S5MathsCH1&2Notes 等差與等比數列

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1 S5MathsCH1&2Notes 等差與等比數列

2 數列 Title page: Font size 36, bold, theme color of the chapter (red for geometry, blue for algebra, green for statistics)

3 一組按次序排列的數稱為數列，而數列中的每一個數都稱為項。以下所示為一些數列:
(i) 0, 1, 2, 3, 4, … (ii) 2, 4, 6, 8, 10, … (iii) –1, 2, –4, 8, –16, … (iv) 1, 1, 2, 3, 5, …

4 習慣上，我們會使用以下的記號來表示一個數列中的項:
第 2 項 第 4 項 T(1), T(2), T(3), T(4), …, T(n), … 首項 第 3 項 第 n 項

5 對於數列 0, 1, 2, 3, 4, …， T(1) = 0 = 1 – 1 T(2) = 1 = 2 – 1 T(3) = 2 = 3 – 1 T(4) = 3 = 4 – 1 T(5) = 4 = 5 – 1 ∴ T(n) = n – 1

6 課堂研習 考慮以下的數列: 1, –1, 1, –1, … (a) 寫出該數列的通項 T(n)。 (b) 求該數列的第 5 項和第 8 項。

7 (a) ∵ T(1) = 1 = (–1)1+1 T(2) = –1 = (–1)2+1 T(3) = 1 = (–1)3+1 T(4) = –1 = (–1)4+1 ∴ T(n) = (–1)n+1 (b) T(5) = (–1)5+1 = 1 T(8) = (–1)8+1 = –1 ∴ 該數列的第 5 項是 1，而第 8 項是 –1 。

8 等差數列 Title page: Font size 36, bold, theme color of the chapter (red for geometry, blue for algebra, green for statistics)

9 等差數列是任意一項與前一 項之間有一個公差的數列。
考慮數列 2, 4, 6, 8, 10, …， 數列中任意兩個連續項的差都相等。 T(2) – T(1) = 4 – 2 = 2 T(3) – T(2) = 6 – 4 = 2 T(4) – T(3) = 8 – 6 = 2 T(5) – T(4) = 10 – 8 = 2 等差數列是任意一項與前一 項之間有一個公差的數列。

10 設一個等差數列的首項是 a 而公差是 d ，可得:
T(1) = a T(2) = T(1) + d = a + d T(3) = T(2) + d = a + 2d T(4) = T(3) + d = a + 3d 因此，其通項為: T(n) = a + (n – 1)d

11 課堂研習 (a) 求等差數列 –3, 1, 5, 9, … 的通項。 (b) 若該數列的第 k 項是 2009，求 k 的值。
(a) 設公差是 d。 ∵ d = T(2) – T(1) = 1 – (–3) = 4 ∴ T(n) = –3 + (n – 1)(4) =

12 (b) 4k – 7 = 2009 4k = 2016 k =

13 等差中項 Title page: Font size 36, bold, theme color of the chapter (red for geometry, blue for algebra, green for statistics)

14 若 a、 b 和 c 是一個等差數列，則 b 是 a 與 c 的等差中項。
根據定義， ∴

15 兩數之間可以有多於一個等差中項。 例如: 在 1 與 7 之間插入一個等差中項。 形成的數列為: 1, 4, 7 公差 = 3

16 在 1 與 7 之間插入兩個等差中項。 形成的數列為: 1, 3, 5, 7 公差 = 2

17 課堂研習 在 –5 與 7 之間插入兩個等差中項。 設所形成的等差數列的公差是 d， 則該數列可寫成:
–5, –5 + d, –5 + 2d, 7 ∵ 第 4 項亦可表示為 –5 + 3d。 ∴ –5 + 3d = 7 d = 4 ∴ 所求的兩個等差中項是 –1 和 3。

18 等比數列 Title page: Font size 36, bold, theme color of the chapter (red for geometry, blue for algebra, green for statistics)

19 等比數列是任意一項與前一 項之間有一個公比的數列。
考慮數列 2, 4, 8, 16, …， 數列中任意兩個連續項的比都相等。 等比數列是任意一項與前一 項之間有一個公比的數列。

20 設一個等比數列的首項是 a 而公比是 R，可得:
T(1) = a T(2) = T(1) × R = aR T(3) = T(2) × R = aR2 T(4) = T(3) × R = aR3 因此，其通項為: T(n) = aRn – 1，其中 R ≠ 0

21 課堂研習 已知一個等比數列的首項 a 是 128 而公比 R 是 0.5。 (a) 求該數列的通項 T(n)。
(b) 若 T(k) = 1，求 k 的值。 (a) ∵ a = 128, R = 0.5 及 T(n) = aRn – 1 ∴ T(n) = 128(0.5)n – 1 = 27 × 21 – n =

22 (b) 若 T(k) = 1，求 k 的值。 (b) T(k) = 1 28 – k = 1 28 – k = 20 8 – k = 0 k =

23 等比中項 Title page: Font size 36, bold, theme color of the chapter (red for geometry, blue for algebra, green for statistics)

24 若 x、 y 和 z 是一個等比數列，則 y 是 x 與 z 的等比中項。
根據定義， ∴

25 兩數之間可以有多於一個等比中項。 例如: 在 1 與 64 之間插入一個等比中項。 形成的數列為: 1, 8, 64 公比 = 8

26 在 1 與 64 之間插入兩個等比中項。 形成的數列為: 1, 4, 16, 64 公比 = 4

27 課堂研習 在 1 與 4 之間插入一個負值的等比中項。 所求的等比中項

28 級數 Title page: Font size 36, bold, theme color of the chapter (red for geometry, blue for algebra, green for statistics)

29 考慮數列 T(1), T(2), T(3), …, T(n) 。 數式 T(1) + T(2) + T(3) + … + T(n) 稱為級數， 我們通常會用記號 S(n) 來表示一個級數首 n 項之和。 S(n) = T(1) + T(2) + T(3) + … + T(n)

30 例如，考慮以下的數列: 3, 7, –2, 0, 1, 4, 2, –5 S(2) = = 10 S(3) = (–2) = 8 S(4) = (–2) + 0 = 8

31 課堂研習 對於以下的一個數列: 1, 2, 3, 4, ..., 100 (a) 寫出對應的級數。 (b) 求 S(4) 和 S(8)。
對於以下的一個數列: , 2, 3, 4, ..., 100 (a) 寫出對應的級數。 (b) 求 S(4) 和 S(8)。 (a) 對應的級數是 … + 100。 (b) S(4) = = S(8) = =

32 當數列 T(1), T(2), T(3), …, T(n) 是一個等差數列時，

33 等差級數 Title page: Font size 36, bold, theme color of the chapter (red for geometry, blue for algebra, green for statistics)

34 在著名數學家高斯年幼的時候，他的老師出了一條與下題相似的題目:
計算 … + 100。

35 = 101 = 101 … = 101 這裏共有 50 對。 … + 100 = 50 × 101 高斯發現了一個快捷的方法來解這個問題。 = 5050

36 對於一個等差數列 T(1), T(2), T(3), …, T(n)，級數 T(1) + T(2) + T(3) + … + T(n) 稱為等差級數。
a + (a + d) + (a + 2d) + … + [a + (n – 1)d]， 我們以 l 表示該數列的末項， l = a + (n – 1)d

37 S(n) = a + (a + d) + (a + 2d) + … + (l – d) + l
S(n) = l (l – d) + (l – 2d) + … + (a + d) + a +) 2S(n) = (a + l) + (a + l) + (a + l) + … + (a + l) + (a + l) 即 2S(n) = n(a + l) ∵ l = a + (n – 1)d

38 我們可得: 其中 a 是首項，而 l 是末項。 其中 a 是首項， d 是公差及 n 是項數。

39 課堂研習 求等差級數 1 + 2 + 3 + 4 + … + 100 各項之和。 a = 1, d = 2 – 1 = 1, l = 100
∵ a = 1, d = 2 – 1 = 1, l = 100

40 課堂研習 已知一個等差級數： 5 + 2 + (–1) + (–4) + … (a) 求第 10 項。 (b) 求首 10 項之和。
(c) 求第 11 項至第 20 項之和。 (a) ∵ d = 2 – 5 = –3 ∴ T(10) = 5 + (10 – 1)(–3) =

41 (b) S(10) = = (c) S(20) = = –470 ∴ T(11) + T(12) + … + T(20) = S(20) – S(10) = –470 – (–85) =

42 等比級數首 n 項之和 Title page: Font size 36, bold, theme color of the chapter (red for geometry, blue for algebra, green for statistics)

43 對於一個等比數列 T(1), T(2), T(3), …, T(n)，級數 T(1) + T(2) + T(3) + … + T(n) 稱為等比級數。
a + aR + aR2 + … + aRn – 1, 考慮下列兩個等比級數之和: S(n) = a + aR + aR2 + … + aRn – ……(1) RS(n) = aR + aR2 + … + aRn – 1 + aRn ……(2)

44 (1) – (2)： S(n) – RS(n) = a – aRn (1 – R)S(n) = a(1 – Rn) ∴ 其中 a 是首項，R 是公比及 n 是項數。 當 R < 1 時，利用此公式會較為方便。

45 ∴ 此公式亦可寫成: 當 R > 1 時，利用此公式會較為方便。

46 課堂研習 求等比級數 3125 + 625 + ... + 1 各項之和。 設該級數的項數為 n。
∵ a = 3125，R = 及 T(n) = aRn – 1 = 1

47 ∴ n – 1 = 5 n = 6 ∴ S(6) = =

48 等比級數的無限項之和 Title page:
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49 一個首項為 a，公比為 R 的等比級數首 n 項之和是
Rn  0；當 n  ， 一個等比級數的無限項之和為:

50 課堂研習 把循環小數 化為分數。 a = 0.45, R = 0.01 循環小數可以寫成等比級數的無限項之和。

51

52 完