高中数学选修1选修2 教材分析与教学建议.

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1 高中数学选修1选修2 教材分析与教学建议

2 实行新课程标准，提高教学质量，教育理念是灵魂，教材建设是关键，教师素质是根本，课堂教学是核心，教学评价是导向，现代化技术是推进器.

3 祝愿我们数学教育工作者做出无愧于时代的贡献，给我们所有的学生
一双能用数学视角观察世界的眼睛， 一个能用数学思维思考世界的头脑， 一副为谋国家富强人民幸福的心肠． ――张孝达

4 M. Kline 在《西方文化中的数学》中指出，数学是一种精神，一种理性精神，正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的物质、道德和社会生活，试图回答人类自身存在提出的问题，努力去理解和控制自然，尽力去探索和确立已经获得知识的最深刻和最完善的内涵． 数学的理性精神被看成西方文明的核心

5 数学教育方法的核心是学生的再创造. 教师不应该把数学当作一个已经完成了的形式理论来教，不应该将各种定义、规则、算法灌输给学生，而是应该创造合适的条件，让学生在学习数学的过程中，用自己的体验，用自己的思维方式，重新创造有关的数学知识. Freudenthal

6 选修1、选修2的构成及其定位 高中数学的选修系列1和系列2，是在必修课程的基础上，为不同发展方向的学生设置的数学课程．必修课程是为所有的学生在义务教育的基础上，获得较高的数学素养的而设置的．对大多数学生来说，仍然有进一步选修数学的必要．系列1和系列2，则是为这些学生而设置的、供选择的数学课程．学生在高中数学必修课程的基础上，再进一步提高数学修养而设置的学习内容．对于大多数高中学生来说，它们依然是必要的和基础性的课程．其中，选修系列1是为希望在人文、社会科学等方面发展的学生设置的，选修系列2是为希望在理工、经济等方面发展的学生设置的．

7 在选修系列1和系列2中，有些内容是相同的，如常用逻辑用语、数系的扩充与复数的引入；有些内容从标题来看是相同的，但是在内容的要求上有所区别，如圆锥曲线与方程、导数及其应用、统计案例、推理与证明；还有一些内容分别安排在不同的系列中，如框图只在选修系列1中才有，空间向量与立体几何、计数原理、概率只在选修系列2中才有．这两个选修系列的内容，同样是给学生的发展继续打基础，只是依据学生发展方向的不同，是为学生打好不同的基础而设置的．学生可以根据自己的发展志向，主动作出选择．

8 《标准》与《大纲》内容比较 与以往的高中数学课程相比，《标准》选定的必修内容以及选修系列1和系列2的学习内容，基本上覆盖了1997年制订、又于2002年修改审定的《大纲》的内容，只是根据时代的要求，增加了一些算法初步、推理与证明、框图这样的新内容． 在概率统计方面，对于统计思想及其应用和随机概念有所加强．与此同时并对很多有些传统的内容做了删减，或在要求和侧重点方面有所调整．

9 与此同时并对很多有些传统的内容做了删减，或在要求和侧重点方面有所调整。例如，削弱了三角函数恒等变换化的证明；不等式中减少不等式证明的要求，而侧重介绍现实世界中的不等关系中优化的思想；立体几何中减少综合证明的内容，重在对于图形的把握，发展空间观念， 运用向量方法解决计算问题；微积分初步中不再系统地讲极限概念，只通过瞬时变化率的描述，着重理解微分的基本思想及其应用。这样的调整，将使得学生把精力更多地放在理解数学的思想和本质方面，更加注意数学与现实世界的联系和应用，重在发展学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识，提高学生自觉运用数学分析问题、解决问题的能力，为学生日后的进一步学习，或在工作、生活中的应用，打下更好坚实的基础。

10 选修系列3和系列4的构成及其定位 随着时代的发展、社会的进步，人们逐渐认识到，数学无处不在，科学技术的发展需要数学，各行各业的生产需要数学，就是在日常生活中也离不开数学，现代社会越来越需要数学素养比较高的人才。学生在学习过程中，应当有更加开阔的视野。一个人只有有了比较高的数学素养和比较开阔的视野，才能比较自觉地、有意识地运用数学的眼光，去观察、分析周围的世界，去主动地运用数学知识，处理和解决所遇到的问题。因此，为了使高中学生依据各自不同的兴趣和需要，了解更多、更广的数学知识，具有更高的数学素养，《标准》设置了选修系列3和系列4的学习内容．

11 选修系列3和系列4的内容，有些看起来很深奥，以往只有上大学才能够学到，例如球面上的几何、对称与群、矩阵与变换、欧拉公式与闭曲面分类、三等分角与数域扩充等．现在把它们引入高中数学课程，并不是要把这些内容简化下放，而是想抓住这些数学内容的主要精髓，把它们的基本思想介绍给高中学生． 另外有些内容，例如数学史选讲、几何证明选讲、数列与差分、坐标系与参数方程、不等式选讲、初等数论初步等，是想让学生在已学过的数学内容的基础上，进一步加深对已学知识和相关知识的了解和认识．

12 选修系列3和选修系列4的设置和实施是一个动态发展的过程,在教学方式上应深入浅出，不可过度的形式化，不追求非常严格的系统性．
还有一些内容，例如信息安全与密码、优选法与实验设计初步、统筹法与图论初步、风险与决策、开关电路与布尔代数等，它们反映了数学与现实世界的紧密联系与广泛应用，通过介绍这些数学知识，可以加深学生对数学的力量、数学应用价值的认识．这些内容的教材编写和教学，并不要求很严格的系统性，但是又不是像有些科普通俗介绍那样只是简单地讲讲故事，而是想让学生对它们的基本内容和基本思想方法有一个初步的了解． 选修系列3和选修系列4的设置和实施是一个动态发展的过程,在教学方式上应深入浅出，不可过度的形式化，不追求非常严格的系统性．

13 在选修系列2－1中，学生将学习常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何．
正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质。无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要正确地运用逻辑用语表达自己的思想．在本模块中，学生将在义务教育阶段的基础上，学习常用逻辑用语，体会逻辑用语在表述和论证中的作用，利用这些逻辑用语准确地表达数学内容，更好地进行交流． 在必修课程学习解析几何内容的基础上，在本模块中，学生将学习圆锥曲线与方程，了解圆锥曲线与二次方程的关系，掌握圆锥曲线的基本几何性质，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，进一步体会数形结合的思想．

14 教材分析与教学建议 《常用逻辑用语》 正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质．无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要正确地运用逻辑用语表达自己的思维，使得思维清晰明了，说理有据． 学习逻辑用语的目的不是学习数理逻辑的有关知识，而是让学生通过学习逻辑用语的基本知识，体会逻辑用语在表述和论证中的作用．《大纲》里讲的是简易逻辑，主要基于数学意义上的简易数理逻辑，新课程标准所讲的是一种常用的逻辑语言，包括在数学上和日常生活中的应用．

15 在本模块中，考虑的命题是指明确地给出条件和结论的命题，对“命题的逆命题、否命题与逆否命题”只要求做一般性的了解，这些内容对高中学生来说，尤其是刚刚学习时，是非常困难和难以理解的，但是所有这些内容当在学生经历了一段时间的学习，有了数学上具体命题的积累后，对这些问题的理解就不成为问题了。因此，本模块中重点是要求学生关注四种命题的相互关系和命题的必要条件、充分条件、充要条件，并在今后的使用过程中加深理解。

16 对逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，主要的功能是让学生学会用这些逻辑联结词有效地表达相关的数学内容．因此，内容的设计上要求通过具体的数学实例来进行展开，避免抽象地讨论。对于量词，有全称量词与存在量词两类，内容设计上要求通过具体的案例来进行展开，不要追求形式化的定义．形式化的定义，对于学生来说，很难理解，并且很难找到具体应用的背景．

17 本章结构 背景 命题 四种命题关系 充分必要条件 逻辑联结词 量词 命题的否定 应用

18 充分条件和必要条件 教学目的： (1)理解必要条件、充分条件与充要条件的意义以及充分条件和必要条件之间的区别和联系；
案例 充分条件和必要条件 教学目的： (1)理解必要条件、充分条件与充要条件的意义以及充分条件和必要条件之间的区别和联系； (2)结合四种命题形式，理解并掌握充分条件、必要条件的判定方法，并进行一些简单的应用； (3)培养学生的辩证思维能力． 教学重点： 充分条件、必要条件的含义及判定方法．

19 教学过程： 一、问题情境 1．情境：命题的四种形式以及相互之间的关系，第1．1．1中的图1－1． 2．问题：如果命题“若p则q”是真命题，那么p与q之间是什么关系？

20 二、学生活动 1．分别判断下列命题的真假： (1)“若x＝y，则x2＝y2”； (2)“若x2＝y2，则x＝y”． 2．上述命题中，条件和结论之间有什么关系？ 三、建构数学 1．结合问题，引入符号“pq”和“p  q”． 2．引入充分、必要条件的有关概念． 3．解释“充分”、“必要”的含义，并举例说明． 4．用符号表示充分条件、必要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件．

21 四、数学运用 1．例题 例1：指出下列命题中，p是q的充分条件还是必要条件． (1)p：x＞1；q：x2＞1； (2)p：四边形的对边相等；q：四边形是矩形； (3)p：两个三角形相似；q：两个三角形对应角相等； (4)p：两条直线垂直；q：两条直线斜率的乘积是－1． 例2：指出下列命题中，p是q的什么条件(回答“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”)． (1)p：x－1＝0；q：(x－1)(x＋2)＝0． (2)p：两直线平行；q：内错角相等． (3)p：a＞b；q：a2＞b2． (4)p：四边形的四边相等；q：四边形是正方形．

22 四、数学运用 2．练习 (1)课本第8页练习：1，2，3． (2)请学生举几个充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件的例子． (3)判断下列命题的真假： ①“a＋c＝b＋c”是“a＝b”的充分条件； ②“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件； ③“a＝b，c＝d”是“a＋c＝b＋d”的既不充分也不必要条件； ④“a＋c≠b＋c”是“a≠b”的必要条件； ⑤“ac2＞bc2”是“a＞b”的必要条件； ⑥“ ”是“a＝b”的必要条件．

23 五、回顾与小结 本节课学习了如下内容： 1．充分条件、必要条件的有关概念． 2．充分条件、必要条件的判断方法．
3．充分条件、必要条件的符号表示 六、课外作业:课本第8页习题1．1：3，4． 补充：判定下列各题中，p是q的什么条件：(1)充分而不必要(A)；(2)必要而不充分(B)；(3)充分必要(C)． (1) p：x2＝3x＋4，q：x＝ ； ( ) (2) p：x－2＝0，q：(x－2)(x－3)＝0； ( ) (3) p：b2－4ac≥0，q：ax2＋bx＋c＝0有实数根(a≠0) ； ( ) (4) p：x＝1是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，q：a＋b＋c＝0． ( ) 思考题 1．对于命题“p是q成立的充要条件”和命题“p成立的充要条件是q”，充分性、必要性分别指的是什么？(用符号表示) 2．课本第8页习题1．1：5．

24 《圆锥曲线与方程》 选修2对圆锥曲线的学习，主要是结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步体会数形结合的思想。同时，在学习平面解析几何初步的基础上，学习圆锥曲线与方程，了解圆锥曲线与二次方程的关系，掌握圆锥曲线的基本几何性质，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 与以往教材中先讲曲线方程的概念，再用方程研究曲线性质的“演绎”式的处理不同，本教材从必修部分开始，先直接给出直线、圆等特殊曲线的方程，并用其研究曲线性质，这是符合学生的认知规律，使得“形式化”有了感性的基础，深化了对数学本质的理解．

25 圆锥曲线这一章的内容可以采用不同的组织方法，例如：可以把椭圆、双曲线、抛物线合起来作为一个整体，先讨论它们的定义，再求它们的方程，最后研究它们的几何性质及应用；也可以分别研究椭圆、双曲线、抛物线，对每一种曲线按定义、方程、几何性质分别讨论．这些方法各有利弊．前一种方法可以使学生对圆锥曲线有一个统一的认识，也可以节省教学时间，但这样做教学难度较大；后一种方法学生接受较容易，但削弱了几种圆锥曲线之间的联系，使知识凌乱，重复过多．

26 本章总体设计思路是“总－分－总”，即先从整体上认识圆锥曲线的概念，了解椭圆、双曲线和抛物线的内在关系，再运用方程思想分别研究椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，进而通过统一定义从总体上进一步认识三种圆锥曲线的关系．最后在学生对直线、圆及圆锥曲线的感性认识的基础上建立曲线方程的概念，并用方程观点认识和研究曲线交点等问题．这样在汲取上述两种方案的优点的同时，也克服了它们的弊端．同时，这一设计体现了数学的文化价值、科学价值及应用价值，反映了数学的美学意义，遵循了“适度形式化”的课程理念．

27 一、本章结构 圆锥曲线概念 圆锥曲线方程 圆锥曲线性质 几何背景 曲线与方程

28 总 分 从圆锥截线的角度认识圆锥曲线 分别对椭圆、双曲线、抛物线进行研究 圆锥曲线的统一定义 对圆锥曲线而言 对解析几何总体来说 曲线 直线 圆 圆锥曲线 曲线与方程

29 从统一的结构体现解析几何的基本思想 几何特征 建立方程 研究性质

30 二、内容解析与教学建议 1、圆锥曲线的概念 建议： “适度引导” 重点在椭圆，另两个可直接给出 要求恰当，不要过分 观察 形成过程 探索
发现 建议： “适度引导” 重点在椭圆，另两个可直接给出 要求恰当，不要过分

31 2．椭圆的标准方程 (1) 节首语： 提出本节课题； 本节课即解决其中的第一个问题； 有些问题的解决贯穿全书，如光学性质。
(2)给出了确定曲线类型的新方法(原方法：概念)：曲线方程，这一点在必修部分已有体现，但未充分说明

32 (3)突出建立椭圆方程的全过程： 建系----立式----建立方程----简化方程 P27第3、4行的一段话的说明 (4)参数b的引入 这里只需说明：简化方程形式，在后面应说明其几何意义 (5)对焦点在y轴上的情形，可由学生独立研究 不妨先作猜想

33 3、椭圆的几何性质 (1)要突出“用代数方法(方程)研究几何问题”的解析几何的基本思想 如：范围、对称性等
(2)对“顶点”，要说明“椭圆与对称轴的焦点”，不能认为最高(低)点、最左(右)点就是顶点 (3)对离心率要突出其几何意义，并在实验的过程中感受和理解其意义。直观上椭圆的扁圆程度可用b/a来刻画，为什么用c/a呢？

34 (4)用解析法研究曲线的几何性质是通过方程进行讨论的，而曲线方程又与所选择的坐标系有关，但不管选择怎样的坐标系，曲线的几何性质是不变的。教学时应向学生讲清图形本身的性质与坐标系的选择无关，把曲线不同位置的性质与曲线本身的性质区别开来。

35 4、双曲线 (1)要求恰当：重点是椭圆，双曲线的要求层次：了解
(2)突出类比，如导言中的类比提出问题、研究过程中从结论、过程、方法各个层面与椭圆类比 (3)注意性质部分的“范围“与原教材的区别：更为精确的限制，为渐近线的引入作铺垫 (4)双曲线离心率几何意义的认识：与椭圆类比提出问题，通过数形结合的分析发现结论

36 5、抛物线 (1)注意与椭圆、双曲线的联系与区别 (2)建立抛物线标准方程时坐标系的理性选择

37 6、圆锥曲线的统一定义 生长点：抛物线 过程： 特殊-------------------一般 设置意图： 整体意识、数学内在的和谐、统一美
第2。5节的思考的功能 (1)代数形式表达的几何意义的价值； (2)多角度认识同一数学对象

38 案例 椭圆的定义及焦半径公式

39 课本 P93 （到右焦点距离） 椭圆的焦半径公式 （到左焦点距离）

40 椭圆的第二定义： 到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为常数e (0<e<1) 的点轨迹．
课本 P100 准线 焦点 椭圆的第二定义： 到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为常数e (0<e<1) 的点轨迹． 比

41 沟通椭圆两种定义之间的联系 沟通形与数之间的联系 会用方程表示几何图形的性质，能用等式刻画曲线上点的特征．
会说出方程表示的曲线的几何特征，能对数量关系做出几何解释．

42 7、曲线与方程 (1)专列一节:突出解析几何的基本思想 概念 建立方程 探求性质
(2)概念：从特殊曲线的方程(如圆、直线、圆锥曲线等)概念中抽象出  注意：原教材先曲线方程的概念再研究特殊曲线的方程： 逻辑结构与认知结构的区别

43 (3)两曲线相交的问题的说明 特殊、简单的，不涉及一般情形

44 8．文理科的区别 (1)圆锥曲线的概念部分：文科直接说明 (2)文科对抛物线只作“了解”
(3)对“统一定义”，文科作为性质了解，而理科作为定义研究 (4)文科对“曲线与方程”不作要求 (5)文科在例、习题上要求降低

45 9、特别说明： 与原教材比较的几个变化： (1)结构体系变化了 总体编排结构 (2)处理方法变化了 符合认知规律，暴露思维过程

46 (3)文理分科要求 (4)增加了丰富的“思考”、“探究”和开放性的问题，为学生个性发展提供了空间

47 　 在第一节“圆锥曲线”中，教材借助圆锥面这一模型，通过不同的截法得到三种不同的圆锥曲线，引导学生形成椭圆、双曲线和抛物线的概念。这样做，既能使学生经历概念的形成过程，更能使其从整体上认识三种圆锥曲线的内在关系。根据问题的难易度及学生的认知水平，只要求学生掌握椭圆、抛物线的定义，对双曲线只要求“了解双曲线的定义”。这一过程是建立在学生的最近发展区上的形式化的过程，有利于培养学生的数学化能力，强化数学素养。

48 ● 用平面截圆锥面还能得到哪些曲线？这些曲线具有哪些几何特征？
图2-1-1用一个平面去截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶点时，可得到两条相交直线；当平面与圆锥面的轴垂直时，截线（平面与圆锥面的交线）是一个圆（图2-1-1）．当改变截面与圆锥面的轴的相对位置时，观察截线的变化情况，并思考： ● 用平面截圆锥面还能得到哪些曲线？这些曲线具有哪些几何特征？ 图2-1-1

49 设圆锥面的母线与轴所成的角为，截面与轴所成的角为．通过观察可以发现，当 <  < ，0≤ < ， =  时，我们可以得到三种不同形状的曲线：
图2-1-2    <  <  =  0≤ < 

50 M Q F2 F1 P O1 O2 图2-1-3 V

51 《空间向量与立体几何》 空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角。空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具． 向量是一个重要的代数研究对象。向量的引入使运算对象发生了一个重大跳跃：从数、字母与代数式、到向量，运算也是从一元到多元。向量又是一个几何的对象，向量本身有方向，有方向就有角度与长度，能刻画直线、平面、切线。点乘、叉乘与图形的面积、体积有着直接的关系。向量是建立代数与几何的一个桥梁——坐标法与向量法，用向量来解决问题可以看到代数问题的几何背景．

52 向量是一个重要的数学与物理模型。几何量和物理量用向量表达比较简洁，处理起来也比较方便，比如：方向、夹角、功、力的运算等。在数学上，它本身也是一个重要的研究对象，比如：向量与向量的加法构成了一个群（V，＋），向量、实数与向量的加法构成一个线性空间（V，R，＋），向量、范数、实数与向量的加法、数乘构成线性赋范空间（V，R，＋，• ）；在分析数学方面，还有场论的研究等。这些在数学及物理中都有广泛的应用。 在本模块中，学生将在学习平面向量的基础上，把平面向量及其运算推广到空间，运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题，体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想象能力和几何直观能力。这些也为进一步学习向量和研究向量奠定一定的基础，因此，在选修2中设置了这部分内容。

53 一、本章主要内容和结构 内容 (1) 空间向量及其运算；(2) 空间向量的应用． 结构 向量的线性运算 向量的数量积 空间向量的应用
内容 (1) 空间向量及其运算；(2) 空间向量的应用． 向量的线性运算 向量的数量积 空间向量的应用 平面向量及其运算 空间线、面的位置关系 空间角和距离的度量 空间向量及其运算 结构

54 新教材几何内容知识链 二、本章的展开方式与特点 必修2：立体几何初步、解析几何初步 必修4：平面向量 选修1：圆锥曲线与方程
选修2：圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何 选修3：球面上的几何、对称与群、欧拉公式与 闭曲面分类、三等分角与数域扩充 选修4：几何证明选讲、矩阵与变换、极坐标与 参数方程

55 几何课程的定位 培养和发展学生 把握图形的能力 空间想象能力 推理能力 几何直觉能力
把握图形的能力 空间想象能力 推理能力 几何直觉能力 提升几何直观的思想方法，突出用代数方法解决几何问题的过程，强调代数关系的几何意义。 遵循整体到局部、具体到抽象的原则，通过直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法，认识和探索空间几何图形及其性质。

56 新课程对立体几何定位的调整 《普通高中数学课程标准》对立体几何的定位主要作了三个方面的调整：强调把握图形能力的培养，强调空间想象与几何直观能力的培养，强调逻辑思维能力的培养．英国著名数学家M.阿蒂亚说过：“几何是数学中这样的一个部分，其中视觉思维占主导地位，而代数则是数学中有序思维占主导地位的部分，这种区分也许用另外一对词更好，即‘洞察’与‘严格’，两者在真正的数学研究中起着本质的作用．”

57 内容展开方式 《立体几何初步》的安排是横向的：空间线线关系，空间线面关系，空间面面关系；
《空间向量与立体几何》的安排是纵向的：直线的方向向量与平面的法向量，线面关系的判定，空间角的计算． 本章先讲清直线的方向向量与平面的法向量两个基本概念，然后从线面关系（包括直线与直线、直线与平面、平面与平面）的判定，空间角（包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角、平面与平面所成的角）的计算两个方面研究空间向量在立体几何中的应用，侧重于应用向量解决立体几何问题的思想方法，而不在于简单地用空间向量把立体几何的有关概念、判定和性质复述一遍．

58 本章的基本思想 本章突出了用空间向量解决立体几何问题的基本思想．根据问题的特点，以适当的方式（例如构建向量、建立空间直角坐标系）用空间向量表示空间图形中的点、线、面等元素，建立起空间图形与空间向量的联系；然后通过空间向量的运算，研究相应元素之间的关系（平行、垂直、角和距离等）；最后对运算结果的几何意义作出解释，从而解决立体几何的问题．教科书还通过例题，引导学生对解决立体几何问题的三种方法（向量方法、坐标法、综合法）进行比较，分析各自的优势，因题而宜作出适当的选择，从而提高综合运用数学知识解决问题的能力． 形 数 ⇒

59 三、内容解析与教学建议 注重向量由平面向空间推广过程的教学
空间向量及其运算，要求让学生经历由平面向空间推广的过程，目的是让学生体会数学的思想方法，体验数学在结构上的和谐性与在推广过程中的问题，并尝试如何解决这些问题．同时，在这个过程中，也让学生享受一个数学概念的推广可能带来很多更好的性质，同时注意空间向量与平面向量的区别和联系．教学中，要引导学生主动学习类比、归纳、推广、化归等思想方法，提高数学素养．

60 体会数学运算的意义 向量运算的引入，使数学运算对象发生了重大变化：从数、字母与代数式到向量，这为进一步理解其它的数学运算（如函数的运算、映射、变换、矩阵的运算等等）创造了条件．特别是当学生利用向量运算解决了数学中的问题时（如证明直线与平面垂直的判定定理），就更有助于学生体会数学运算的意义，感悟运算、推理在探索和发现中的作用．体会数学研究方法的模式化特点，感受理性思维的力量．

61 鼓励类比猜想、自主探索 任意两个空间向量都可以“平移”到同一平面内，也就是说，它们可以用同一平面内的两条有向线段来表示．这样，凡涉及两个空间向量的运算和位置关系问题，就可以转化为平面向量来解决．因此，空间向量的线性运算及其性质、空间向量的数量积、空间向量的共线和垂直的条件等，与平面向量是完全一样的．在上述相关内容的教学时，应充分让学生类比猜想、自主探索，得出相应的法则和性质．

62 学之道在于“悟” 教之道在于“度” 谢谢!