数学分析 江西财经大学 统计学院 2012级 密码: sxfx2012

Presentation on theme: "数学分析 江西财经大学 统计学院 2012级 密码: sxfx2012"— Presentation transcript:

1 数学分析 江西财经大学 统计学院 2012级 公共邮箱：jcsxfx2012@163.com 密码: sxfx2012
( Mathematical analysis) 江西财经大学 统计学院 2012级 密码: sxfx2012 2017年3月21日星期二

2 §8.2 反常积分的收敛判别法 （4课时） 8.2.1 反常积分的Cauchy收敛原理(P370）
§8.2 反常积分的收敛判别法 （4课时） 反常积分的Cauchy收敛原理(P370） 非负函数反常积分收敛判别法P371） 一般函数反常积分收敛判别法P373） 无界函数反常积分收敛判别法P376） 2017年3月21日星期二

3 一非负函数无穷积分的收敛判别法 定理 (非负函数无穷积分的判别法) 设定义在 上的非负函数 f 在任何 收敛的充要条件是: 设 证
2017年3月21日星期二

4 非负函数 f , g 在任何有限区间[a, u]上可积, 且
从而 F (u) 是单调递增的 由单调递 增函数的收敛判别准则, 定理8.2.2 (比较判别法) 设定义在 上的两个 非负函数 f , g 在任何有限区间[a, u]上可积, 且 存在 满足 2017年3月21日星期二

5 第二个结论是第一个结论的逆否命题,因此也成立.
证 由非负函数无穷积分的判别法, 第二个结论是第一个结论的逆否命题,因此也成立. 2017年3月21日星期二

6 例1 判别 的收敛性. 解 显然 设 f (x), g(x) 是 上的非负连续函数. 证 例2 2017年3月21日星期二

7 推论1 设非负函数 f 和 g 在任何 [a,u] 上可积, 且
证 由于 推论1 设非负函数 f 和 g 在任何 [a,u] 上可积, 且 2017年3月21日星期二

8 证 即 2017年3月21日星期二

9 2017年3月21日星期二

10 推论2 设 f 是定义在 上的非负函数, 在任何 2017年3月21日星期二

11 说明: 推论3是推论2的极限形式，同学应不难写
推论3设 f 是定义在 上的非负函数,在任何有 限区间 [a, u] 上可积. 说明: 推论3是推论2的极限形式，同学应不难写 出它的证明. 2017年3月21日星期二

12 例3讨论 的收敛性 ( k > 0 ). 解 (i) 2017年3月21日星期二

13 2017年3月21日星期二

14 二、一般函数无穷积分的判别法 若无穷积分 以下定理可用来判别一般函数无穷积分的收敛性. 定理 (绝对收敛的无穷积分必收敛) 若 f 在任
何有限区间 [a, u]上可积, 2017年3月21日星期二

15 证 由柯西准则的必要性, 对 因 因此 再由柯西准则的充分性, 又对任意 2017年3月21日星期二

16 例4 的收敛性. 判别 解 由于 收敛的无穷积分 不一定是绝对收敛的. 2017年3月21日星期二

17 2017年3月21日星期二

18 定理 (积分第二中值定理) 设 f 在[a, b]上可积. 则存 (i) 若函数 g 在 [a, b] 上单调减,且 则存
(ii) 若函数 g 在 [a, b] 上单调增, 且 则存 2017年3月21日星期二

19 这里只证 (i), 类似可证 (ii). 证明分以下五步:
(1) 对任意分割 T： 2017年3月21日星期二

20 2017年3月21日星期二

21 2017年3月21日星期二

22 (4) 综合 (2), (3), 得到 2017年3月21日星期二

23 即 推论 2017年3月21日星期二

24 证 若 g 为单调递减函数， 则 h 非负、单调减, 由(i) 因此 2017年3月21日星期二

25 即得 2017年3月21日星期二

26 一般函数的无穷积分还可试用以下的狄利克雷判
别法和阿贝尔判别法判别其收敛性(A-D判别法) . 定理 (Dirichlet判别法） 证 故 2017年3月21日星期二

27 使得 2017年3月21日星期二

28 由 g 的单调性,用积分第二中值定理，对于任意的
因此, 由柯西准则， 定理 (Abel判别法) 证 [证法1] 由 g 的单调性,用积分第二中值定理，对于任意的 使得 2017年3月21日星期二

29 由柯西准则, [证法2] 2017年3月21日星期二

30 由狄利克雷判别法 收敛,所以 2017年3月21日星期二

31 2017年3月21日星期二

32 2017年3月21日星期二

33 例7 的收敛性. 解 由狄利克雷判别法推知 另一方面， 狄利克雷判别 法条件, 是收敛的； 2017年3月21日星期二

34 类似可证: 2017年3月21日星期二

35 复习思考题 反之呢? 2017年3月21日星期二

36 2017年3月21日星期二

37 定理 （瑕积分收敛的柯西准则） 证 柯西准则，此等价于 2017年3月21日星期二

38 性质1 性质2 2017年3月21日星期二

39 性质3 定理 (非负函数瑕积分的判别法) 2017年3月21日星期二

40 定理 (比较法则) 2017年3月21日星期二

41 推论1 2017年3月21日星期二

42 推论2 2017年3月21日星期二

43 推论3 可以判别一些非负函数瑕积分的收敛性. 2017年3月21日星期二

44 例1 由于 2017年3月21日星期二

45 例2 解 2017年3月21日星期二

46 例3 解 2017年3月21日星期二

47 2017年3月21日星期二

48 a I (a) 发散 收敛 定积分 J (a)  (a)
2017年3月21日星期二

49 2017年3月21日星期二

50 2017年3月21日星期二

51 2017年3月21日星期二

52 小结： 收敛时，能否导出 问题 当 答案 否！即便 f (x)非负也是“否”！ f (x)甚至可以无界！
则 收敛. (2) 存在； (1) f (x)在[a, +)上单调； (4) f (x)在[a, +)上有界. (3) f (x)U.C[a, +)； 2017年3月21日星期二

53 小结： 例1判断题 设 收敛, 且 f 非负, 则 f 有界. 例2 讨论 收敛, 绝对收敛与平方收敛间的关系.
例2 讨论 收敛, 绝对收敛与平方收敛间的关系. 结论 绝对收敛  收敛, 反之不然！ 收敛、绝对收敛与平方收敛都无联系！ 收敛, 绝对收敛与平方收敛间的关系. 例3 讨论 结论 平方收敛  绝对收敛  收敛, 反之不然！ 2017年3月21日星期二