第二章 多项式 2.1 一元多项式的定义和运算 2.2 多项式的整除性 2.3 多项式的最大公因式 2.4 多项式的分解 2.5 重因式

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1 第二章 多项式 2.1 一元多项式的定义和运算 2.2 多项式的整除性 2.3 多项式的最大公因式 2.4 多项式的分解 2.5 重因式
第二章 多项式 2.1 一元多项式的定义和运算 2.2 多项式的整除性 2.3 多项式的最大公因式 2.4 多项式的分解 2.5 重因式 2.6 多项式函数 多项式的根 2.7 复数和实数域上多项式 2.8 有理数域上多项式 2.9 多元多项式 2.10 对称多项式

2 2.1 一元多项式的定义和运算 一、内容分布 二、教学目的 三、重点、难点 2.1.1 认识多项式 2.1.4 多项式的运算
2.1.2 相等多项式 2.1.5 多项式加法和乘法的运算规则 2.1.3 多项式的次数 2.1.6 多项式的运算性质 二、教学目的 掌握一元多项式的定义,有关概念和基本运算性质. 三、重点、难点 一元多项式的定义，多项式的乘法，多项式的运算性质。

3 2.1.1 认识多项式 多项式 令R是一个含有数1的数环.R上一个文字x的多项式或一元多项式指的是形式表达式 这里n是非负整数而
一元多项式常用符号 来表示. 1：在多项式(1)中, 叫做零次项或常数项, 叫做 i 次项, 叫做 i 次项的系数. 注 2：在一个多项式中，可以任意添上或去掉一些系 数为零的项；若是某一个i次项的系数是1 ，那 么这个系数可以省略不写。

4 2.1.2 相等多项式 定义 若是数环R上两个一元多项式 , f (x) 和g (x)有完全相同的项,或者只差一些系数为零的项, 那么 f (x) 和g (x)就说是相等 . f (x) = g (x)

5 2.1.3 多项式的次数 注： 叫做多项式 的最高次项,非负整数n叫做多项式 的次数. 记作 系数全为零的多项式没有次数,这个多项式叫做
零多项式，记为 0 .

6 2.1.4 多项式的运算 多项式的加法 给定数环R上两个多项式 且m ≤ n, f (x) 和g (x) 的加法定义为
多项式的运算 多项式的加法 给定数环R上两个多项式 且m ≤ n, f (x) 和g (x) 的加法定义为 这里当m < n 时，

7 多项式的乘法 给定数环R上两个多项式 f (x) 和g (x) 的乘法定义为 这里

8 多项式的减法

9 2.1.5 多项式加法和乘法的运算规则 注意： （1）加法交换律: （2）加法结合律: （3）乘法交换律: （4）乘法结合律:
（5）乘法对加法的分配律: 注意： 要把一个多项式按“降幂”书写 当 时， 叫做多项式的首项.

10 多项式的运算性质 定理 是数环R上两个多项式,并且 .那么 （i）当 时, （ii）

11 证: 且 那么 （1） （2） 由（1）， 的次数显然不超过n，另一方面， ，所以由(2)得 的次数是n + m .

12 推论1 证 若是 推论2 证 由 或 中有一个是零多项式，那么由多项 . 若是 那么由上面定理的证明得 式乘法定义得 得 。但
证 若是 中有一个是零多项式，那么由多项 . 若是 那么由上面定理的证明得 式乘法定义得 推论2 证 由 得 。但 所以由推论1必有 ,即

13 当 是什么数时，多项式 （1）是零多项式？ （2）是零次多项式？ 例

14 2.2 多项式的整除性 一、内容分布 二、教学目的 三、重点、难点 2.2.1 多项式的整除概念 2.2.2 多项式整除性的一些基本性质
2.2.3 多项式的带余除法定理 2.2.4 系数所在范围对整除性的影响 二、教学目的 1．掌握一元多项式整除的概念及其性质。 2．熟练运用带余除法。 三、重点、难点 多项式的整除概念，带余除法定理

15 2.2.1 多项式的整除概念 定义1 设F是一个数域. F [x]是F上一元多项式环. ，如果存在 ，使得 ，则称 整除 ，记为 ，此时称
的因式，否则称 不能整除

16 2.2.2 多项式整除性的一些基本性质 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7）

17 2.2.3 多项式的带余除法定理 定理 注1： 注2： ，且 ，则存在 使得 这里 ，或者 并且满足上述条件的 只有一对。 分别称为
所得的商式和 余式 注2：

18 证： 先证定理的前一部分. （i）若 , 或 . 则可以取 （ii）若 ,且 按降幂书写: 这里 ,并且 ，并记 有以下性质：

19 重复上面的过程。如此进行，我们得出一列多项式：
或者 若是 . 则对 重复上面的过程。如此进行，我们得出一列多项式： 使得 而 由于多项式 的次数是递降的, 故存在k使 ，于是 便给出了所说的表示。

20 现在证明定理的后一部分．假设f (x)有两种符合定理中要求的表示法：
那么 上式右边或者为零，或者次数小于 而左边或者是零，或者次数不小于 因此必须两边均为零，从而

21 2.2.4 系数所在范围对整除性的影响 是两个数域，并且 ，那么多项式环 含有多项式环F [x]．因此Ｆ上的一个多项式 也是
上的一个多项式． ，则如果在F [x]里 不能整除 ，那么在 里 也不能整除 事实上，若 ，那么由于在F [x]里 不能整除 不能等于0．因此在 里 显然仍不能整除

22 假定 ，那么在Ｆ[x]里，以下等式成立： 并且 ．但是F [x]的多项式 都是 的多项式，因而在 里，这一等式仍然成立． 于是由 的唯一性得出，在 里 也不能整除

23 例1 确定m ，使 例2 设 适合什么条件时， 整除 。问

24 2.3 多项式的最大公因式 一. 内容分布 2.3.1 多项式公因式,最大公因式,互素概念 2.3.2 用辗转相除法求最大公因式.
2.3 多项式的最大公因式 一. 内容分布 2.3.1 多项式公因式,最大公因式,互素概念 用辗转相除法求最大公因式. 二.教学目的 1.掌握最大公因式,互素概念. 2.熟练掌握辗转相除法 3.会应用互素的性质证明整除问题 三.重点,难点 辗转相除法求最大公因式. 证明整除问题

25 定义 1 令 和 是F [x]的两个多项式，若是F [x]的一个多项式 同时整除 和 ，那么 叫做 与 的一个公因式. 定义 2 设 是多项式 与 的一个公因式.若是 能被 与 的每一个公因式整除,那么 叫做 与 的一个最大公因式.

26 定理 2.3.1 的任意两个多项式 与 一定有最大公因式.除一个零次因式外, 与 的最大公因式是唯一确定的,这就是说，若 是 与 的一个最大公因式，那么数域F的任何一个不为零的数 c与 的乘积 ，而且当 与 不全为零多项式时，只有这样的乘积是 与 的最大公因式.

27 令F是有理数域.求F [x] 的多项式 的最大公因式. 例 1 解：对 施行辗转相除法.为了避免分数系数，在做除法时，可以用F的一个不等于零的数乘被除式或除式.而且不仅在每一次除法开始时可以这样做，就是在进行除法的过程中也可以这样做.这样商式自然会受到影响，但每次求得的余式与正确的余式只能差一个零次因式.这对求最大公因式来说是没有什么关系的.

28 把 先乘以2，再用 来除： 乘以2 这样，得到第一余式

29 把g (x)乘以3，再用 来除： 乘以3 约去公因子56后，得出第二余式

30 定理 2.3.2 再以 除 .计算结果 被 整除 所以 就是 与 的最大公因式：
所以 就是 与 的最大公因式： 定理 2.3.2 若 是 的多项式 与 的最大公因式，那么在 里可以求得多项式 与 ，使以下等式成立:

31 例 2 令F是有理数域.求出 的多项式 的最大公因式 以及满足等式 与
对 与 施行辗转相除法.但是现在不允许用一个零次多项式乘被除式或除式.因为在求多项式 与 时，不仅要用到余式，同时也要用到商式.施行除法的结果，我们得到以下一串等式： .

32 由此得出， 是 与 的最大公因式，而

33 如果 的两个多项式除零次多项式外不再有其它的公因式，我们就说，这两个多项式互素.
定义 3 定理 2.3.3 的两个多项式 与 互素的充分且必要条 件是：在 中可以求得多项式 与 ，使

34 从这个定理我们可以推出关于互素多项式的以下
重要事实. 若多项式 和 都与多项式 互素， 也与 互素. 那么乘积 2.若多项式 整除多项式 与 的乘积，而 互素. 那么 一定整除 3.若多项式 与 都整除多项式 ，而 与 互素. 那么乘积 也整除

35 2.4 多项式的分解 一.内容分布 二.教学目的 3.掌握求典型分解式 三.重点.难点 2.4.1 不可约多项式的概念及性质
不可约多项式的概念及性质 唯一因式分解定理 二.教学目的 1.掌握不可约多项式及性质 2.掌握唯一因式分解定理,会用两个多项式的典型分解 求出最大公因式 3.掌握求典型分解式 三.重点.难点 唯一因式分解定理,用典型分解求出最大公因式

36 定义 令 是 的一个次数大于零的多项式.若是 在 中只有平凡因式， 就说是在数域F上（或在 中）不可约.若 除平凡因式外，在 中还有其它因式， 就说是在F上（或在 中）可约. 这个定义的条件也可以用另一种形式来叙述 若多项式 有一个非平凡因式 而 ，那么 与 的次数显然都小于 的次数.反之，若 能写成两个这样的多项式的乘积，那么 有非平凡因式.因此我们可以说：

37 如果 的一个 次多项能够分解成 中两个次数都小于n的多项式 与 的积：
（1） 那么 在F上可约. 若 是在 中的任一个形如（1）的分解式总含有一个零次因式，那么 在F上不可约. 性质（c）很容易推广到任意 s（s≥2)个多项式的乘积的情形.我们有 （ ）如果多项式 的乘积能被不可约多项式p (x) 整除，那么至少有一个因式被p (x)整除. （a）如果多项式 不可约，那么F中任一不为零的元素 c与 的乘积 也不可约. （b）设p (x)是一个不可约多项式而f (x)是一个任意多项 式，那么p (x)或者与f (x)互素，或者p (x)整除f (x) . （c）如果多项式f (x)与g (x)的乘积能被不可约多项式p (x) 整除，那么至少有一个因式被p (x)整除.

38 F [x] 的每一个n (n>0)次多项式f (x)都可以分解成F [x]的不可约多项式的乘积.
定理 2.4.1 令f (x)是F [x]的一个次数大于零的多项式，并且 此处 定理 2.4.2 此处 是F的不为零的元素. 即，如果不计零次因式的差异，多项式f (x)分解成不可约因式乘积的分解式是唯一的.

39 例 在有理数域上分解多项式 为不可约因式的乘积.容易看出
例 在有理数域上分解多项式 为不可约因式的乘积.容易看出 （2） 一次因式x + 1自然在有理数域上不可约.我们证明， 二次因式 也在有理数域上不可约.不然的话, 将能写成有理数域上两个次数小于2的因式 的乘积，因此将能写成 （3） 的形式，这里a和b是有理数.把等式（3）的右端乘开，并且比较两端的系数，将得a + b = 0 , ab = - b，由此将得 这与a是有理数的假定矛盾.这样，（2）给出多项式的一个不可约因式分解.

40 我们还可以如下证明 在有理数域上不可约.如果（3）式成立，那么它也给出 的实数域上的一个不可约因式分解.但在实数域上
因此由唯一分解定理就得出 的矛盾.

41 2.5 重因式 一.内容分布 2.5.1重因式概念 2.5.2 没有重因式的判断 二.教学目的 1.掌握重因式概念,多项式的K阶导数概念.
2.掌握有无重因式判断的充要条件. 三.重点难点 重因式概念及用一阶导数判断多项式有无重因式.

42 F [x]的多项式 的导数或 一阶导数指的是F [x]的多项式 一阶导数 的导数叫做 的二阶导数，记作 ， 的导数叫做 的三阶导数，记作 ，等等 的k阶导数也记作 定义 根据以上定义不难直接验证，关于和与积的导数公 式仍然成立： （1） （2） （3）

43 设 p (x)是多项式 f (x)的一个k (k≥1)重因式. 那么 p (x)是f (x)的导数的一个k - 1重因式.
定理 2.5.1 多项式f (x)没有重因式的充分且必要条件是f (x)与它的导数 互素. 定理 2.5.2

44 2.6 多项式函数 多项式的根 一. 内容分布 2.6.1 多项式的根概念 2.6.2 综合除法 二. 教学目的
2.6 多项式函数 多项式的根 一. 内容分布 2.6.1 多项式的根概念 2.6.2 综合除法 二. 教学目的 1.掌握多项式函数 多项式的根的概念 2.掌握余式定理及运用综合除法 3.熟悉理解拉格朗日插值公式 三. 重点、难点 综合除法，拉格朗日插值公式

45 设给定R [x]的一个多项式 和一个数c ∈R.那么在的表示式里,把 x用c来代替,就得到R的一个数 这个数叫当 x = c 时f (x)的值,并且用f (c)来表示. 这样, 对于R的每一个数c, 就有R中唯一确定的数 f (c)与它对应. 于是就得到R到R的一个映射. 这个映射是由多项式f (x)所确定的,叫做R上一个多项式函数.

46 定理2.6.1 综合除法 设 用x – c 除f (x)所得的余式等于当x = c时f (x)的值 f (c) . , 并且设 (1) 其中
比较等式(1)中两端同次项的系数,我们得到

47 由此得出

48 这样,欲求系数 ,只要把前一系数 乘以c再加上对应系数 ,而余式的 r 也可以按照类似的规律求出
表中的加号通常略去不写.

49 例1 用x + 3除 作综合除法: 所以商式是 而余式是

50 令f (x)是R [x]的一个多项式而c的R的一个数
令f (x)是R [x]的一个多项式而c的R的一个数. 若是当x = c时f (x)的值f (c) = 0 , 那么c 叫做f (x)在数环R中的一个根. 定义 定理2.6.2 数c是多项式f (x)的根的充分且必要条件是f (x)能x – c 能整除. 定理2.6.3 设f (x)是R [x]中一个n≥0次多项式. 那么f (x)在R中至多有n个不同的根.

51 证 如果f (x)是零次多项式,那么f (x)是R中一个不等于零的数, 所以没有根. 因此定理对于n = 0成立.于是我们可以对n作数学归纳法来证明这一定理.设c∈R是f (x)的一个根.那么 f (x) = (x – c) g (x) 这里g (x) ∈R [x]是一个n – 1次多项式.如果d∈R是f (x)另一个根, d≠c那么 0 = f (d) = (d – c) g (d) 因为d – c≠0 , 所以g (d) = 0. 因为g (x)的次数是 n – 1 ,由归纳法假设, g (x)在R内至多有n – 1个不同的根.因此f (x)在R中至多有n个不同的根.

52 设f (x)与g (x)是R [x]的两个多项式,它们的次数都不大于n
设f (x)与g (x)是R [x]的两个多项式,它们的次数都不大于n.若是以R中n + 1个或更多的不同的数来代替x时,每次所得f (x)与g (x)的值都相等,那么 f (x) = g (x) . 定理2.6.4 令 u (x) = f (x) – g (x) 若f (x)≠g (x), 换一句话说, u (x) ≠0 ,那么u (x)是一个次数不超过n的多项式,并且R中有n + 1个或更多的根. 这与定理2.6.3矛盾. 证

53 R [x]的两个多项式f (x)与g (x)相等,当且仅当它们所定义的R上的多项式函数相等.
定理2.6.5 证 设f (x) = g (x) 那么它们有完全相同的项, 因而对R的任何c都有f (c) = g (c)这就是说, f (x) 和g (x)所确定的函数相等. 反过来设f (x) 和g (x)所确定的函数相等.令 u (x) = f (x) – g (x) 那么对R的任何c都有u (c) = f (c) – g (c) = 0这就是说, R中的每一个数都是多项式u (x)的根. 但R有无穷多个数, 因此u (x)有无穷多个根.根据定理2.6.3只有零多项式才有这个性质.因此有 u (x) = f (x) – g (x) = 0 , f (x) = g (x) .

54 拉格朗日(Lagrange)插值公式 给了一个数环R里n + 1个互不相同的数 以及任意n + 1个不全为0的数 后,至多存在R [x]的一个次数不超过n的多项式f (x)能使 如果R还是一个数域, 那么这样一个多项式是存在的, 因为容易看出,由以下公式给出的多项式f (x)就具有上述性质: 这个公式叫做拉格朗日(Lagrange)插值公式.

55 求次数小于3的多项式f (x) 使 例2 由拉格朗日插值公式得

56 2.7 复数和实数域上多项式 一.内容分布 2.7.1 代数基本定理 2.7.2 实系数多项式分解定理 二.教学目的
2.7 复数和实数域上多项式 一.内容分布 2.7.1 代数基本定理 2.7.2 实系数多项式分解定理 二.教学目的 1.理解代数基本定理、重根 2.掌握实系数多项式的性质 三.重点、难点 代数基本定理,根与系数关系.实系数多项式性质.

57 任何n (n > 0)次多项式在复数域中至少有一个根.
定理 (代数基本定理) 任何n (n > 0)次多项式在复数域中有n个根(重根按重数计算) . 定理2.7.2 证 设f (x)是一个次多项式,那么由定理2.7.1,它在复数域C中有一个根 因此在C [x]中 这里 是C上的一个n – 1 次多项式.若n – 1 > 0,那么在C中有一个根 因而在C [x]中

58 这样继续下去,最后f (x)在C [x]中完全分解成n个一次因式的乘积,而在f (x) C中有n个根.
复数域C上任一n (n > 0)次多项式可以在C [x]里分解为一次因式的乘积.复数域上任一次数大于1的多项式都是可约的. 定理2.7.3 若实系数多项式 f (x)有一个非实的复数根 ,那么的共轭数 也是f (x)的根, 并且 与 有同一重数.换句话说,实系数多项式的非实的复数根两两成对.

59 证 由假设 把等式两端都换成它们的共轭数,得 根据共轭数的性质,并且注意到 和0都是实数, 有 即 也是f (x)的一个根. 因此多项式f (x)能被多项式 整除.由共轭复数的性质知道g (x)的系数都是实数.故 此处h (x) 也是一个实系数多项式.

60 若是 是f (x)的重根,那么它一定是h (x)的根,因而根据方才所证明的, 也是h (x)的一个根. 这样也是的重根
定理2.7.4 实数域上不可约多项式, 除一次多项式外, 只有含非实共轭复数根的二次多项式. 定理2.7.5 每一个次数大于0的实系数多项式都可以分解为实系数的一次和二次不可约因式的乘积.

61 2.8 有理数域上多项式 一.内容分布 2.8.1 本原多项式及高斯引理 2.8.2 艾森斯坦差别法 2.8.3 求整系数多项式在理根
2.8 有理数域上多项式 一.内容分布 2.8.1 本原多项式及高斯引理 2.8.2 艾森斯坦差别法 2.8.3 求整系数多项式在理根 二.教学目的 1.掌握本原多项式概念及高斯引理 2.熟悉运用艾森斯坦差别法 3.掌握求整系数多项式的有理根 三.重点、难点 艾森斯坦差别法及如何求整系数多项式有理根方法.

62 若是一个整系数多项式f (x)的系数互素,那么f (x)叫作一个本原多项式.
定义 引理2.8.1 两个本原多项式的乘积仍是一个本原多项式. 证 设给了两个本原多项式 并且设 如果 不是本原多项式, 那么一定存在一个 素数p , 它能整除所有系数

63 由于f (x)和g (x)都是本原多项式,所以p不能整除f (x)的所有系数,也不能整除g (x)的所有系数
由于f (x)和g (x)都是本原多项式,所以p不能整除f (x)的所有系数,也不能整除g (x)的所有系数.令 各是f (x)和g (x)的第一个不能被p 整除的系数. 考察f (x)g (x)的系数 有 这个等式的左端p整除.根据选择 的条件,所有系数 都被p整除.因此乘积 也须被p整除.但p是一个素数,所以p必须整除 这与假设矛盾.

64 若是一个整系数n (n > 0)次多项式f (x)在有理数域上可约, 那么f (x)总可以分解成次数都小于n的两个整系数多项式的乘积.
定理2.8.2 证 设 这里 都是有理数域上的次数小于n的多项式.

65 令 的系数的最大公因数是 那么 这里 是一个有理数而 是一个本原多项式.同理, 这里 是一个有理数而 是一个本原多项式. 于是,

66 其中r与s是互素的整数, 并且s > 0. 由于f (x)是一整系数多项式,所以多项式 的每一系数与r的乘积都必须被s整除
其中r与s是互素的整数, 并且s > 0 . 由于f (x)是一整系数多项式,所以多项式 的每一系数与r的乘积都必须被s整除. 但r与s互素, 所以 的每一个系数必须被s整除, 这就是说, s是多项式 的系数的一个公因数. 但 是一个本原多项式, 因此 显然各与 有相同的次数,这样, f (x)可以分解成次数都小于n的两个整系数多项式的乘积.

67 定理2.8.3 (Eisenstein判断法) 是一个整系数多项式. 若是能够找到一个素数p,使 (i) 最高次项系数 不能被p整除,
(ii) 其余各项的系数都能被p整除, (iii)常数项 不通被 整除, 那么多项式f (x)在有理数域上不可约.

68 证 若是多项式f (x)在有理数域上可约,那么由定理2.8.2, f (x)可以分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积:
这里 并且 k < n , l < n , k + l = n , 由此得到 因为 被p整除,而p是一个素数, 所以 整除.但 不能被 整除, 所以 不能同时被p整除.

69 不妨假定 整除而 不被p整除. g (x)的系数不能全被p整除,否则f (x) = g (x)h (x)的系数 将被p整除,这与假定矛盾
不妨假定 整除而 不被p整除. g (x)的系数不能全被p整除,否则f (x) = g (x)h (x)的系数 将被p整除,这与假定矛盾. 令g (x)中第一个不能被p整除的系数是 考察等式 由于在这个等式中 都被p整除,所以 也必须被p整除. 但p是一个素数, 所以 中至少有一个被p整除. 这是一个矛盾.

70 设p是一个素数. 多项式 叫做一个分圆多项式. 设 是一个整系数多项式. 若是有理数 是f (x)的一个根, 这里u和v是互素的整数, 那么 定理2.8.4 (i) 的最高次项系数 而 的常数项 (ii) 这里q (x)是一个整系数多项式.

71 证 由于 是f (x)的一个根, 所以 (2) 这里q (x)的一个有理系数多项式. 我们有 这里vx – u 是一个本原多项式, 因为u和v互素.另一方面, q (x)可以写成 这里 是一个有理数 而是一个本原多项式. 这样

72 这里r和s是互素的整数并且 s > 0 , 而 vx – u 和 都是本原多项式. 由此, 和定理2. 8
这里r和s是互素的整数并且 s > 0 , 而 vx – u 和 都是本原多项式.由此, 和定理2.8.2的证明一样,可以推得 s = 1 而 (3) 这里 是一个整系数多项式. 令 那么由(3)得 比较系数,得 这就是说 另一方面,比较(2)和(3), 得 所以q (x)也是一个整系数多项式.

73 求多项式 的有理根. 例 这个多项式的最高次项系数3的因数 是常数项 – 2的因数 是所以可能的有理根是 我们算出 所以1与– 1都不是f (x)的根.另一方面,由于 都是整数,所以有理数 在试验之列.

74 容易看出,－２不是的根,所以它不是的重根. 应用综合除法: – ２|３ – ２ – ６ – 3 – – １ 0 所以 – 2 是f (x) 的一个根. 同时我们得到 　 － －１ 　　　　　　　 －1 3 －2

75 至此已经看到,商式不是整系数多项式,因此不必再除下去就知道, 的根,所以它也不是f (x)的根. 再作综合除法:
－ －１ － 所以 的一个根,因而它也是f (x)的一个根,容易看出, 的重根.这样, f (x)的有理根是

76 2.9 多元多项式 一.内容分布 2.9.1 基本概念 2.9.2 n元多项式的字典排列法 2.9.3 多项式函数 二.教学目的
2.掌握多元多项式的运算:加法,乘法 3.掌握多项式的字典排列法,多项式函数. 三.重点、难点 n元多项式的一般形式,多项式的字典排列法

77 令 是n个文字.形式如 的表示式，其中 是非负整数，叫做数环R上 的一个单项式. 数 a 叫做这个单项式的系数.如果某一 ，那么 可以不写，约定 因此，m (m < n)个文字的单项式总可以看成n个文字的单项式. 特别，当 时，我们有

78 一些（有限个）单项式用加号联结起来而得到的一个形式表达式
（1） 我们还约定， . 一些（有限个）单项式用加号联结起来而得到的一个形式表达式 是非负整数 ，叫做R上n个文字 的一个多项式，或简称R上一个n元多项式.在不致发生混淆的情况下，也可以简称为多项式. 我们常用符号 等来表示R上n个文字 的多项式.

79 在一个n元多项式（1）里，组成这个多项式的单项式叫做这个多项式的项.各项的系数也叫做这个多项式的系数.
R上两个单项式 和 叫做同类项，如果 两个单项式说是相等，如果它们是同类项并且系数相等. 现在定义R上n元多项式的运算. R上两个n元多项式 的和指的是把分别出现在这两个多项式中对应的同类项的系数相加所得到的n元多项式，记作f + g .

80 例如 的和是 为了定义两个多项式的乘积，先定义两个单项式的乘积.R上两个n元单项式 与 的积指的是单项式

81 现在设f与g都是R上n个文字的 多项式.把f的每一项与g的每一项相乘，然后把这些乘积相加（合并同类项）而得到的一个n元多项式叫做f与g的积，记作 fg .例如，多项式
的乘积是 这样定义的多项式的加法和乘法就是中学代数里熟知的多项式的运算，并且容易看出，n元多项式的运算满足下列条件：

82 设f, g, h都是某一数环R上n个文字 的多项式，那么
1） （加法的结合律） 2) （加法的交换律） 3) （乘法的结合律） 4） （乘法的交换律） 5） （分配律） 我们把一个数环R上一切n个文字的多项式 所成的集合，连同如上定义的加法和乘法叫做R上n个文字 的多项式环，简称上元多项式环，记作:

83 设 是数环R上一个不等于零的n元多项式. 设 （2） ， （3） 是 的两个不同的项，那么在这两项对应的幂指数的差 中，至少有一个不等于零.如果在这些差中，第一个不等于零的数是一个正数，换句话说，如果存在这样一个 i , 使得

84 那么就说，项（2）大于项（3），或者说，项（3）小于项（2）
那么就说，项（2）大于项（3），或者说，项（3）小于项（2）.对于 的任意两个不同的项，总有一个大于另一个，并且若项（2）大于项（3），而项（3）又大于另外一项 （4） 那么项（2）也大于项（4）.这样，只要把两项中较大的一项排在前面，多项式 的各项就有了完全确定的次序.这种排列多项式的项的方法很象字典里字的排列法，所以通常把这种排列法叫做多项式的字典排列法.例如 就是按字典排列法书写的一个四元多项式.

85 数环R上两个n元多项式 与 的乘积的首项等于这两个多项式首项的乘积. 特别，两个非零多项式的乘积也不等于零.
定理 2.9.1 数环R上两个不等于零的n元多项式的乘积的次数等于这两个多项式次的和. 定理 2.9.2 设 是数环R上一个n元多项式.如果对于任意 都有 ，那么 定理 2.9.3

86 设 与 是数环R上n元多项式.如果对于任意 都有
那么 换句话说，如果由 与 的确定的多项式函数f与g相等，那么这两个多项式相等. 推论 2.9.4

87 2.10 对称多项式 一.内容分布 2.10.1 对称多项式基本定理 2.10.2 用初等对称多项式表成对称多项式 二.教学目的
1.掌握理解n元对称多项式, n元初等对称多项式概念 2.掌握对称多项式的基本定理 3.熟练用初等对称多项式的多项式. 0 三.重点、难点 对称多项式表成初等对称多项式的多项式

88 设 是数环R上一个n元多项式.如果对于这n个文字 的指标 集施行任意一个置换后， 都不改变，那么就称 是R上一个n元对称多项式.
定义 1 例如， 是整数环上一个n元对称多项式. 是整数环上一个三元对称多项式.

89 看以下的n个n元多项式： （1） 这里 表示 中每次取k个所作的一切可能乘积的和，这样的n个多项式显然都是n元对称多项式.我们称这n个多项式 为n元初等对称多项式.

90 对称多项式的基本定理 引理 设 是数环R上一个n元多项式. 以 代替 ， ，得到关于 的一个多项式 如果， 那么一切系数 即

91 数环R上每一n元对称多项式 都可以表成初等对称多项式 的系数在R中的多项式，并且这种表示法是唯一的.
定理 例 1 用初等对称多项式表示n元对称多项式 f 的首项 是. 所以取 于是 所以

92 例2 用初等对称多项式表示n元对称多项式 由定理2.10.2的证明知道，所求的表示式的各项 完全决定于相应的对称多项式 的首项.这些首项必须满足以下条件： 1.每一 的首项都小于f 的首项，并且如果i > j ，那么的 首项小于 的首项； 2.每一首项的指数组 满足不等式 3.每一首项的次数都等于4（因为f是一个四次齐式，所以每一个 也是四次齐式）

93 自f 的首项的指数组开始，写出满足上述条件的一切可能的指数组，以及对应的 的幂的乘积. 列表如下：
对应的 的幂的乘积 指数组 这样，多项式 f 可以写成以下形式

94 为了决定系数a , b ，取 的值代入上面的等式.例如，可以先取 . 对于这一组数，f 的值等于3，而 的值依次是3，3，1，0. 所以
由此得a = - 2. 再取 对于这一组数，f 的值等于6， 的值依次是4，6，4，1.所以 由此得b = 2 . 于是

95 设f (x)是数域F上一个一元n次多项式，它的最高次项系数是1. 令 是f (x)在复数域内的全部根（重根按重数计算）
设f (x)是数域F上一个一元n次多项式，它的最高次项系数是1.令 是f (x)在复数域内的全部根（重根按重数计算）.那么 的每一个系数取自F的对称多项式都是f (x)的系数的多项式（它的系数在F内），因而是F的一个数. 推论