第十一章 在险价值 在险价值的定义 单一资产的在险价值计算 投资组合的在险价值计算 衍生工具的在险价值 蒙特卡罗模拟 历史模拟

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1 第十一章 在险价值 在险价值的定义 单一资产的在险价值计算 投资组合的在险价值计算 衍生工具的在险价值 蒙特卡罗模拟 历史模拟
第十一章 在险价值 在险价值的定义 单一资产的在险价值计算 投资组合的在险价值计算 衍生工具的在险价值 蒙特卡罗模拟 历史模拟 压力测试和回溯测试 Copyright©Zhenlong Zheng 2003 Department of Finance, Xiamen University,

2 第一节 在险价值的定义 一、在险价值的定义 目前通常采用的定义为：在险价值是按某一确定的置信度，对某一给定的时间期限内不利的市场变动可能造成投资组合的最大损失的一种估计。 更通俗地说VaR是要在给定的置信度（典型的置信度为95％、97.5％、99％等等）下衡量给定的资产或负债（即投资组合）在一段给定的时间内（针对交易活动的时间可能选取为一天，而针对投资组合管理的时间则可能选取为一个月）可能发生的最大（价值）损失。VaR 是一种对可能实现的价值损失的估计, 而不只是一种“账面”损失估计。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003 Department of Finance, Xiamen University,

3 假设一个基金经理希望在接下来的10天时间内存在 95% 概率其所管理的基金价值损失不超过$1,000,000。则我们可以将其写作：
其中为投资组合价值的变动。用符合表示, （11.1） 其中为置信度,在上述的例子中是95% 。实际上，在VaR中询问的问题是“我们有 X%的信心在接下来的 T 个交易日中损失程度将不会超过多大的”? Copyright©Zhenlong Zheng 2003 Department of Finance, Xiamen University,

4 二、选择合适的VaR参数 要使用VaR就必须选择定义中的两个参数——时间长度T和置信度X%。 （一）时间长度
在选择合适的时间长度参数时必须考虑下列三个主要因素： 1、新交易发生的频率。如果新交易对投资组合的市场风险有很大的影响，选择太长的时间长度就没有太大的意义，因为投资组合的市场风险在达到我们所设定的风险水平之前已可能发生显著的变化。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003 Department of Finance, Xiamen University,

5 在金融机构中，内部VaR的计算最常选用1天的时间期限。国际清算银行规定的作为计算银行监管资本的VaR的时间期限为10天。
3、对风险头寸套期保值（对冲）的频率。另外一个需考虑的因素就是可以接受的费用水平。因为在快速对风险进行套期保值以避免更大损失和保值成本之间必须加以权衡。否则，保值的频率越快反而可能造成损失越大。如果套期保值的费用成本超过保值要避免的风险损失，这样的保值就毫无意义。 在金融机构中，内部VaR的计算最常选用1天的时间期限。国际清算银行规定的作为计算银行监管资本的VaR的时间期限为10天。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003 Department of Finance, Xiamen University,

6 （二）置信度X% 如图11.1所示（横轴表示投资组合价值变化范围，而纵轴表示变化发生的概率），就是要在图中找到如向下箭头表示的位置，该位置使得价值变化的95％落在右边而5％落在左边，这个位置上的横轴数值就是VaR的值。 95％置信度的含意是我们预期100天中只有5天的损失会超过对应的VaR值。但必须知道的是VaR并没有告诉我们在可能超过VaR损失的时间内（如95％置信度的5/100天中；或99％的1/100天中）的实际损失会是多少。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003 Department of Finance, Xiamen University,

7 它用一个单一的数字捕捉住了风险的一个重要方面； 它容易理解； 它询问简单的问题: “情况究竟有多糟糕”?
三、VaR的使用 VaR的最大特点是： 它用一个单一的数字捕捉住了风险的一个重要方面； 它容易理解； 它询问简单的问题: “情况究竟有多糟糕”? Copyright©Zhenlong Zheng 2003 Department of Finance, Xiamen University,

8 要求金融机构为防范金融风险保证达到最低资本金要求。 3、非金融机构
应用 1、金融机构 2、监管机构 要求金融机构为防范金融风险保证达到最低资本金要求。 3、非金融机构 集中式风险管理对于任何具有金融风险暴露的公司都是非常有用的。在险现金流分析（cash flow at risk analysis）能为企业提供可能面临资金短缺的临界值。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003 Department of Finance, Xiamen University,

9 机构投资者现在也开始采用VaR来管理他们的金融风险。尤其是在险资本（capital at risk）的概念已被机构投资者广泛接受。
4、机构投资者 机构投资者现在也开始采用VaR来管理他们的金融风险。尤其是在险资本（capital at risk）的概念已被机构投资者广泛接受。 VaR不是万能的，它主要针对的是金融市场风险。 VaR是在假定正态分布的市场环境中计算出来的, 这意味着不考虑像市场崩盘这类极端的市场条件。因此, VaR度量的是机构日常经营期间预期能够发生的情况。 VaR的计算至少需要下列数据:投资组合中所有资产的现价和波动率以及它们相互之间的相关关系。通常，假定投资组合构成的变动是随机的并服从正态分布。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003 Department of Finance, Xiamen University,

10 第二节 单一资产的在险价值计算 假设我们持有某一股票，其价值为 S ，年波动率为σ。我们想要知道在接下来一个星期内具有99% 确定性的最大可能损失是多少。 一、波动率换算 在期权定价中我们将波动率表示成年波动率，在计算VaR中，我们将波动率表达成日波动率或周波动率。则有： Copyright©Zhenlong Zheng 2003 Department of Finance, Xiamen University,

11 二、单个资产在险价值（VaR）的计算 我们必须计算出对应1%=(100-99)% 分布最左边的尾部位置。我们只需计算标准正态分布中的对应位置, 由于任何一个正态分布我们都可以通过因子换算来得到。即N(x)=0.01，其中为标准正态分布的累计函数。设 的逆函数（如图11.4所示），则 。参阅表11.1,我们得到99% 置信度对应于均值的 2.33个标准差（实际上，我们可以通过查标准正态分布的累计函数N表来获得）。既然我们持有价值为S的股票，VaR被确定为： Copyright©Zhenlong Zheng 2003 Department of Finance, Xiamen University,

12 一般地，如果时间期限是T（以天为单位），而要求的置信度是X％ ,我们有： （11.2）
其中 为单位股票日收益率在险价值(DEaR）； 为股票收益率的日波动率（标准差）。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003 Department of Finance, Xiamen University,

13 注意我们采用的是实际漂移率，而不是风险中性下的漂移率。在本章的其余部分中我们不必为这样的调整而感到忧虑。
在(11.2)中我们假定股票的收益率具有均值为零的正态分布。零均值的假定对很短时间期限是有效的: 收益率的标准差按时间的平方根比例变化，但均值按时间本身的比例变化。对于较长的时间期限，收益率（如同人们所希望的）以时间的比例量向右移。 因此，对于较长的时间度量，表达式 (11.2) 应该考虑对资产价值的漂移加以修正。如果这个漂移率为μ，那么(11.2)式变成 (11.3) 注意我们采用的是实际漂移率，而不是风险中性下的漂移率。在本章的其余部分中我们不必为这样的调整而感到忧虑。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003 Department of Finance, Xiamen University,

14 例11.1 我们持有一个价值为 $100万的X公司的股票头寸，X公司股票的日波动率为 3% ( 约为年48% )，假定该投资组合的价值变动是正态分布的并且投资组合价值的预期变动为零 (这对很短的时间期限是正确的)，计算10 天时间置信度为99％的在险价值。 在这个例子中我们使用 T =10 和 X = 99，，S = $1,000,000。也就是说我们关心的是10天内置信度为99%的可能最大损失。根据公式（11.2），我们有VaR为： Copyright©Zhenlong Zheng 2003 Department of Finance, Xiamen University,

15 第三节 投资组合的在险价值计算 假定：投资组合的价值变化与市场标的变量的价值变化是线性相关的；并且市场标的变量的价值变化是正态分布的。则我们只要知道投资组合中所有资产的波动率及它们之间的相关系数，那么我们能为整个的投资组合计算VaR。 一、线性模型 设投资组合由M个资产所组成。第i 个资产的价值为 ，波动率是 ，而第i 个资产和第 j 个资产之间的相关系数是 (其中 =1)。因此，该投资组合价值一天的变动为： Copyright©Zhenlong Zheng 2003 Department of Finance, Xiamen University,

16 根据统计学的标准结论，投资组合的方差为：
其中 为第i个资产一天的价值变动率 ，而 为常数。 根据统计学的标准结论，投资组合的方差为： 投资组合的VaR是： Copyright©Zhenlong Zheng 2003 Department of Finance, Xiamen University,

17 二、线性模型的适用范围 股票的投资组合； 债券的投资组合； 外汇的投资组合； 商品实物的投资组合； 外汇远期合约的投资组合；
利率互换和货币互换的投资组合； 由上述工具共同构成的投资组合。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003 Department of Finance, Xiamen University,

18 考虑一个由单一的标的证券S的衍生证券组成的投资组合 其中f是期权的价值，S是基本标的证券的价值。 对于存在着多个基本标的市场变量时，类似地有
第四节 衍生工具的在险价值 一、Delta近似 考虑一个由单一的标的证券S的衍生证券组成的投资组合 其中f是期权的价值，S是基本标的证券的价值。 对于存在着多个基本标的市场变量时，类似地有 Copyright©Zhenlong Zheng 2003 Department of Finance, Xiamen University,

19 二、Delta-Gamma近似 对于基本标的证券价格的微小移动delta近似值是令人满意的。而对于较大的变动，更高阶的近似可以达到更好的效果，这就要将Gamma效应或凸性效应结合进去。 假如我们的投资组合由一个股票的期权组成。 由于我们假定 取自一个标准正态分布 ，则 Copyright©Zhenlong Zheng 2003 Department of Finance, Xiamen University,

20 从这个图中我们可以看到用 Delta/Gamma 近似得到的分布远非是一个正态分布。
还可重写作 对于一阶项，期权的随机价值只是基本标的证券价值的一种简单比例关系。对于二阶项，由于S的确定性漂移率和期权的Theta， 存在一个确定性的漂移率。然而，更重要的是 Gamma 效应引入了一项使 的随机成分是非线性的。 从这个图中我们可以看到用 Delta/Gamma 近似得到的分布远非是一个正态分布。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003 Department of Finance, Xiamen University,

21 由于表达式 (11.7) 是的一个二次方程，必须满足下列约束条件 或 在下面的情况下达到极端值：
一个明显的结论是正的 Gamma 对一个投资组合是好的，而负的 Gamma 是不好的。具有一个正的 Gamma 下侧是有限的，但是具有一个负的 Gamma 则是上侧是有限的。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003 Department of Finance, Xiamen University,

22 三、二次方程模型 先考虑一个基于单个资产的期权组合，设该资产价格为S，投资组合的Delta为，Gamma为。对投资组合价值变化运用Taylor展开式 记 则 Copyright©Zhenlong Zheng 2003 Department of Finance, Xiamen University,

23 将上式扩展到包括M个市场变量的投资组合的情况，则公式变成：
是第i种市场变量的价值， 和 是第i种市场变量的Delta和Gamma值。 设 则 Copyright©Zhenlong Zheng 2003 Department of Finance, Xiamen University,

24 四、估计模型的运用 对待有关非线性证券问题的有效办法是对基本标的证券价格的随机行为采用模拟方法，然后运用估价公式或算法来推导整个投资组合变动的分布。 缺点：运算非常慢。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003 Department of Finance, Xiamen University,

25 五、固定收益投资组合 当资产或投资组合依赖于利率时，则通常将每个工具的到期收益率视为是正态分布的变量。
价格与到期收益率变动之间的关系通过久期（和高阶凸性）联系在一起的。固定收益资产可以视为到期收益率的一种衍生证券。 因此，VaR 的估计显然将采用久期代替Delta（和凸性代替Gamma）的做法。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003 Department of Finance, Xiamen University,

26 第五节 蒙特卡罗模拟 蒙特卡罗模拟是使用随机数产生收益率及/或资产价格的一个分布。
第五节 蒙特卡罗模拟 蒙特卡罗模拟是使用随机数产生收益率及/或资产价格的一个分布。 该技术也可应用在VaR中: 使用取自正态分布的随机数来建立将来情景的一个分布。 对于这些情景中的每一分布运用某种定价方法计算投资组合的价值（基本标的资产和其期权的价值），然后直接估计它的VaR。 以前面的公式（11.10）为例，我们假定投资组合价值变化与基本标的价格变化率之间存在 Copyright©Zhenlong Zheng 2003 Department of Finance, Xiamen University,

27 （11.10）的关系。如果我们希望计算一天的VaR值，蒙特卡罗模拟的步骤为： 1、利用当天市场各变量现值计算投资组合的价值。
2、从的多变量正态概率分布中进行抽样。 3、用抽样得到的值模拟计算下一日各市场变量的价值。 4、利用这些模拟的市场变量价值，根据公式（11.10）就可计算得到的一个样本值。 5、不断重复第二步到第四步，就能得到的模拟概率分布。 VaR值就是这个概率分布的一个合适的分位数。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003 Department of Finance, Xiamen University,

28 第六节 历史模拟 1、建立一个数年所有市场变量的日变动数据库。
第六节 历史模拟 1、建立一个数年所有市场变量的日变动数据库。 2、第一次模拟是假设每个市场变量的波动率与数据库覆盖时段的第一天的相应变量的波动率相同。 3、第二次模拟则假设各市场变量的波动率与数据库覆盖时段的第二天相应变量的波动率相同， 4、依此类推。每次模拟就可以计算出一个投资组合的样本值。 通过这种方式，我们创造了一个基于历史数据的将来可能情景的一个分布。通过这种做法我们确保能够抓住任何资产之间可能有的相关关系。VaR值可以通过找到合适的的概率分布中的分位数来得到。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003 Department of Finance, Xiamen University,

29 优点：自然地将资产相互之间的任何相关关系以及资产价格变动的任何非正态性结合在其中，并精确地反映了市场的历史概率分布。
缺点：1.无法抓住数据中的任何自相关性，然而，基本形式的蒙特卡罗模拟也同样无法做到这点。 2.需要大量的历史数据，而这些数据对应的经济环境可能与目前的环境完全不同。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003 Department of Finance, Xiamen University,

30 第七节 压力测试和回溯测试 一、压力测试 (一)极端值理论 ：极端值理论在风险度量方面帮助量化了两个关键的度量： 1、“X”年收益率大小。
第七节 压力测试和回溯测试 一、压力测试 (一)极端值理论 ：极端值理论在风险度量方面帮助量化了两个关键的度量： 1、“X”年收益率大小。 2、给定VaR的超额损失。 (二)情景分析 ：依靠主观判断，公司主要关心和忧虑的事件，以及建立在简单的对历史收益系列及事件的观察基础上。设定和使用可能的将来经济情景来测试它们对资产投资组合损益的影响。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003 Department of Finance, Xiamen University,

31 (三)历史模拟 历史模拟是把真实的历史事件运用到现在的资产投资组合上。
容易找到最严重损失发生在什么情况下，并识别是什么样的价格变动导致了这个极端损失变得更容易。 告诉我们哪些资产在不利的市场情况下通常是一起波动的，及在这种市场条件下不同资产价格之间的相关关系。 能够检验市场价格波动的不利趋势对资产投资组合的影响。 帮助机构确定和控制适当的持仓头寸和清算头寸。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003 Department of Finance, Xiamen University,

32 （四）VaR压力测试 （五）系统压力测试 对市场风险的系统压力测试应该包括的因素有 1、非线性价格函数； 2、不对称性； 3、相关性分析；
4、不同类型资产组合的共同及单独压力测试 5、适当幅度的波动压力测试。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003 Department of Finance, Xiamen University,

33 二、回溯测试 目的是通过对比市场数据和实际交易结果来检验市场风险度量的有效性，确认模型预测的准确性。
回溯测试是一个有用的评估市场风险测量和方法集合的有效工具。回溯测试包括对投资组合的事后检验、对单个市场模型的检验、对风险度量系统的检验以及测试风险和损益数据。其中最主要的是对风险度量和损益的对比分析，从而达到修正模型、改进方法、发现问题的目的。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003 Department of Finance, Xiamen University,

34 第八节 风险度量术(RiskMetrics)
一、风险度量术对参数的计算 （一）估计波动率 在RiskMetrics中波动率是用方差的平方根来度量的，而方差是采用价格收益率平方的一种指数移动平均值。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003 Department of Finance, Xiamen University,

35 二、资产流映射 一、映射（mapping） 的定义 二、映射过程可概括为： 第一步计算需映射资产的现值；
第二步将计算出现值的风险敞口映射分配到基础资产上，映射时要确保资产的现值和波动率保持不变。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003 Department of Finance, Xiamen University,