陈信义 编 2005.1 狭义相对论（二） 相对论动力学.

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1 陈信义 编 狭义相对论（二） 相对论动力学

2 目 录 §8 四维动量 质量 §9 质能关系 能量—动量关系 §10 相对论粒子动力学方程 §11四维动量守恒和不变量的应用 §12 力的相对论变换 §13 广义相对论简介

3 任何物理体系的动力学方程都是基本假定，只能通过实验事实和更普遍的假定来建立或猜想。
当然，建立的动力学方程是否正确，还要通过实验结果来检验。 相对论粒子的动力学方程，应该如何建立呢？

4 §8 四维动量 质量 一、对方程的基本要求 1、速度v << c 时返回牛顿方程 方程基本形式： 力矢量＝动量矢量的时间变化率 2、满足爱因斯坦相对性原理 在不同惯性系中方程形式相同。 方程在洛仑兹变换下形式不变，具有洛仑兹变换协变对称性。

5 v S 参考系和粒子参考系： m0 m0 原时是不变量 dt =t 2- t 1 静质量 m0是不变量 测时 dt = t2 - t1
dr r1(t1) r2(t2) v 原时是不变量 dt =t 2- t 1 （粒子运动引起） 静质量 m0是不变量 测时 dt = t2 - t1

6 二、方程的形式 在S 系中，假定方程为 其中 为原时， 代表动量矢量， 代表力矢量。 形式上满足 力矢量＝动量矢量的时间变化率 如何保证具有洛仑兹变换协变对称性？

7 只要 是四维矢量—四维动量，方程就一定协变。
原时 “力等于四维动量对原时微商” 因为 为不变量，四维动量的微分仍为四维矢量，所以方程右侧是四维矢量 —保证协变 【思考】方程还有其它形式吗？ 下面寻找四维动量的具体形式。

8 v 三、四维动量的形式 m0 在S系中定义 ：静质量， ：原时 ：三维动量 低速牛顿动量 — 动量的四维矢量形式
dr r1(t1) r2(t2) v S 参考系 在S系中定义 ：静质量， ：原时 ：三维动量 低速牛顿动量 — 动量的四维矢量形式 【思考】四维动量还有其它形式吗？

9 相对论粒子动力学方程的形式： 其中 由此可得：质量的概念、质能关系……

10 四、质量概念的形成 dt＝ dt / g0 （S参考系） 当粒子低速运动时，g0 1，m m0 . 应该理解为S系中测量的粒子质量。 质量取成 m = 0 m0 的形式是协变性的要求。

11 粒子的质量与粒子相对测量质量的参考系的运动速率v 有关
代表粒子的静质量。 粒子的质量与粒子相对测量质量的参考系的运动速率v 有关 其中， 1、实物粒子(m0  0)的速度不能超过真空中的光速。 S 参考系 m0 m 2、静质量为零粒子的速度可以等于真空中的光速。

12 质量随速率的变化 实验数据：

13 §9 质能关系 能量—动量关系 下面证明 ，E为粒子总能量。 证明： 考虑不变量 （S系） （粒子系）

14 其中 代表三维力，是三维动量对测时的微商。
因E为粒子总能量，则 (m0不变） 代入 ，得 ，积分得 选择能量零点K=0，即得 。

15 结论：协变性要求粒子的动量表达成四维动量
或写成

16 一、质能关系 由 得质能关系 一定的能量相当于一定的质量，只差因子c2. 称 m0c2 为粒子的静能量。 粒子的静质量一般用静能量表示 电子 Mev/c2 质子 Mev/c2 中子 Mev/c2 氘核 Mev/c2

17 重核裂变 质量亏损 裂变能

18 【例】氘核的结合能 + -EB 结合能

19 二、能量—动量关系 由不变量 ，得能量—动量关系： （S系） （粒子系） E pc m0 c2

20 1、静质量为零的粒子以光速运动 2、光子的动量和质量 其中 代表光子的频率。 【思考】带电粒子的速度能达到光速吗？

21 三、相对论动能 为与实验比较，改写成 对于 情况

22 贝托齐电子极限速率实验（1962） 测时间 t 曲线 作

23 － ＋ 实验结果： 电子极限速度等于真空中的光速

24 四、动量和能量的相对论变换 由四维动量的洛仑兹变换，得 （参考系相对运动） — 在变换中，动量和能量是相联系的。

25 §10 相对论粒子动力学方程 一、四维力和三维力的关系 （粒子运动） 四维力用三维力表示为 三维力 四维力

26 二、相对论粒子动力学方程 力用三维力表示，动力学方程为 或 上式为动能定理（m0保持不变的情况）。 【思考】这里的 ，与牛顿方程的区别？

27 三、三维力与加速度的关系 F n t a v m 1、力和加速度不同向； 2、速率越大，增大速率越困难。 3、法向关系与牛顿力学类似。

28 证明： 其中 和 分别代表法向和切向加速度。

29 三维力与加速度的关系还可表示成 证明：

30 §11 四维动量守恒和不变量的应用 一、四维动量守恒 ，则四维动量 不 若粒子受合外力 随时间变化 —四维动量守恒： 动量 和能量 守恒 【思考】对于多粒子体系上述守恒定律成立吗？

31 实验表明： 对于不受外界影响的多粒子体系所经历的过程(包括不能用力的概念描述的过程，例如衰变、裂变、产生新粒子等)，体系的四维动量守恒。或者说，体系的总动量和总能量守恒。 相对论动力学的研究对象主要是不受外界影响的粒子体系。动力学方程通常表现为体系的四维动量守恒的形式。

32 以下述过程为例 粒子的四维动量为 体系的四维动量守恒是指： 在同一参考系中 或者表示成总动量和总能量守恒

33 二、不变量的应用 由体系的四维动量守恒可知： 反应前后体系四维动量的不变量相等，即体系四维动量的四个分量的平方和相等。 因为不变量与参考系无关，而四维动量守恒要涉及参考系的变换，所以对于复杂的反应过程，用不变量要比用四维动量守恒更简单。

34 【例】高能粒子碰撞中的资用能：可以用于粒子转化的能量。对于
(1) 求当靶静止时的资用能； (2) 求对撞时的资用能； (3) 哪种碰撞更有效？ A1+ A2 B 设加速粒子的动能为Ek（>>mc2，粒子的静能） 解. 简单反应，应用动量、能量守恒计算

35 得到资用能（ Ek>>mc2 ）：
1、靶静止情况 Ek M 复合粒子 m —资用能， —浪费掉了。 碰撞前： 碰撞后： 应用动量、能量守恒： 得到资用能（ Ek>>mc2 ）：

36 2、对撞情况 M m Ek 资用能： 3、对撞比靶静止更有效

37 欧洲核子中心（CERN）用270Gev质子轰击静止质子（mc2  1Gev）,
资用能仅为： 1982年改为用270Gev质子-反质子对撞，资用能增大到 相当于静止靶情况的23倍，有利于产生新粒子。 因此，在这台对撞机上发现了W和Z0粒子，证实了弱电统一理论。(C.Rubbia, S.van der Meer, 诺贝尔物理学奖)

38 欧洲核子中心 CERN

39 宇宙诞生后的百万分之几秒内，曾存在一种“夸克-胶子等离子体”物质。在夸克-胶子等离子体中，夸克和胶子等基本粒子处于自由状态。它们随宇宙的冷却结合成质子和中子等亚原子粒子，后者又形成原子核，最终产生原子以及今天的宇宙万物。 美国布鲁克海文国家实验室（BNL）通过金原子核对撞，试图获得夸克-胶子等离子体，并宣布找到了这种物质存在的新证据。

40 【例】两个静质量为m的粒子A1和A2碰撞产生静质量为 M（>>m ）的新粒子B的反应为
A1+ A2 A1+ A2+ B 当所有产物粒子相对静止时，用于加速粒子的能量最小。求加速粒子的最小能量 (1) 靶 A2静止情况； (2) 对撞情况。 解. 复杂反应，用反应前后不变量相等计算。 反应前的不变量在实验室系计算， 反应后的不变量在粒子系计算。

41 （1） 靶 A2 静止情况 反应前（实验室系）： 反应后（粒子系）： 不变量： （反应前） （反应后）

42 靶静止，为产生新粒子加速粒子的最小能量为
(2) 对撞情况 反应前（实验室系）： 反应后（粒子系）：

43 对撞情况加速粒子最小能量为 为产生同样反应效果，采用对撞更有效 例如，对于北京正负电子对撞机 电子 新粒子

44 §12 力(三维力)的相对论变换 x S F 力为 x S v u F=? 在S系观测 由四维力的洛仑兹变换，求三维力的变换。

45 四维力和三维力的关系： S 系 S 系

46 四维力的洛仑兹变换： S 系 （参考系运动）

47 三维力的变换： ？

48 其中 （粒子运动） （参考系运动）

49 证明： 因 是不变量，则

50 代入 ，可得到三维力 的相对论变换。

51 三维力的相对论变换 (SS′系) －S 相对S的速度 －S 系粒子速度的 x 方向分量

52 三维力的相对论变换 (S′S系) －S 系粒子速度的 x 方向分量 －S 相对S的速度

53 一个重要情况 粒子在 S 系中静止 v' = 0, 受力为 F 则粒子在S系中受力为 纵向力不变，横向力减小到1/ .

54 【思考】定义四维速度，再由四维速度的洛仑兹变换，求出三维速度的相对论变换。
S u q r 【例】 S 系：静电力 S 系：由三维力的相对论变换 这正是电力加磁力的电磁学结果。 【思考】定义四维速度，再由四维速度的洛仑兹变换，求出三维速度的相对论变换。

55 对相对论质点动力学方程的讨论 洛仑兹协变性要求 满足力的相对论变换。 1、牛顿力学中的力，例如弹力、摩擦力等，不满足相对论变换。 它们满足伽利略变换，所以只能出现在牛顿方程中 因此，不能用相对论质点动力学方程去求解牛顿力学中的变质量问题。

56 满足力的相对论变换。 2、电磁学方程是洛仑兹协变的。所以要求带电粒子在电磁场中运动所受的洛仑兹力 因此，只有当力为洛仑兹力时， 才具有通常动力学方程的意义。 3、相对论动力学方程通常表现为四维动量守恒的形式。因此，已知力求粒子运动的问题不占主要地位。

57 【思考】定义四维速度，再由四维速度的洛仑兹变换，求出三维速度的相对论变换。
四维速度： 三维速度 原时 四维速度的洛仑兹变换：

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59 得三维速度的相对论变换：

60 §13 广义相对论（引力的时空理论）简介 一、等效原理和局域惯性系 1、严格的惯性系 自由粒子总保持静止或匀速直线运动状态的参考系，是严格的惯性系。 无引力场的区域，才是严格的惯性系！ 例如，太空中远离任何物体的区域。 但参考系由其他物体群构成。这样，自由粒子将不复存在，惯性系的定义出现了问题！ 在引力场中，存在严格的惯性系吗？

61 2、等效原理和局域惯性系 失重现象 加速度和引力等效

62 “加速度产生的惯性力”与“真实的引力”等价。
–mI g 地球 自由下落的小电梯 g mg g mI,mg 惯性力  “加速度产生的惯性力”与“真实的引力”等价。 参考系的加速度和引力场等效。 等效原理： 引力 引力被惯性力精确抵消，自由下落的电梯内的区域无引力场。 因此，它与一个没有引力场、没有加速度的惯性系等效，任何物理实验都不能把二者区分开 小电梯是一个“局域惯性系”。 【思考】电梯为什么要小？

63 而航天飞机相对恒星参考系有加速度，不是惯性系。 牛顿观点：
例：在引力场中自由飞行的航天飞机 引力 惯性力 恒星 恒星参考系是惯性系。 而航天飞机相对恒星参考系有加速度，不是惯性系。 牛顿观点： 恒星参考系有引力，不是惯性系。而航天飞机内惯性力和引力抵消可以看成不受力，是局域惯性系。 广义相对论观点：

64 在宇宙飞船中 在每一事件的时空点的邻域内，都存在一个局域惯性系，即与在引力场中自由降落的粒子共动的参考系。在此局域惯性系中，一切物理定律服从狭义相对论（如光速不变，时间延迟，长度收缩等）。 “强等效原理”：

65 在引力场中发生的物理过程，在远处（无引力）观察，其时间节奏比当地的原时慢，其空间距离比当地的原长短
二、引力和时空 在引力场中发生的物理过程，在远处（无引力）观察，其时间节奏比当地的原时慢，其空间距离比当地的原长短  “时缓尺缩”效应。 dt,dl O 设一匀速转动的圆盘，边缘处惯性离心力较大，引力场较强。 在t内，边缘相对O点可看成以速度v的匀速 直线运动。 由狭义相对论

66 圆周长 < 2R 引力使空间成为非欧几里德的空间弯曲 引力场中时间－空间（四维空间）弯曲， 引力场越强，弯曲越严重。 周长收缩
时间膨胀 圆周长 < 2R 引力使空间成为非欧几里德的空间弯曲 大质量天体 引力场中时间－空间（四维空间）弯曲， 引力场越强，弯曲越严重。

67 在引力场中，光线象粒子被引力加速一样，变弯曲了。
三、广义相对论预言的几个可观察效应 1、光线的引力偏转 光线按最短路线（短程线）行进，因此 光线 在引力场中，光线象粒子被引力加速一样，变弯曲了。 大质量天体

68 日全食时拍摄太阳附近的星空照片， 可测出 星光的偏折角。  * 爱因斯坦预言星光偏转角为 1.75。
S 星的实际位置 * 星的视觉位置  爱因斯坦预言星光偏转角为 1.75。 1919年爱丁顿(Eddington)等测得 1.98  0.16。 1973年光学测量结果是 1.60  0.13。 近年用射电天文技术测得 1.761  0.016。

69 在惯性系中时空平直，而在引力场（非惯性系）中时空弯曲。
光束在引力场中弯曲，还可解释如下： 时刻1 g 2 g 光束 3 g 局域惯性系 光束直线传播 4 g ？ 引力场 在惯性系中时空平直，而在引力场（非惯性系）中时空弯曲。

70 太阳引力使回波时间加长，称为雷达回波延迟。地球与水星间的雷达回波最大时间差可达240s。
2、雷达回波延迟 由于时缓尺缩效应，引力场中光速减小。 1964年，夏皮罗（Shapiro）提出一个方法，由地球发射雷达脉冲，到达行星后返回地球，测量信号往返时间，比较雷达波远离太阳和靠近太阳两种情况下，回波时间的差异。 太阳引力使回波时间加长，称为雷达回波延迟。地球与水星间的雷达回波最大时间差可达240s。 到上世纪70年代末，测量值与理论值之间的差约为1%，80年代利用火星表面的“海盗着陆舱”进行测量，不确定度降到了0.1%。

71 3、引力红移 在没有引力的情况下，每种元素辐射谱线的频率是确定的。 而在引力场中，由于时缓效应，谱线的频率变小，这称为引力红移。 1961测太阳光谱中钠5896Å谱线的引力红移，结果与理论偏离小于5％。 1971测太阳光谱中钾7699Å谱线的引力红移，结果与理论偏离小于6％。

72 1959年，庞德(R.V.Pound )和瑞布卡(Q.A.Rebka )在哈佛塔做了一个实验，
地面附近的引力红移效应更为微弱。 1959年，庞德(R.V.Pound )和瑞布卡(Q.A.Rebka )在哈佛塔做了一个实验， 他们把发射14.4keV的光子的57Co放射源放在高度为H＝22.6m的塔顶，在塔底测量它射来的光子的频率，发现比在塔顶的频率0高了。 H 0  实验结果为 理论值： 【思考】光子的质量为h/c2，试用牛顿力学解释上述结果。

73 4、水星近日点的进动 按严格平方反比律计算，行星轨道为闭合椭圆。 但实际天文学观测表明，行星轨道并不是严格闭合的，而是绕近日点有进动。 按牛顿力学，考虑坐标系的岁差、其它行星的摄动，水星近日点的进动为每世纪 观测值： 如果考虑空间弯曲对平方反 比律的修正，得 = ，和观测值相符得非常好。

74 设一飞船自无限远，由静止向星球自由降落。
四、黑洞（black hole） 设一飞船自无限远，由静止向星球自由降落。 M r v m

75 rs 称为史瓦西半径（Schwarzschild radius）。
dt = ，dr = 0  这表明，在远离引力源处观察，离引力中心 rs 远处，任何过程（包括光的运动）都进行得无限缓慢（凝滞不动）。 rs 称为史瓦西半径（Schwarzschild radius）。

76 · r  rs r = rs 的球面称为视界（horizon）。 rs r 当 时，逃逸速度： 任何物体（包括光）都逃不出去 黑洞。
当 时，逃逸速度： r  rs r rs 任何物体（包括光）都逃不出去 黑洞。 r = rs 的球面称为视界（horizon）。 地球： rs = 8.8 ╳ m < 1cm 太阳：rs = 3.0 ╳ 10 3 m 质量 M  (2  3) M⊙时， 才可能形成黑洞， 此时rs  10 km 。

77 黑洞拉伸、撕裂并吞噬一小部分恒星，最终将恒星大部分质量抛向宇宙空间的模拟过程图。

78 恒星演化的晚期，其核心部分经过核反应 T ∼ 6109K， 各类中微子过程都能够发生， 中微子将核心区的能量迅速带走 引力坍缩  强冲击波  外层物质抛射或超新星爆发  致密天体 （白矮星、中子星、黑洞） “黑洞”不“黑”：1974年，霍金结合量子力学和相对论，指出黑洞并非全黑—黑洞能够辐射，这就是著名的霍金辐射。黑洞在辐射过程中，将能量辐射出去，这意味着黑洞将逐渐缩小，最后在爆炸中结束生命。

79 天文学家还发现，黑洞吸引其他恒星的物质，不是一下子就吸引过去，而是在看不见的周围形成一个会转的物质盘(叫做吸积盘)。另外一个恒星的物质是先打到这个盘上去，盘上的物质才像螺旋一样进入黑洞。
霍金原先的计算显示，黑洞蒸发完全属于热效应，它不应该包含任何信息。当黑洞变得越来越小，最后蒸发到没有时，就意味着已经丢失了全部信息。 但霍金的理论同“信息守恒定律”矛盾，一度被人们称为“黑洞悖论”。

80 但是现在霍金认为，信息进入了黑洞后还是能出来的。只是物质被吸进去以后，黑洞把信息都打散了，不再是原来的样子，面目全非。目前很多科学家都在研究被黑洞重组之后出来信息以何种方式释放。
为验证广义相对论，2004年4月20日美国发射“引力探测器B”卫星。 黑洞视频：