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§5.7 哈密顿原理 (1)最速落径问题和变分法 数学上的变分法是为了解决最速落径这一力学问题而发展起来的。

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1 §5.7 哈密顿原理 (1)最速落径问题和变分法 数学上的变分法是为了解决最速落径这一力学问题而发展起来的。
§5.7 哈密顿原理 (1)最速落径问题和变分法 数学上的变分法是为了解决最速落径这一力学问题而发展起来的。 如图所示,铅直平面内在所有连接两个定点A和B的曲线中,找出一条曲线来,使得初速度为零的质点,在重力作用下,自A点沿它无摩擦地滑下时,以最短时间到达B点。 设曲线AB方程为y=y(x),质点沿曲线运动速度为 质点自A沿曲线y(x)自由滑至B点所需的时间 (1)

2 显然J的值与函数y(x)有关,最速落径问题就是求J的极值问题,即y(x)取什么函数时,函数J[y(x)]取极小值。J[y(x)]称为函数y(x)的泛函数。J[y(x)]取极值的条件为
(2) 算符δ称为变分记号。 变分运算法则和微分运算法则相似: (3)

3 (2)变分问题的欧拉方程 求泛函J[y(x)]的变分δJ = 0的条件: 为普遍起见,将(7.6)式改写 (4) 对上式求变分,令δJ=0:

4 (7.10)是泛函J[y(x)]取极值时函数y(x)必须满足条件,称为欧拉方程, 思考:欧拉方程形式上与拉格朗日方程有无区别?
因此, (5) (7.10)是泛函J[y(x)]取极值时函数y(x)必须满足条件,称为欧拉方程, 思考:欧拉方程形式上与拉格朗日方程有无区别? (3)哈密顿原理 一个具有s自由度的体系,它的运动由s个广义坐标 来描述。 在体系的s维位形空间中,这s个广义坐标的值确定体系的一个位形点, 随着时间的变动,位形点在位形空间描绘出体系的运动轨道。设在时刻 体系位于位形空间的 点和 点,相应的广义坐标为 (或缩写为 ), 点通向和 点有多种可能的轨道(路径),但体系运动的真实 轨道只能是其中的一条。如何从众多的可能轨道中挑选出体系运动的 真实轨道?即在 时间内,为何确定体系的s个广义坐标 ?

5 哈密顿原理提供了确定体系运动真实轨道的方法。
· 定义: 体系的拉格朗日函数在 内的积分 (6) 为哈密顿作用量(或主函数),是 的泛函数。 · 哈密顿原理 1843年哈密顿提出:对于一个保守系 的完整力学体系,其由动力学规律所决定 的真实运动轨道可由泛函数 取极值的条件 (7) 给出——哈密顿原理。 对于非保守系,哈密顿原理的数学表达式为

6 (8) 式中 为广义力。 由哈密顿原理可以导出拉格朗日方程、正则方程以及各种动力学方程,因此,哈密顿原理是力学的第一性原理或最高原理。在力学中凡能起“几何公里”作用,可由它导出全部力学定律的原理或假说,称为力学第一性原理或最高原理,如牛顿运动定律、虚功原理、达朗贝尔原理等都是力学第一性原理,所以力学第一性原理的表述形式是多种多样的,各有优缺点,但都是等价的。 7.3 正则变换 (1) 选好广义坐标的重要性 选取不同的广义坐标,所得的微分方程的形式不同,求解方程的难易程度不同。如果选取的广义坐标使H函数中能多出现一些循环坐标,就能在正则方程中多得出一些积分,对微分方程的求解就更有利,否则微分方程的求解就变得十分困难,因此,为何选取广义坐标是理论力学中最富技术性的环节。

7 (2)正则坐标变换的目的和条件 正则坐标变换(正则变换)的理论,就是寻找最佳坐标,使H函数中出现更多的循环坐标,求解微分方程组变得更容易的方法。 设原来的正则变量为p、q,通过变量变换新的正则变量为P、Q,它们的变换关系为 (7.14) 如果变换后,新的哈密顿函数 仍然满足正则方程 (7.15) 满足(7.15)式子的正则坐标变换称为正则变换。 满足正则变换(7.15)式的具体条件(证明见P )是: (7.16) 式中F为正则变换母函数。

8 由(7.16)式可得 (7.17) (7.18) 以上二式表明:由 时, 可任意规定; 规定后, 规定,F由 来选取, 来确定。 (3)四种不同类型的正则变换 (7.16)式是正则变换的一种形式,是以(q,Q)为独立变量的形式,对应的母函数F(q,Q,t)为第一类正则变换母函数。也可以(q,P),(p,Q),(p,P)为独立变量。

9 ① 第一类正则变换 (7.19) ② 第二类正则变换 ③ 第二类正则变换

10 ④ 第二类正则变换 (4)正则变换的关键 若变换后新哈密顿函数只是变量 及t的函数,即 则由(7.15)式知 =常数

11 可得力学体系2s个运动积分,于是体系的运动问题就完全解决了。体系能否有2s积分,全靠母函数F规定得如何而定,所以体系的运动微分方程的积分,从正则变换的眼光看,就变成为何寻找合适的母函数F的问题了,F规定适当,变换后出现很多循环坐标,问题即可大为简化。 [例1] 用正则变换法求平面谐振子的运动 解:设振子沿x,y方向的动量为 ,振 动频率为 ,哈密顿函数为 设母函数 由(7.19)式,得 (2)

12 将(3)式中的 表示代入(1)中,得 (4) (5) 由(7.15)式,得 (6) 积分得 (7) 积分常数 由起始条件决定。

13 由(3)式得振子运动方程 (8) 7.4 哈密顿——雅可比方程 (1)方程的推导 通过正则变换可使新的哈密顿函数 结构简化,从而使正则方程
易于求解。最理想的情况是 ,这时 (常数), (常数)。

14 的结构形式与母函数F有关。在四类正则变换中,母函数和新旧
哈密顿函数的关系为 (7.23) 取第二类母函数 ,则由(7.20)式得 (7.24) 并根据 =0的要求,令 ,则(7.23)式为 (7.25) 由(7.25)式知:如果F(q,t)是方程的解,则 (常数) (7.26) 也是方程的解,故(7.25)式可改写成 (7.27)

15 (7.27)式称为哈密顿——雅可比方程,其中S(q,t)称为哈密顿主函数。
求出 ,由 求出 ,就可得出正则方程的全部积分了。这样, 正则方程的求解问题归纳为为何从哈密顿——雅可比方程(7.27)式求S的 问题。 (2)方程的解 为简单起见,设H=E(常数),即讨论能量守恒或广义能量守恒 问题的求解。 哈——雅方程为 (7.28) 由于上式是包含s个q和t的变量的偏微分方程,故对t积分后得 (7.29) 式中 称为哈密顿特征函数,将

16 (7.30) 代入关系H=E,得 (7.31) 从(7.31)式可解得W,再代入(7.29)式,就可得到H=E体系的哈密顿——雅可比方程的解,于是正则方程的求解又归结到从(7.31)式中求特征函数W的问题了。通常采用“分离变量法”求(7.31)的解。 7.5 解题指导 (1)习题类型及基本解法 哈密顿理论的三个重力学方程(正则方程、哈密顿原理、雅可比方程) 主要用于建立体系的动力学方程,这是本章习题内容和类型。 基本解法:将体系的拉格朗日函数L或哈密顿函数H代入相应的方程即得 体系的运动微分方程。解起的要点和步骤是:

17 ① 析体系约束类型,主动力性质; ② 确定自由度,选择适当的广义坐标; ③ 正确写出体系的L函数和H函数; ④ 将L或H代入相应的哈密顿理论的动力学方程,并进行运算,可 得出体系的运动微分方程; ⑤ 方程,出要求的量。 ⑵ 范例 [例1] 用哈密顿原理建立开普问题的动力学方程。 解:用极坐标描述开普勒问题较方便。自由度为2,以r,Q为 广义坐标,拉格朗日函数为

18 代入哈密顿原理表达式,得

19 [例2] 用哈密顿—雅可比方程解开普勒问题。
解:开普勒问题能量守恒,其哈密顿-雅可比方程形式为 (1) 哈密顿函数 (2) ,代入(2)和(1)得哈密顿—雅可比方程为 (3)

20 求出方程(3)的解,代入 (4) 可得 乘(3)式两边,并移项得 (5) 用分离变量法求解,令 (6)

21 将(6)代入(5)得 (7) 上式左边只是r的函数,右边只是θ的函数,要使其对任意的r、θ都成立, 来表示,由此可得 (8) (9) 积分(8)式得 (10) (9)式可改写为

22 所以 (11) 将(10)、(11)代入(6),最后得方程(3)的解: (12) 将(12)代入(7.19)得 上式中的 为积分常数 ,适当选取坐标原点,总可令 ,于是得 (13)

23 ,则(13)式可改写为 (14) 这正是开普勒问题的轨道方程。 (15) 这就是开普勒问题的运动方程r=r(t)的积分表示式,再将(15)和(14) 联立起来即可解得θ=θ(t)。

24

25 第五章

26 试求对应于θ1、θ2的广义力Q1、Q2。 因此,系统所有主动力的虚功为 第五章

27 1.笛卡儿直角坐标:为了研究物体在三维空间的位置、速度和加速度而引入的坐标。
坐标的发展历史 1.笛卡儿直角坐标:为了研究物体在三维空间的位置、速度和加速度而引入的坐标。 2.极坐标、柱坐标和球坐标:用两个或三个变量来反映物体在平面或空间的位置。 从直角坐标到极坐标、柱坐标和球坐标等曲线坐标是坐标历史上的第一次飞跃。 3.广义坐标。反映力学体系在空间位形的独立变量被称为广义坐标。它是拉格朗日方程建立的基础和优越性所在,也是分析力学的基础。 坐标概念的第二次飞跃。 第五章

28 正则共轭坐标是坐标概念的第三次飞跃。 3.正则共轭坐标
在保持广义坐标的定义和广义动量的定义不变的基础上,对也不做任何限制,可以使与保持相互独立,因而可以以二者为坐标来描述力学体系的状态,这样的一组坐标就被称为正则共轭坐标。 第五章

29                                                                             式中                                                         是体系的广义能量。由                                可以解出                     ,故H是p、q、t的函数,表征体系的状态,称为哈密顿函数。     若L不显含t,并且约束是稳定的,体系的 能量守恒,则                                                       第五章

30 (2)哈密顿正则方程 哈密顿函数H=H(p,q,t)的全微分为 (7. 3) 比较(7. 2)和(7. 3)式,得 (7. 4) (7
(2)哈密顿正则方程      哈密顿函数H=H(p,q,t)的全微分为                                                                   (7.3) 比较(7.2)和(7.3)式,得                                                             (7.4)                                              (7.5)              (7.4)式称为保守系的哈密顿正则方程,它是2s个一阶微分方程,形式对称、结构紧凑。 第五章

31 [例2] 写出粒子在等角速度转动参考系中的H函数和正则方程。 解:取图7. 3所示的转动参考系。粒 子的L函数为(参见5
第五章

32 正则方程为 (6) 将 代入上式中的第二式,可得粒子的动力学方程
正则方程为                                                      (6) 将 代入上式中的第二式,可得粒子的动力学方程                                                                        第五章

33 第五章

34 第五章

35 第五章

36 第五章


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