《天体物理中的辐射机制》 研究生课程 授课教师：吴学兵（北大天文系）

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1 《天体物理中的辐射机制》 研究生课程 授课教师：吴学兵（北大天文系） 2013.11.11

2 复习题（11. 11) 1、电子在磁场中的辐射过程有哪几种？试分别简述之。
2、写出回旋辐射的总功率表达式。简述回旋辐射的辐射频率辐射谱特征、辐射角分布和偏振特性。 3、引起回旋辐射谱线展宽的可能机制有哪几种？若回旋辐射谱线的轮廓为Lorentz谱型，则可能源于哪些展宽机制？若为Gauss谱型，则可能源于哪种机制？ 4、处理回旋辐射的经典理论的适用条件是什么？在中子星表面是否可以利用回旋辐射的经典理论？ 5. 写出相对论电子同步辐射总功率的表示式。它与回旋辐射总功率表示式有何不同？ 6、写出同步辐射峰值频率表示式。若磁场强度B为10000高斯，为10的相对论电子投射角为30度，试求其同步辐射峰频值. 7. 同步辐射的角分布和谱分布各有何明显特征？与回旋辐射有何不同？

3 三、回旋辐射、同步辐射及曲率辐射 参考： Rybicki & Lightman书第6章 Frank Shu书第18, 19章
尤峻汉书第4章； Rybicki & Lightman书第6章 Frank Shu书第18, 19章

4 三、回旋辐射、同步辐射及曲率辐射 电子在磁场中受Lorentz力作加速运动，产生辐射
非相对论电子在磁场中的辐射--回旋辐射(Cyclotron radiation) 相对论电子在磁场中的辐射--同步辐射(Synchrotron radiation) 两者在磁场中的运动类似，角频率为 (相对论电子情况下： )，但辐射总功率、角分布、谱分布明显不同 相对论电子在强磁场中沿弯曲磁力线运动产生的辐射--曲率辐射(Curvature radiation)

5 定性分析 经典的偶极辐射： 沿偶极子方向辐射最小，沿 方向上辐射最强 E, B, S三矢量成右手螺旋关系 ( ， ， )
如偶级子以单色频率沿z方向振动， 空间任一点 处场强为 (单色球面波辐射)

6 非相对论电子的回旋辐射：电子在磁场中的圆周运动
圆周运动是两个方向垂直、频率相同、相位差为/2的简谐振动的合成。 电子的低速圆周运动可看成二维的电偶级子。 其辐射大体上是各向同性的，X分量和Y分量互相补充，沿z轴辐射最强。 回旋辐射是单色的，其辐射频率就是电子作圆周运动的角频率 。

7 回旋辐射的偏振状态 二维偶级子： Z轴方向--圆偏振(X分量和Y分量在Z轴场强互相垂直、振幅相同而相位差为/2) 沿(X，Y)平面上任一方向(含X轴、Y轴)--线偏振 其它方向--椭圆偏振 当圆周运动速度v较大时，仍可分解为两个互相垂直的简谐振动，但不能看作偶级子。 当速度v值增大，角分布各向异性逐渐明显，单色性被破坏。除基频辐射 外，还有 等较弱的谐频成分。 当 ，-->相对论电子,分立线谱过渡成光滑连续谱

8 当 时，辐射明显各向异性，沿电子速度方向的辐射最强，几乎都集中在以v为中心、半张角 的狭窄角锥内。
相对论电子的同步辐射： 当 时，辐射明显各向异性，沿电子速度方向的辐射最强，几乎都集中在以v为中心、半张角 的狭窄角锥内。 同步辐射不再保持单色性，这 与辐射的方向性有关。圆周运 动电子的同步辐射只有处在圆 轨道平面上(或附近)的观测者才能观测到。辐射必然是周期性脉冲，频率 是电子沿轨道的转动频率。 (拉摩频率) 能量为的电子的转动频率比非相对论电子减小倍。

9 周期脉冲的主要频率成分决定于脉冲持续时间dt的大小，观测者收到脉冲的持续时间dt并不等于电子发射脉冲所需的时间dt’.
观测者在t-t+dt时间收到的脉冲信号是电子在t’-t’+dt’这一较早时间发射的， dt’是电子沿圆轨道扫过2角所需时间。 脉冲的空间长度为 ，因在dt’中，电子本身向观测者前进了 。

10 周期性脉冲不再是单色波，而是含从基频 到各次谐波 的合成波-->谱分布。其中振幅最大的谐波频率为：
周期性脉冲包含了从基频 到 的各种频率成分，而辐射的峰值频率为 。 -->同步辐射的非单色性来源于辐射的方向性。 由于相对论电子>>1，频率 大大高于回旋辐射频率 。频率为 的单色波的振动周期 ，即在辐射角锥扫过观测者的时间dt中，恰好完成一个周期振动的单色波为最强的辐射波。凡周期与dt差甚多的单色波都较弱。由于辐射频率集中于 及其近旁， ，谱的分立性已不明显，可认为是光滑连续谱。

11 回旋加速辐射 与同步辐射相比，非相对论电子的回旋辐射在天体物理中重要性较小。一般天体磁场较弱，1E-3~1E-6G.拉摩频率(L=1.76E7(B/1G)Hz)远低于通常的射电频率，而且非相对论电子的辐射功率小。但在强磁场的天体中，回旋辐射是不可忽视的重要机制(如太阳耀斑、白矮星光学辐射、中子星X射线辐射等)。 电子运动方程，拉摩频率 在均匀磁场中，电子受Lorentz力作用，运动方程为： 在非相对论情况下(尤其电子极端低速时， )：

12 求解上式给出粒子的运动方程： 取B方向为Z轴， 其解为： 式中 为积分常数， 是速度平行和垂直于B的分量。再积分可得运动方程：( 由初始条件决定)

13 以上方程表示：磁场中电子沿着轴平行于B的螺旋线运动，轨道在(X，Y)平面上的投影是圆，圆心在点
称为引导中心。 拉摩(Larmor)频率： 弱磁场中，回旋频率远小于射电辐射频率(>1E7/s) 若非相对论电子不作->1极限近似，电子运动方程的 准确结果仍然类似，只是电子回旋频率不在是拉摩频率，而改为

14 此时电子运动方程为： 上式中 。只要电子能量不十分大， ，都称为非相对论电子。

15 其中是投射角，即v与B之间夹角。经典电子半径为：
回旋辐射的总功率 非相对论电子的辐射总功率 对非相对论电子， ，有： 其中是投射角，即v与B之间夹角。经典电子半径为： 或

16 代入光速和经典电子半径值 假定电子速度是各向同性的，则平均总功率为： 非相对论电子回旋辐射功率与其能量成正比(即正比于 )，且与磁场强度平方 成正比。

17 回旋辐射的谱 非相对论电子在磁场中的辐射也不是严格单色的，电子速度较大时，谐频成分的辐射将增强。 先考虑圆轨道运动的电子( )的回旋辐射谱。选坐标原点在圆心，轨道在(X，Y)平面，电子的位置和速度为： 其中

18 周期运动粒子的辐射谱公式： 选观测者在oxz平面内，

19 式中 代表正整数S阶Bessel函数， 代表 对其宗量的导数。

20 完成对立体角的积分，给出 此即频率为 的单色辐射功率---回旋辐射谱公式。 对非相对论电子， ，可将Bessel函数作级数展开，利用渐近式 辐射谱由一系列分立谱线组成几乎全部能量集中于基频辐射中。

21 如电子沿磁场方向有运动( )，即作螺旋轨道运动，谱分布可借助于Lorentz变换得到。
在引导中心参考系(运动系) 中， 电子仍做圆周运动(速度 )， 而观测者则沿磁场以 运动。 螺旋轨道电子的辐射谱特征与圆轨道 电子辐射的主要不同点是谱线有移动， 从圆轨道辐射频率 变成螺旋 轨道辐射频率 。螺旋轨道电子 辐射的S次谐波辐射功率改为：

22 回旋辐射的角分布 辐射能量集中于基频辐射，因此可用基频辐射的角分布来代表整个辐射的角分布。 以圆轨道辐射为例， 回旋辐射的角分布大体是各向同性的，沿磁场方向辐射最强，垂直磁场方向辐射最弱，强度差二倍。

23 回旋辐射的偏振特性 谱公式中积分项和频率为 的单色波的振幅值 有关 基频辐射的振幅值 对=0(沿磁场方向的辐射)， 。场强的x和y分量相等而相位差/2，-->圆偏振波。 对= /2(沿垂直磁场方向的辐射)， -->线偏振波。 取中间值时，一般为椭圆偏振波。

24 回旋辐射的谱线宽度及轮廓 引起回旋辐射谱线展宽的可能机制： 1、辐射展宽 由于电子在辐射过程中损失能量，辐射只能维持有限长的时间，波列不可能无限长。有限长的波列不是严格单色的，谱线有一自然宽度。频宽 和电子辐射时间有关， ，谱线的最小宽度。 2、碰撞展宽 电子在回旋运动中和等离子体中其它粒子发生碰撞，造成辐射的暂时中断，使辐射波列成为有限长，引起谱线展宽。谱宽 和平均两次相邻碰撞时间间隔 有关， ，即 近似等于碰撞频率 。

25 3、多普勒效应 由于电子沿磁场方向的速度分量 各不相同，随机分布，各个电子辐射的多普勒频移各不相同，使谱线加宽。若电子平均热运动速度为 ，则谱线的多普勒宽度为 4、质量的相对论变化 由于 而各个电子速度不同，使它们具有不同质量值，因而在磁场中有不同的回旋频率。 ( )，这一线宽的量级为 。

26 5、辐射自吸收 如回旋辐射线线心频率处的等离子体光学厚度 则自吸收效应必须予以考虑。这时线心处强度应相当接近该频率处的黑体辐射强度。 在 的光学厚情况下，只有黑体谱，谱线完全不出现。 在 的光学薄情况下，可以出现细锐谱线。 在 的中间情况，应相当接近于黑体谱。线心强度不得超过同一频率处的黑体辐射强度，结果使回旋辐射谱线能量分散在一较宽的频率范围中。 6、磁场的不均匀性 由于 ，磁场B的不均匀性会引起谱线加宽。这一线宽的量级是

27 回旋辐射谱线形状(轮廓) 根据谱线形状可以判断哪种展宽机制起主要作用，因为不同的展宽效应有不同的谱型。 辐射展宽和碰撞展宽----Lorentz谱型 多谱勒展宽----Gauss谱型 (1)、辐射展宽的谱型 展宽机制来源于电子在辐射中能量的逐渐衰减，使得辐射场中任一点的场强具有阻尼振动形式。 振幅随时间指数衰减，为阻尼系数。振幅减小到原有值的1/e所需时间=1/，为辐射时间(电子辐射寿命)

28 有限时间内的辐射不是严格的单色辐射，可用傅氏分析求其频谱分布。
积分强度

29 各单色辐射的强度为： 或 此即辐射展宽的谱分布公式。谱线轮廓如a, 洛伦兹谱型。

30 在 处有一尖锐的极大，表示辐射频率基本仍为 ，只是有一谱线宽度。当 时， 减少到极大值的一半。谱线的半宽度为：
(2)、碰撞展宽的谱型 也为洛伦兹谱型。若平均碰撞时间为 (碰撞频率 的倒数， 即为每次辐射的平均持续时间。 谱线的半宽度为

31 (3)、多普勒展宽的谱型 若电子沿B方向速度分量为 ，电子作螺旋轨道运动，相对观测者速度为 ，多普勒频移为： 由于 随机取值，造成谱线加宽。只有在观测方向上的速度分量对多普勒频移有贡献，故只需考虑Maxwell分布形式： 多普勒展宽具有Gauss分布形式 ，称为Gauss谱型。

32 辐射强度在 处达到极大。令 ，求出频率差为：
谱线的半宽度为 故多普勒展宽 *实际展宽机制经常不只一种，一般谱型既不是典型的Lorentz形，也不是典型的Gauss形。但多普勒效应对谱线中心形状起决定作用，碰撞效应对谱线两翼形状起决定作用。

33 经典理论的适用范围 只有当辐射光子的能量远小于电子动能时，用经典辐射理论处理回旋辐射才是正确的。 对非相对论电子，如用 表示以电子伏特为单位的电子的动能，不等式 可写成： B是磁场强度。此即回旋辐射经典理论的适用条件。在强磁场情况下(如中子星表面， )，不能忽视量子效应的影响。

34 同步加速辐射 与回旋辐射相比，相对论电子在磁场中的同步辐射在天体物理中更为重要
大多数宇宙非热射电辐射来自同步辐射(如类星体、射电星系、正常星系、超新星遗迹、太阳的射电辐射等) 一些天体的可见光和X射线辐射也(部分)来自于同步辐射(如蟹状星云、射电星系、类星体和其它活动星系核等)

35 相对论电子在磁场中的运动方程 在均匀磁场中， e 由

36 相对论电子在磁场中的运动初看似乎是频率为 的圆周运动或螺旋轨道运动。但由于 ，圆半径
很大，实际上电子运动更近似于直线。 同步辐射的总功率和辐射寿命 相对论电子的辐射功率： 利用Lorentz力公式，用场强和速度表示功率， (电子经典半径)

37 对具有各向同性速度分布的电子， 相对论电子辐射功率不同于非相对论电子！ 非相对论电子：辐射功率正比于电子能量( ) 相对论电子：辐射功率正比于电子能量 的平方 ( )，辐射功率远大于非相对论 电子。

38 相对论电子大部分辐射在峰频 发出。对能量为，投射角为(电子速度与磁场夹角)的电子，
对螺旋轨道，是磁场在垂直电子速度方向上的投影 起作用， 称为有效磁场。 电子由于辐射失去大部分能量的时间： 电子的辐射寿命：

39 对某些源，年龄比电子寿命长很多 --->源中存在某种连续产生高能电子的机制， 使辐射源得以维持。 如蟹状星云(B~1E-4G)，产生X射线辐射 ( ~1E18Hz)的相对论电子，辐射寿命~20年。 而Crab Nebula 年龄~1000年，源中有使电子 能量增大到1E8MeV的连续加速机制---中子星！ 以上忽略了辐射阻尼的作用，因电子在每一周期内的运动中辐射的能量远小于电子能量，即电子回转周期远小于电子辐射寿命， 对辐射频率 显著小于 (10MeV)的相对论电子，以上不等式总是满足的。

40 Crab Nebula: Remnant of SN 1054
至和元年五月已丑，出天关东南，可数寸，岁余稍没---《宋史志卷九》

41 Crab Nebula Images of the Crab in radio, infrared, optical and X-ray. Source : Spectrum of the Crab over a very wide range of energies. The emission is dominated by synchrotron radiation, and at at very high energies ( eV) there may be an inverse-Compton component. Source : Hillas et al 1998, ApJ, 503, 744

42 7颗Gamma射线脉冲星的多波段能谱 NASA/Fermi Gamma-ray Space Telescope has discovered 46 gamma-ray pulsars in 6 months (Abdo et al. 2010,ApJS, 187,460;arXiv )

43 Fermi's Latest Gamma-ray Census Highlights Cosmic Mysteries 09.09.2011
Earlier this year, the Fermi team released its second catalog of sources detected by the satellite's Large Area Telescope (LAT), producing an inventory of 1,873 objects shining with the highest-energy form of light. This all-sky image, constructed from two years of observations by NASA's Fermi Gamma-ray Space Telescope, shows how the sky appears at energies greater than 1 billion electron volts (1 GeV). Brighter colors indicate brighter gamma-ray sources. For comparison, the energy of visible light is between 2 and 3 electron volts. A diffuse glow fills the sky and is brightest along the plane of our galaxy (middle). Discrete gamma-ray sources include pulsars and supernova remnants within our galaxy as well as distant galaxies powered by supermassive black holes. (Credit: NASA/DOE/Fermi LAT Collaboration) Active galaxies called blazars constitute the single largest source class in the second Fermi LAT catalog, but nearly a third of the sources are unassociated with objects at any other wavelength. Their natures are unknown. (Credit: NASA's Goddard Space Flight Center)

44 Crab Nebula Consider electrons in the Crab Nebula synchrotron radiating at 20 keV ( c = 4.8 ×1018 Hz), in which the magnetic field strength is of order 10-4 Gauss. For these electrons the Lorentz factor  is 108

45 Crab Nebula The synchrotron spectrum turns over at about 1016 Hz (or ~ 40 eV). The cooling time at this frequency is about 1090 years, which is consistent with the age (~950yrs) of the crab nebula (discovered in AD1054). =E/P=50Yr*[1/480^(1/2)]/[1/480]=50Yr*(480)^(1/2) =1090Yr 950

46 同步辐射的角分布 相对论电子的辐射由于多普勒效应而具有显著的方向性，辐射集中在以速度V为轴线、半张角为 ~1/ 的狭小角锥内。  越大，角锥越小。 由于电子在磁场中被加速，速度与加速度垂直. 角分布公式： 同步辐射的谱分布(圆轨道情形) 相关数学：Bessel方程 在P0时在x=0处有限的解：第一、二、三类Bessel函数( 、 、 、 )

47 当自变量是虚数时，采用修正的Bessel函数 、
考虑电子的圆周运动，与回旋辐射谱类似，沿单位立体角、频率为 的辐射功率为： 与回旋辐射相比，公式相同，基频 远比回旋辐射小(因>>1)。在同步辐射情况下，相邻谱线间隔 ( )变得更小，实际已成连续谱。

48 同步辐射的频率基本上集中于峰频 及其附近，
，故S应取大数，即我们关心各高频成分的辐射功率。由~1，得到 由于辐射谱实际上是连续谱， 就是频率在 之间的辐射功率。 此即相对论电子的同步辐射谱公式。其中 (拉摩频率)

49 辐射谱形决定于： 可将 叫做无量纲的同步辐射谱。 在 时，曲线达到极大 值0.918。极值两侧函数的 渐近式为： 在低频端，函数以~ 形式缓慢上升，在 处达到峰值；在高频端，以指数形式很陡地下降。 故 表示辐射的临界频率，比 更高的频率极弱，实际上辐射截止于 。

50 定性分析给出峰值频率 ，实际上应为 。 同步辐射的理论谱已由实验所验证。电子加速器的实验证实了所观测到的从 直到 的连续谱。 尽管同步辐射的频谱弥散在很宽的波段上，但粗略地看，能量为的电子的同步辐射仍像是一条宽的单色“谱线”，频率为 。

51 沿螺旋轨道运动的电子的同步辐射 利用参考系间的Lorentz变换，可由圆周运动电子的辐射谱得到沿螺旋轨道运动的电子的同步辐射谱，只要在公式中出现频率 处，用 代替即可。 是电子进入磁场时的投射角(电子速度与磁场夹角) 最后求得螺旋轨道电子的同步辐射谱公式：

52 或 其中临界频率为： 以上公式的变换相当于将圆轨道公式中的磁场强度用B在垂直于电子速度的分量 来替换， 是引起电子加速的有效磁场。 *螺旋轨道电子的同步辐射谱形状和圆轨道类似，只是临界频率有变化。此外螺旋轨道电子辐射情况下，观测者收到的辐射脉冲周期小于电子原来发射的周期。

53 以投射角作螺旋轨道运动 的电子，由于同步辐射的方 向性，只有当观测者方向 ~时才可能收到辐射，电 子在观测方向具有的速度为： 观测者测到两个相邻脉冲的距离为： 考虑能量守恒， 观测的总功率将大于原辐射功率一个因子 。

54 螺旋轨道电子的辐射谱公式只在投射角 的条件下才成立。对极端相对论电子(>>1)，这一条件能很好满足。故对各向同性分布的电子，因为具有极小的角的电子只占很小比例，用谱公式计算辐射谱是很好的近似。但有时会有足够比例的电子具有小的角，使<1/，就不能用上述公式。 当<1/时，在 的参考系中，粒子是非相对论的，在引导中心系中产生单色回旋辐射。由Lorentz变换，可求出实验室系中电子作螺旋轨道运动时的辐射谱功率： 峰值频率为 ，比大角时的临界频率小 倍。

55 《天体物理中的辐射机制》 研究生课程 授课教师：吴学兵（北大天文系） 2013.11.18

56 复习题 (11. 18) 1. 单电子同步辐射在低频和高频极限下的线偏振度大约是多少？
2、对电子系集体的同步辐射，若电子能谱分布为幂律形式，则同步辐射谱亦为幂律形式，试问辐射谱指数q与电子能谱指数n之间有何关系？请用电子能谱指数n表示电子系集体同步辐射的平均线偏振度。 3、何为同步辐射自吸收？它能用来解释何种宇宙射电谱型？ 4、一个沿曲率半径运动的相对论电子的曲率辐射的基频和峰频表示式分别是什么？对中子星磁层中的极端相对论电子，可取=108cm, =107，试求其曲率辐射的基频和峰频值。

57 同步辐射的偏振特性 将电矢量E沿两个与辐射方向k垂直的、且彼此互相垂直的方向l1, l2分解。 由于同步辐射的方向性， 用 表示辐射方向与速度方向的 微小差异， 的量级约为 ，即 理论计算表明，沿k方向的同步辐射， 电矢E的两个分量E1和E2正好有/2的 相位差，说明同步辐射是椭圆偏振波。 短轴与l1平行，长轴与l2平行，椭率b为：

58 的正负决定椭圆偏振波是左旋或右旋。由于 很小，故 ；特别当 时，电子速度恰好指向观测者， ，辐射成为线偏振。对 大量电子的集体辐射，只要电子速度分布在 角变 化的小范围 是均匀的，负的 的贡献抵销正 的 的贡献，因此电子集体的同步辐射的偏振椭率 为零，仅考虑辐射的线偏振。 用 分别表示偏振方向沿l1和 l2的谱功率：

59 该电子辐射的线偏振度为： 在 低频端， 在 高频端， 接近于1

60 电子系集体的同步辐射 天文观测中的辐射总是大量电子的集体效应，如单位体积中能量为 ，投射角 中的相对论电子数为 (其中 )，单位体积中电子的总辐射功率为：(假定电子辐射是不相干的) 一般认为在能量 中，电子能量分布具有幂律形状且稳定，即： 如电子投射角具有各向同性分布，则

61 由单个电子的谱功率可得到谱发射功率为： 其中 G(x)的极限性质：

62 当 时， 与频率无关，得到： 由于电子能量具有幂律形式，使得谱发射率(单位体积中电子总的谱功率)随频率的变化也具有幂律形式。谱指数q和电子能谱指数n之间的关系为： n=2q+1。可见n>q，电子能谱比辐射谱更陡。 或 式中 ~ 0.1

63 物理解释： 一个能量为的电子的同步辐射可看成单色辐射(准单色近似)，频率近似为： 。即近似有能量和频率的一一对应，因此幂律电子能谱产生幂律辐射谱。 同步辐射功率 ，即高能电子有更强的辐射。对具有陡的幂律能谱分布的电子系，尽管值大的高能电子数下降很快，但它们产生的辐射较强，故辐射随频率增大而较为平缓地下降。 当 ，即辐射频率显著超过最高能量电子的峰频时，同步辐射谱应以指数形式随频率迅速下降。

64 目前在许多射电星系、类星体和活动星系核中，发现了具有幂律的非热辐射谱，谱指数一般在0. 3~2之间，平均值为0
目前在许多射电星系、类星体和活动星系核中，发现了具有幂律的非热辐射谱，谱指数一般在0.3~2之间，平均值为0.7。普遍认为这一幂律谱形来自于电子的同步辐射。由于高能(大)电子的辐射越强(能量减少越快)，随时间推移，能谱指数n会逐渐变大，能谱变陡。 已在许多射电和光学源中观测到辐射的偏振，而这正是同步辐射有别于其它辐射机制(如黑体辐射、韧致辐射、逆Compton散射等)的最主要特点之一。

65 对给定的电子能谱分布，可求出电子集体的同步辐射的平均线偏振度。由两个偏振方向的谱发射率 和 ，平均线偏振度为：
如电子具有幂律能谱， 可见，平均线偏振度与频率无关。上式适用范围为： 实际观测偏振常低于计算值(0.5~0.8)，一般认为是由于磁场不均匀和Faraday磁光效应造成的。

66 实际观测谱常常不是简单的幂律谱，有四种典型射电谱型，产生的原因还 无定论。 谱型a: 源中电子能谱分 布为稳定的幂律形式： ，导致幂
宇宙射电源的辐射谱 实际观测谱常常不是简单的幂律谱，有四种典型射电谱型，产生的原因还 无定论。 谱型a: 源中电子能谱分 布为稳定的幂律形式： ，导致幂 律辐射谱 谱型b: 一般认为是辐射耗散造成的电子能谱改变所致。同步辐射时电子的能量损失率为 (磁场能密度)

67 讨论电子能谱变化，除考虑电子能量损失外，还需考虑源中相对论电子的加速过程。引进量 ，
代表单位时间注入单位体积中能量为 的电子数，用 表示源内单位体积中在t时刻的能量在 范围的相对论电子数，则电子能谱随时间变化为： 两种情况： (1)、有连续注入， 若相对论电子以幂律形式注入， 辐射损失率 ，不同能量的电子有不同损失率， 不能维持 形式而要变化。

68 当注入 与损耗达到动态平衡时，能谱成为稳定分布， , 由此得到：
由于辐射损失 ，故 *因此，在稳定的连续注入下，如无辐射损失，能谱具有与注入相同的幂律形式， ；如不能忽略辐射损失，则能谱形式成为 ，能谱变陡。

69 判断电子的辐射损失可否忽略需比较其辐射寿命
与辐射源年龄t，当 ，辐射损失必须考虑；反之则辐射损失不起显著作用，可忽略不计。 由于电子辐射寿命与能量有关( 1/)，对给定年龄的辐射源，可能在值小的低能范围中满足 同时在值大的高能范围中有 。因此在稳定的连续注入 下，应将电子能谱分成两段分别考虑：低能段， ，忽略辐射损失，能谱 为 ，辐射谱 ，即谱指数 。在高能段， ，辐射损失大( )，能谱 ，辐射谱 ，即 。 这说明辐射频谱分成两段，都具有幂律形式，但高频变陡，谱指数比低频大1/2。

70 幂律谱分界点可用该处电子能量值 或相应的辐射频率 表征，其值由 得出。
随辐射源年龄的增长， 很快下降，谱型b的拐点位置移向低频端。 (2)、非连续注入：初始有一脉冲式幂律形式注入， ，此后 。 t=0时能谱分布为 由于辐射损失，能谱逐渐偏离 形式。

71 辐射损失记为： 由于辐射损失，t=0时刻处在 中的电子在t时刻会进入 间隔之中， t时刻 已偏离 幂律形式。对高能值或长的演化年龄t，偏离越大。这一注入机制也可说明谱型b高频部分变陡，但无明显拐点，谱型是连续变陡的。

72 谱型c：低频部分出现极大值，低频端流量 下降。
可能解释： (1)、同步辐射自吸收： 对致密光学厚辐射源，自吸收系数 随频率 的下降而增大，使低频段光深 变大，流量 下降。 (2)、等离子体的自由-自由吸收效应： 式中 分别是热电子气的温度和密度。当频率减小时，吸收增大。 (3)、同步辐射的倒转效应： 如相对论电子在 中具有幂律能谱，则对频率在 范围辐射谱也是幂律形式。

73 对频率高于最大能量电子的主要辐射频率 ，或低于最小能量电子的辐射频率 的频段，显然不能再保持幂律谱形。
一个能量为的电子，同步辐射的频谱范围是 。 不仅高频端的辐射，而且低频端的辐射也是由值大的高能电子所贡献。对低频值的辐射，按基频公式， ，只需考虑所有 的高能电子对该频率的贡献。电子谱发射率为： 在 的低频极限下，

74 故在低频端 时，辐射谱形式为 ，辐射谱会随频率的减小而下降；在高频端 时，谱形为 。转变点大约出现在 处，谱型出现极大值。
(4)、拉金效应(Razin effect)： 对完全电离的等离子体，折射率 。在等离子体中，相对论聚束(beaming)效应由角度 确定。等离子体中相对论电子的辐射减弱，这种效应发生在低频部分，p (  p )。在频率低于p时同步辐射谱由于相对论聚束效应的减弱而出现下降的这一效应叫Razin effect。 (5)、光学薄同步辐射源自身的不均匀性： 如相对论电子及磁场的不均匀性，如 ， ，不同壳层辐射叠加可产生c形谱。

75 同步辐射的自吸收 极端相对论电子在磁场中运动时，除产生同步辐射，还产生同步辐射自吸收。如辐射区线度足够大，相对论电子足够密，必须考虑电子对出射光子的吸收，这一过程可能显著改变同步辐射谱形。 设 表示单位体积中动量在 中的相对论电子数。 是沿给定方向的辐射强度。当辐射束穿过气体，使相对论电子产生感应吸收跃迁，从动量 的态1跃迁到动量p的态2，而使辐射减弱。如沿方向作一小圆柱体，具有单位底面积且与辐射束垂直、高为 ，则该柱体从辐射束中吸收的光子数为：

76 感应发射增加的光子数为： 考虑所有可能的感应吸收和感应发射跃迁，净吸收引起的强度减少为： 同步自吸收系数为： 将动量空间体元 改写为 ，则有：

77 Einstein系数关系式： 能量为的电子的同步辐射功率： 将同步辐射过程视为相对论电子在磁场中的自发跃迁过程， 通常电子速度为各向同性分布， ，由于相对论聚束效应，电子动量与发射光子的动量几乎平行， ，故：

78 由于辐射是低频射电光子， 所有电子的总密度 把电子动量谱变为电子能谱， 而

79 当频率下降时，吸收变大。对在低频呈光学厚的厚度为L的均匀介质层， 当频率足够低，使光深 ，
若相对论电子具有幂律能谱： (量级~1) 当频率下降时，吸收变大。对在低频呈光学厚的厚度为L的均匀介质层， 当频率足够低，使光深 ， 即出现低频倒转谱。与低频黑体谱谱形( )相比，光学厚的同步辐射源在低频有更陡的强度下降。

80 曲率辐射 强磁场中如没有持续不断的相对论电子的大量补充，同步辐射的重要性会变小，因为相对论电子寿命太短。
只要投射角(速度与磁场夹角)不太小，速度在平行和垂直磁场方向分量 和 都是相对论性的，同步辐射寿命 。对中子星，若取 ， ！ 仍保持相对论性，相对论电子在强磁场中沿弯曲磁力线运动，产生曲率辐射。

81 在磁力线弯曲情况下，相对论电子获得 的法向加速度， 是曲率半径。运动与辐射情况与磁场中圆轨道运动电子类似。
对同步辐射，基频 电子圆轨道半径 同步辐射的临界频率 一个沿曲率半径运动的相对论电子的曲率辐射的基频为： 曲率辐射的峰频： 能量是的电子沿曲率半径运动时曲率辐射的谱功率：

82 与同步辐射谱型类似，在低频端 ， 随频率单调上升，到达临界频率 附近， 随
指数下降。 但在低频端，曲率辐射 和电子能量无关，因为 。而同步辐射虽然也有同样形式，但 与有关，因基频 含有，所以 。 由于相对论聚束效应，曲率辐射也集中于沿电子运动方向狭小角锥内，半张角为 。 曲率辐射常用来解释脉冲星、类星体等天体的辐射现象。取中子星磁层半径 (磁力线曲率半径的量级)，曲率辐射基频为 。对 的极端相对论电子，曲率辐射峰频约 ，处于射线波段；对 的次级相对论电子， 处于射电波段。

83 相干的曲率辐射 相干辐射：N个带电粒子组成的辐射源其辐射强度超过单个粒子的辐射强度之和。 相干的同步辐射和曲率辐射过程在天体物理中非常重要。如蟹状星云脉冲星射电辐射亮温度~ K，必须用相干辐射机制解释。 存在两种相干辐射机制： (1)、“天线”机制：辐射粒子聚集成团束时所产生的相干性。各单个粒子辐射场相位之间存在确定的关系，如当各粒子辐射场同相位，总场强 ，总辐射强度 。此辐射机制和发射天线中各自由电子辐射之间的相干性是一样的。

84 (2)、天体“脉泽”机制：不要求粒子聚集成束，要求介质中粒子能量分布远离热平衡，出现粒子数反转，使介质吸收系数为负值。当波在介质中传播时，强度随距离指数增加。各粒子辐射间的确定相位关系是由辐射本身的作用造成的。 相干曲率辐射是天线机制： “粒子团束”是一沿粒子速度方向的直条“棒”，粒子在其中均匀分布，总粒子数为 。棒中各粒子有相同速度v, 相邻粒子间距远小于辐射波长 。可视为电荷连续分布，电荷线密度 ，总电荷 。 单位电荷辐射场：

85 观测点P总场强 对总场强作付氏分解 由于 l 观测点P的辐射能流： 其中

86 其中 直棒沿方向的总辐射强度 与单个电量为e的粒子在该方向的强度 之间的关系为： 其中 直棒条件下 ， 辐射频率低时， ， 相干强度远超过各粒子强度之和。条件 可写为 ，即辐射的低频波波长必须远大于棒长l。

87 在 条件下，除相干强度增大外，辐射谱型和单个电子的辐射谱型相同。
如不满足低频条件 ，即当 时，因子 因此，在 的高频端，总强度显著下降， 。由于以上因子和频率的关系，高频段谱型不再和单电子辐射谱( )相同，而出现振荡的谱型，极大值高度 ，极小值为0，频率位于 处(m=1,2,3…)。 相干强度公式存在一频率上 限，由 给 出临界相干频率：