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§5.7 哈密顿原理 (1)最速落径问题和变分法 数学上的变分法是为了解决最速落径这一力学问题而发展起来的。
§5.7 哈密顿原理 (1)最速落径问题和变分法 数学上的变分法是为了解决最速落径这一力学问题而发展起来的。 如图所示,铅直平面内在所有连接两个定点A和B的曲线中,找出一条曲线来,使得初速度为零的质点,在重力作用下,自A点沿它无摩擦地滑下时,以最短时间到达B点。 设曲线AB方程为y=y(x),质点沿曲线运动速度为 质点自A沿曲线y(x)自由滑至B点所需的时间 (1)
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显然J的值与函数y(x)有关,最速落径问题就是求J的极值问题,即y(x)取什么函数时,函数J[y(x)]取极小值。J[y(x)]称为函数y(x)的泛函数。J[y(x)]取极值的条件为
(2) 算符δ称为变分记号。 变分运算法则和微分运算法则相似: (3)
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(2)变分问题的欧拉方程 求泛函J[y(x)]的变分δJ = 0的条件: 为普遍起见,将(7.6)式改写 (4) 对上式求变分,令δJ=0:
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(7.10)是泛函J[y(x)]取极值时函数y(x)必须满足条件,称为欧拉方程, 思考:欧拉方程形式上与拉格朗日方程有无区别?
因此, (5) (7.10)是泛函J[y(x)]取极值时函数y(x)必须满足条件,称为欧拉方程, 思考:欧拉方程形式上与拉格朗日方程有无区别? (3)哈密顿原理 一个具有s自由度的体系,它的运动由s个广义坐标 来描述。 在体系的s维位形空间中,这s个广义坐标的值确定体系的一个位形点, 随着时间的变动,位形点在位形空间描绘出体系的运动轨道。设在时刻 和 体系位于位形空间的 点和 点,相应的广义坐标为 (或缩写为 ), 由 点通向和 点有多种可能的轨道(路径),但体系运动的真实 轨道只能是其中的一条。如何从众多的可能轨道中挑选出体系运动的 真实轨道?即在 时间内,为何确定体系的s个广义坐标 ?
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哈密顿原理提供了确定体系运动真实轨道的方法。
· 定义: 体系的拉格朗日函数在 内的积分 (6) 为哈密顿作用量(或主函数),是 的泛函数。 · 哈密顿原理 1843年哈密顿提出:对于一个保守系 的完整力学体系,其由动力学规律所决定 的真实运动轨道可由泛函数 取极值的条件 (7) 给出——哈密顿原理。 对于非保守系,哈密顿原理的数学表达式为
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(8) 式中 为广义力。 由哈密顿原理可以导出拉格朗日方程、正则方程以及各种动力学方程,因此,哈密顿原理是力学的第一性原理或最高原理。在力学中凡能起“几何公里”作用,可由它导出全部力学定律的原理或假说,称为力学第一性原理或最高原理,如牛顿运动定律、虚功原理、达朗贝尔原理等都是力学第一性原理,所以力学第一性原理的表述形式是多种多样的,各有优缺点,但都是等价的。 7.3 正则变换 (1) 选好广义坐标的重要性 选取不同的广义坐标,所得的微分方程的形式不同,求解方程的难易程度不同。如果选取的广义坐标使H函数中能多出现一些循环坐标,就能在正则方程中多得出一些积分,对微分方程的求解就更有利,否则微分方程的求解就变得十分困难,因此,为何选取广义坐标是理论力学中最富技术性的环节。
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(2)正则坐标变换的目的和条件 正则坐标变换(正则变换)的理论,就是寻找最佳坐标,使H函数中出现更多的循环坐标,求解微分方程组变得更容易的方法。 设原来的正则变量为p、q,通过变量变换新的正则变量为P、Q,它们的变换关系为 (7.14) 如果变换后,新的哈密顿函数 仍然满足正则方程 (7.15) 满足(7.15)式子的正则坐标变换称为正则变换。 满足正则变换(7.15)式的具体条件(证明见P )是: (7.16) 式中F为正则变换母函数。
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由(7.16)式可得 (7.17) (7.18) 以上二式表明:由 时, 可任意规定; 规定后, 则 由 规定,F由 来选取, 来确定。 (3)四种不同类型的正则变换 (7.16)式是正则变换的一种形式,是以(q,Q)为独立变量的形式,对应的母函数F(q,Q,t)为第一类正则变换母函数。也可以(q,P),(p,Q),(p,P)为独立变量。
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① 第一类正则变换 (7.19) ② 第二类正则变换 ③ 第二类正则变换
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④ 第二类正则变换 (4)正则变换的关键 若变换后新哈密顿函数只是变量 及t的函数,即 则由(7.15)式知 =常数 ∴
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可得力学体系2s个运动积分,于是体系的运动问题就完全解决了。体系能否有2s积分,全靠母函数F规定得如何而定,所以体系的运动微分方程的积分,从正则变换的眼光看,就变成为何寻找合适的母函数F的问题了,F规定适当,变换后出现很多循环坐标,问题即可大为简化。 [例1] 用正则变换法求平面谐振子的运动 解:设振子沿x,y方向的动量为 ,振 动频率为 ,哈密顿函数为 设母函数 由(7.19)式,得 (2)
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将(3)式中的 及 表示代入(1)中,得 (4) (5) 由(7.15)式,得 (6) 积分得 (7) 积分常数 由起始条件决定。
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由(3)式得振子运动方程 (8) 7.4 哈密顿——雅可比方程 (1)方程的推导 通过正则变换可使新的哈密顿函数 结构简化,从而使正则方程
易于求解。最理想的情况是 ,这时 (常数), (常数)。
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的结构形式与母函数F有关。在四类正则变换中,母函数和新旧
哈密顿函数的关系为 (7.23) 取第二类母函数 ,则由(7.20)式得 (7.24) 并根据 =0的要求,令 ,则(7.23)式为 (7.25) 由(7.25)式知:如果F(q,t)是方程的解,则 (常数) (7.26) 也是方程的解,故(7.25)式可改写成 (7.27)
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(7.27)式称为哈密顿——雅可比方程,其中S(q,t)称为哈密顿主函数。
求出 ,由 求出 ,就可得出正则方程的全部积分了。这样, 正则方程的求解问题归纳为为何从哈密顿——雅可比方程(7.27)式求S的 问题。 (2)方程的解 为简单起见,设H=E(常数),即讨论能量守恒或广义能量守恒 问题的求解。 哈——雅方程为 (7.28) 由于上式是包含s个q和t的变量的偏微分方程,故对t积分后得 (7.29) 式中 称为哈密顿特征函数,将
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(7.30) 代入关系H=E,得 (7.31) 从(7.31)式可解得W,再代入(7.29)式,就可得到H=E体系的哈密顿——雅可比方程的解,于是正则方程的求解又归结到从(7.31)式中求特征函数W的问题了。通常采用“分离变量法”求(7.31)的解。 7.5 解题指导 (1)习题类型及基本解法 哈密顿理论的三个重力学方程(正则方程、哈密顿原理、雅可比方程) 主要用于建立体系的动力学方程,这是本章习题内容和类型。 基本解法:将体系的拉格朗日函数L或哈密顿函数H代入相应的方程即得 体系的运动微分方程。解起的要点和步骤是:
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① 析体系约束类型,主动力性质; ② 确定自由度,选择适当的广义坐标; ③ 正确写出体系的L函数和H函数; ④ 将L或H代入相应的哈密顿理论的动力学方程,并进行运算,可 得出体系的运动微分方程; ⑤ 方程,出要求的量。 ⑵ 范例 [例1] 用哈密顿原理建立开普问题的动力学方程。 解:用极坐标描述开普勒问题较方便。自由度为2,以r,Q为 广义坐标,拉格朗日函数为
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代入哈密顿原理表达式,得
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[例2] 用哈密顿—雅可比方程解开普勒问题。
解:开普勒问题能量守恒,其哈密顿-雅可比方程形式为 (1) 哈密顿函数 (2) 由 ,代入(2)和(1)得哈密顿—雅可比方程为 (3)
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求出方程(3)的解,代入 (4) 可得 用 乘(3)式两边,并移项得 (5) 用分离变量法求解,令 (6)
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将(6)代入(5)得 (7) 上式左边只是r的函数,右边只是θ的函数,要使其对任意的r、θ都成立, 来表示,由此可得 (8) (9) 积分(8)式得 (10) (9)式可改写为
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所以 (11) 将(10)、(11)代入(6),最后得方程(3)的解: (12) 将(12)代入(7.19)得 上式中的 为积分常数 ,适当选取坐标原点,总可令 ,于是得 (13)
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令 ,则(13)式可改写为 (14) 这正是开普勒问题的轨道方程。 (15) 这就是开普勒问题的运动方程r=r(t)的积分表示式,再将(15)和(14) 联立起来即可解得θ=θ(t)。
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第五章
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试求对应于θ1、θ2的广义力Q1、Q2。 因此,系统所有主动力的虚功为 第五章
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1.笛卡儿直角坐标:为了研究物体在三维空间的位置、速度和加速度而引入的坐标。
坐标的发展历史 1.笛卡儿直角坐标:为了研究物体在三维空间的位置、速度和加速度而引入的坐标。 2.极坐标、柱坐标和球坐标:用两个或三个变量来反映物体在平面或空间的位置。 从直角坐标到极坐标、柱坐标和球坐标等曲线坐标是坐标历史上的第一次飞跃。 3.广义坐标。反映力学体系在空间位形的独立变量被称为广义坐标。它是拉格朗日方程建立的基础和优越性所在,也是分析力学的基础。 坐标概念的第二次飞跃。 第五章
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正则共轭坐标是坐标概念的第三次飞跃。 3.正则共轭坐标
在保持广义坐标的定义和广义动量的定义不变的基础上,对也不做任何限制,可以使与保持相互独立,因而可以以二者为坐标来描述力学体系的状态,这样的一组坐标就被称为正则共轭坐标。 第五章
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式中 是体系的广义能量。由 可以解出 ,故H是p、q、t的函数,表征体系的状态,称为哈密顿函数。 若L不显含t,并且约束是稳定的,体系的 能量守恒,则 第五章
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(2)哈密顿正则方程 哈密顿函数H=H(p,q,t)的全微分为 (7. 3) 比较(7. 2)和(7. 3)式,得 (7. 4) (7
(2)哈密顿正则方程 哈密顿函数H=H(p,q,t)的全微分为 (7.3) 比较(7.2)和(7.3)式,得 (7.4) (7.5) (7.4)式称为保守系的哈密顿正则方程,它是2s个一阶微分方程,形式对称、结构紧凑。 第五章
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[例2] 写出粒子在等角速度转动参考系中的H函数和正则方程。 解:取图7. 3所示的转动参考系。粒 子的L函数为(参见5
第五章
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正则方程为 (6) 将 代入上式中的第二式,可得粒子的动力学方程
正则方程为 (6) 将 代入上式中的第二式,可得粒子的动力学方程 第五章
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