第j个销地用Bj表示，其销量为bj (j=1,2,…,n)，从Ai运往Bj的运价为cij, 而 表示产销平衡．
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那么产销平衡运输问题的一般模型可以写成为
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4．目标规划模型 某工厂生产代号为Ⅰ、Ⅱ的两种产品，这两种产 品都要经甲、乙两个车间加工，并经检验与销售两部
门处理.已知甲、乙两车间每月可用生产工时分别为120 小时和150小时，每小时费用分别为80元和20元，其它 数据如下表 项目 数据 产品 甲车间加工（时/件） 乙车间加工（时/件） 检验销售（元/件） 利 润（元/件） Ⅰ 2 1 50 100 Ⅱ 3 30 75 工厂领导希望给出一个可行性生产方案，使生产销售 及检验等方面都能达标
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问题分析与模型假设 经与工厂总经理交谈，确定下列几条： p1: 检验和销售费每月不超过4600元； p2: 每月售出产品I不少于50件；
车间每小时费用比确定）； p4：甲车间加班不超过20小时； p5：每月售出产品Ⅱ不少于80件； p6：两车间加班总时数要有控制（对权系数分配参 照第三优先级）.
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模型建立
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5．最小树问题 一个图中若有几个顶点及其边的交替序列形成闭回 路，我们就说这个图有圈；若图中所有连顶点间都有边
相接，就称该图是连通的；若两个顶点间有不止一条边 连接，则称该图具有多重边. 一个图被称为是树意味着该图是连通的无圈的简单 图． 在具有相同顶点的树中，总赋权数最小的树称为最 小树.最小树的求法有两种，一种称为“避圈法”，一种是 “破圈法”，两法各具优缺点，它们具有共同的特征—— 去掉图中的圈并且每次都是去掉圈中边权较大的边．
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6．最短路问题的数学模型 最短路问题一般描述如下：在一个图（或者说网 络）中，给定一个始点vs和一个终点vt，求vs到vt的一
条路，使路长最短（即路的各边权数之和最小）．
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狄克斯屈（E.D.Dijkstra）双标号法
该法亦称双标号法，适用于所有权数均为非负（即 一切 wij表示顶点vi与vj的边的权数）的网络，能够求出 网络的任一点vs到其它各点的最短路，为目前求这类网 络最短路的最好算法． 该法在施行中，对每一个点vj都要赋予一个标号， 并分为固定标号P（vj）和临时标号T（vj）两种，其含 义如下： P（vj）——从始点vs到vj的最短路长； T（vj）——从始点vs到vj的最短路长上界．
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开始先给始点vs标上P标号0，然后检查点vs，对其
一切关联边（vs, vj）的终点vj，给出vj的T标号wij；再在网络的已有T标号中选取最小者，把它改为P标号．以后每次都检查刚得到P标号那点，按一定规则修改其一切关联边终点的T标号，再在网络的所有T标号中选取最小者并把它改为P标号．这样，每次都把一个T标号点改为P标号点，因为网络中总共有n个结点，故最多只需n-1次就能把终点vt改为P标号．这意味着已求得了vs到vt的最短路．
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狄克斯屈标号法的计算步骤如下： １. 令S={vs}为固定标号点集， 为临时标号 点集，再令 ，
2. 检查点vi，对其一切关联边（vi，vj）的终点 计算并令
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狄克斯屈标号法的计算步骤如下： 3. 从一切中选取并令 选取相应的弧（vi, vr）．再令
4. 若 ，则停止， 即vs到vj的最短路长，特别 即vs到vt的最短路长，而已选出的弧即给出vs到 各点的最短路；否则令 ，返2． 5. 若r = t则结束， 即为所求最短路长；否则令 ，返2.
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