南京师范大学数学与 计算机科学学院 葛 军 gejun1026@263.net 数学1（必修）教材分析 南京师范大学数学与 计算机科学学院 葛 军 gejun1026@263.net.

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1 南京师范大学数学与 计算机科学学院 葛 军 gejun1026@263.net
数学1（必修）教材分析 南京师范大学数学与 计算机科学学院 葛 军

2 第1章 集合 ◆ 集合的含义及其表示 ◆ 子集、全集、补集
数学·必修1 第1章 集合 ◆ 集合的含义及其表示 ◆ 子集、全集、补集 ◆ 交集、并集 第2章 函数的概念与基本初等函数 ◆ 函数的概念和图象 ◆ 指数函数 ◆对数函数 ◆ 幂函数 ◆函数与方程 ◆函数模型及其应用

3 第1章 集合 一、价值 　　数学家Ｂ.Demollins 说：没有数学，我们无法看透哲学的深度；没有哲学，人们也无法看透数学的深度；而若没有两者，人们就什么也看不透。 　　价值分两方面，一是理论的，一是应用的，而对于教育工作者来说，还有一个更重要的价值：教育价值和文化价值。 要准确认识数学知识的价值，首先要对其在数学中的地位、作用进行准确的定位。

4 1. 集合是现代数学的基础。 正如蒯因在《数学基础》一文中所说：好像全 部数学都可以用集论语汇来意译了。所以，数学真 理都可以化成集论真理，每个数学问题都可以变换 成集论问题。 事实正是如此。 数理逻辑、概率论中的应用是典型：数理逻辑 的术语都可以用集合语言表述：A或B：A∪B，既A 又B：A∩B，非┑A：，矛盾律：A∩(┑A)=Φ，排 中律：A+(┑A)=I；概率论中的重要结论可以用集 合语言说明：加法公式、乘法公式，古典概型、几 何概型等。 中学数学中的最重要的概念：函数，就是以集 合为基础的。

5 2．集合是人们认识客观世界的一种方式。 分“类”是人成长过程中的一个重要发展标识； 利用“类”是人们解决问题的重要方式（破案——交集） 由上可知，集合的理论价值如此之大，应用价值也是如此广泛。

6 3。集合具有丰富的教育价值 从知识层次看，集合是学习数学的基础（函数、概率、解几——曲线：点的集合，交点：点集体的交集等）；集合语言是进行数学表述的工具。 从思想方法看，集合的思想和方法是分析问题、解决问题重要思维方式。 从培养数学素养的角度看，集合部分是进行数学“形式化”训练的好素材。

7 二、本章结构

8 三、新教材对集合处理的编写意图 1.准确定位，突出核心思想 2.强调集合概念的形成过程； 3.留给学生足够的探索空间；
4.留给教师教学的创造空间； 5.将补、交、并作为运算处理。

9 1。准确定位，突出核心思想 从每章首的名人名言看核心思想 “集合”一章的引言 数学也是一种语言,从它的结构和内容来看,这是一种比任何国家的语言都要完善的语言.……通过数学,自然界在论述;通过数学,世界的创造者在表达;通过数学,世界的保护者在讲演. 狄尔曼

10 从章首语看教材的定位 老教材的引言

11 某新教材的引言

12

13 苏教版引言

14 由此：从每章问题看核心概念与核心思想 每节围绕章首问题展开与深化，同样也是围绕核心思想进行

15 2。强调集合概念的形成过程；

16 背景----问题----结论 3。留给学生足够的探索空间； 探索----发现----证明 ----数学探究的一般思维方法
思考（P8、P9）、阅读（P14）、拓展性习题（P10）

17 留白为教师的创造性教学活动的展开提供了空间
4。留给教师教学的创造空间； 留白为教师的创造性教学活动的展开提供了空间 教材是示范，不是必须遵循的模版

18 结构----表示----运算 结构----表示----度量 运算的扩展 5。将补、交、并作为运算处理。
数----式----函数----集合----向量----事件----矩阵

19 四、几点提示： 1。要让学生体验到集合是一种语言，具体简捷、准确的重点，在以后的学习中不断使用。 2。要充分显示必要性 子集 空集 交集

20 3。交集和并集的概念也可以同时给出，通过对照比较，便于学习；
4。对交集和并集的运算，可借助Venn图和数轴来理解。 5。P8“思考”中A B与B A可以同时成立，成立的条件是A =B。这两者同时成立是证明集合相等的方法，教学过程中，可以引导学生利用Venn图加以分析，使学生感受到这两者同时成立和集合相等的等价性。

21 6。P8--9教材通过“思考”例2中每一组的三个集合中，A、B两个集合中没有公共元素，且它们的元素合在一起，恰是集合S中的元素。这个思考为学生感受和理解补集、全集的概念奠定基础，也为从集合运算的角度理解补集埋下伏笔。 7。对集合语言的理解和运用要逐步到位，不能要求过高，反而增加学习难度，影响学习效果

22 8。要让学生充分感受集合的思想方法，用集合的思想分析和思考问题(从学生熟悉的问题开始)
方程组的解； 直线的交点； 生活中的问题

23 9。阅读的处理 介绍“希尔伯特宾馆”。 有限与无限的本质区别，也可以作为定义 两个思想： (1)两个集合元素个数一样，不一定要数：一一对应； (2)等势----无限集合如何定义“一样多”？

24 有理数的可数性 (1)如何说明整数集与正整数集合等势？ (2)一个集合，如果其元素能像整数那样排列成一个序列，就称这个集合是可数的。 如何说明正有理数集是可数的？

25 a,b是正整数，而且所有的正有理数都可以排成这样 的数阵：使 排在第a列第b行：
每一个正有理数都可以写成 的形式，其中 a,b是正整数，而且所有的正有理数都可以排成这样 的数阵：使 排在第a列第b行： • • • • • • • • • …… …… …… …… ……

26 10。要求的弹性，体现不同学生不同层次的要求
(1)必要的层次 (2)个性发展与个人兴趣的选择性层次

27 第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 函数是中学数学中的一个重要概念，函数是高中数学的基础．学生学习函数的知识分四个阶段：
第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 函数是中学数学中的一个重要概念，函数是高中数学的基础．学生学习函数的知识分四个阶段： •第一个阶段是在初中，学生已经接受了初步的函数知识，掌握了一些简单函数的表示法、性质、图象; •本章是第二个阶段（数学1）; •第三个阶段将学习三角函数（数学4）、数列（数学5）; •第四个阶段在选修课程中，如导数及其应用、概率（选修系列2）、参数方程（选修系列4）等都仍然要涉及函数知识的再认识，是对函数及其应用研究的深化和提高．

28 一、价值 最为人们常用，将会普及的数学方法是什么呢？ “大概是函数观念”，芝加哥大学的尤什斯金这样说。 确实如此：股票走势图、心电图、房地产广告、利息，人们的生活中充满了函数。

29 价值： 应用的广泛性。 理论上： 函数与对应； 函数与关系； 函数与变换； ………… 微积分等现代数学思想、方法，很多是以函数为基础的。

30 既然如此，客观世界、现实生活应该成为函数的背景（初中已有）；而对应、关系、变换等都是在两个集合之间进行的，用集合的观点认识函数将使函数从描述性的“依赖”抽形式化数学概念升华，美国数学史家伊夫斯认为，用集合论将函数概念一般化是数学史上的一个里程碑。 函数是“通过建立数学模型来刻画与研究世界”的典范，也是学习数学和研究数学的范例。它为以后的数学学习提供了范式。

31 函数又是中学数学的核心概念之一，将贯穿整个中学数学。
因此，函数教学在高中数学教学，函数学习对高中数学学习都具有奠基的地位。通过函数一章的学习，理解函数模型在刻画研究自然界变量间关系的作用。进而学会用变量的眼光、函数的观点去观察世界、分析问题和解决问题。

32 学生知识基础： (1)已有直观性、描述性的定义； (2)对函数表示方法已有了解； (3)对一次函数、二次函数、反比例函数等图像及简单性质也已了解。

33  义教学段是怎样认识函数的？ 数与式→方程与不等式→函数 变量→变量与变量→函数的概念 代数思想 日常生活中的函数
一次函数，反比例函数，二次函数 大量的函数用列表和图像来表示，而我们所讨论的大多是解析表示

34 二、本章内容与结构 ◆ 函数的概念和图象 ◆ 指数函数 ◆ 对数函数 ◆ 幂函数 ◆ 函数与方程 ◆ 函数模型及其应用

35 问题情景 函数 背景 应用 表示 概念 性质 指数函数 背景 应用 表示(解析式、图象) 性质 对数函数 背景 应用 表示(解析式、图象)

36 三、与原教材的比较 变化之一：原教材先映射，后函数，本教材先函数后映射；
变化之二：原教材将奇偶性放在三角函数部分学习，现放在本章中，但要求降低； 变化之三：幂函数再次回归； 变化之四：增加了用二分法求方程的近似解、数学模型的应用两部分。 变化之五：反函数的概念要求降低。在对数函数的概念出来后顺便指出：其与指数函数互为反函数（Ｐ６７）。

37 三、编写意图 1。突出知识的形成过程

38 老教材的章首语：

39 老教材的节首语：

40 本教材章首语

41 本教材节首语

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43 老教材定位： 如何用集合的观点理解函数？我们将进一步研究函数的性质。 本教材的定位： 用怎样的模型刻画两个变量之间的关系？这个模型具有怎样的特征？如何借助这一模型描述和解释我们周围的世界？

44 不同点： 第一，知识的形成过程：怎么想到用集合与对应的观点认识函数概念的？老教材提出了原概念不能解决的问题，形成了认知冲突，但被其自身的一句话给破解了。即使老师给学生留下再大的空间，学生也无法想到集合――映射的观点（数学史上这是一次伟大的突破）。本教材既形成了认知冲突（离散型），也给其发现集合――映射观点提供了丰富背景和探索空间。

45 第二，定位的目标不同，一个是认识模型，一个是建立模型。
第三，一个是以函数为起点，“有什么性质？”“怎样应用？”，一个现实――数学――现实（从章首语中提出的问题可以看出）。

46 总体来说，本教材： 把函数作为刻画现实世界中一类重要 变化规律的模型来学习，是一种通过 某一事物的变化信息可推知另一事物 信息的对应关系的数学模型 强调对函数本质的认识和理解，在高 中数学学习中多次接触、螺旋上升 关注背景、应用、整体性、思想性

47 2．本章的主背景统领全章，注重知识的生长点。
（课本P21§2.1(背景) → P26例5(函数的图像) → P30§2.1.2(函数的表示方法) → P34§2.1.3 (函数的单调性)→ P85例4(数据拟合)） 3。作为函数是“通过建立数学模型来刻画与研究世界”的典范，也是学习数学和研究数学的范例 背景----函数----应用 （章、节—指数函数）

48 章首语： 事物都是运动变化着的，我们可以感受到它们的变化。 早晨，太阳从东方冉冉升起； 气温随时间在悄悄地改变； 随着二氧化碳的大量排放，地球正在逐渐变暖； 中国的国内生产总值在逐年增长； …… 在这些变化的现象中，都存在着两个变量。当一个变量变化时，另一个变量随之发生变化。  怎样用数学模型刻画两个变量之间的关系？  这样的数学模型具有怎样的特征？  如何借助这样的模型来进一步描述和解释我们周围的世界？

49 节首： 在现实生活中，我们可能会遇到下列问题： (1)人口变化情况(表)； (2)自由落体运动中，物体下落距离y(m)与时间x(s)之间的关系(解析式)； (3)某市一天24小时的气温变化图(曲线-----图象)。 叙述： 在上述每个问题中都含有两个变量，当一个变量的取值确定后，另一个变量的值随之惟一确定。根据初中学过的知识，每一个问题都涉及一个确定的函数。这就是它们的共同特点。

50 节问题： ● 如何用集合语言来阐述上述三个问题的共同特点？

51 节的贯穿 开始给出三个背景例子（人口统计表，自由落体运动公式，温度曲线图）。通过对这三个例子的共同特征的分析，引出函数概念。进而利用这三个例子，研究函数的三种表示法，函数的性质。此后，给出函数的应用，指数函数、对数函数等。在学生获得函数的一般研究方法后，又回到开头所提出的问题中，建立模型解决问题，整个内容一气呵成。其主线是函数概念与性质，而入口是学生非常熟悉的情景。简单的情景蕴涵建立模型解决问题的一般思想方法，它们引出了函数的整个内容与研究方法。学生在这三个例子的反复学习中，不仅对函数概念与性质的理解不断加深，而且获得数学研究的一般方法：背景 数学 应用。

52 数学1中，注意以集合与对应为主线，使集合与函数概念联系；使学生获得对函数的整个清晰的认识。
章的贯穿 数学1中，注意以集合与对应为主线，使集合与函数概念联系；使学生获得对函数的整个清晰的认识。 情景 集合概念 函数概念 集合表示 函数表示 集合运算 函数性质 提出问题 特殊函数 (指数函数 对数函数) 指数运算、指数函数的性质 函数的应用 对数运算、对数函数的性质 指数函数的应用 对数函数的应用 数学建模 解决问题

53 全书的贯穿 Δx与Δy同号：增函数 Δx与Δy异号：减函数 函数的单调性 直线的斜率 函数的导数 反映直线倾斜程度 Δx0时 的极限

54 通过伏笔进行贯穿 P26例6及其“思考”：函数的单调性 P29第4题：国内生产总值 P29探究拓展题11：随机函数

55 函数性质研究的递进过程 对称性、顶点等 较为系统认识整体性质 用函数刻画周期性现象 数列：离散函数的数学模型 导数：函数性质的微观研究
必修4 必修5 初中阶段 对称性、顶点等 必修1 较为系统认识整体性质 用函数刻画周期性现象 数列：离散函数的数学模型 导数：函数性质的微观研究 选修1-2 2-2

56 4。问题链展开学习过程 章首问题----节首问题，不断提出新问题 对每一节课，都应该以问题链的方式展开

57 1．情境：第2.1.1开头的第三个问题； 例：函数的单调性 一、问题情境
2．问题：说出气温在哪些时间段内是升高的？怎样用数学语言刻画“随着时间的增大气温逐步升高”这一特征？

58

59 问题1：观察下列函数的图象（如图1），指出图象变化的趋势
二、学生活动 问题1：观察下列函数的图象（如图1），指出图象变化的趋势 ． （1） y x O y＝2x＋1， x∈R （2） y＝(x－1)2－1， -1 1 2 y＝ ，x∈(0,+∞) （3）

60 问题2：你能明确说出“图象呈逐渐上升趋势”的意思吗？
当x的值增大时，函数值y也增大图象在该区间内呈上升趋势 在某一区间内当x的值增大时，函数值y反而减小图象在该区间内呈下降趋势 函数的这种性质称为函数的单调性．

61 问题2：你能明确说出“图象呈逐渐上升趋势”的意思吗？
当x的值增大时，函数值y也增大图象在该区间内呈上升趋势 在某一区间内当x的值增大时，函数值y反而减小图象在该区间内呈下降趋势 函数的这种性质称为函数的单调性．

62 三、建构数学 问题3：如何用数学语言来准确地表述函数的单调性呢？ --怎样表述在区间（0，+）上当x的值增大时，函数y的值也增大？ --能不能说，由于x＝1时，y＝3；x＝2时，y＝5就说随着x的增大，函数值y也随着增大? 通过讨论，结合图（2）给出f(x)在区间I上是单调增函数的定义

63 四、数学理论 问题4：如何定义单调减函数？ 给出函数单调性和单调区间的概念 以上过程体现的就是教师的创造空间 教学设计的能力

64 5。媒体作为探索、发现（数学研究）的工具 对数运算的性质； 指数、对数函数的性质； 数据拟合； 指数运算的推广。

65 四、几点说明 1。导言中3个例子的作用 解析式：唤醒对初中函数知识的回忆 表格：引起认知冲突，突出对应关系 图象：进一步从直观上感受对应关系
函数的表示方法

66 2。P26 函数图象的定义 （1）遵循了“适度形式化”的课程理念 （2）直观感受函数本质（横坐标与纵坐标） 3.分段函数的功能 (1) 深化对函数概念的认识(注意：以圆为图像能否构成函数？是分段函数吗？)

67 (2) 对后续学习有价值(如函数的连续性、可微性等)
(3) 分段的相对性：绝对值函数(解析式是否分段只是形式) 4。定义域的问题 （1）解不等式的后移 （2）复合函数的定义域 （3）应用问题的定义域

68 5。函数的奇偶性 自然----图象----操作感----数学 （1）必要性； （2）感受美

69 6。P45 n次方根的定义与P46 两个规定 n次方根----新概念 定义 分数指数幂、负指数幂----用已有的数学对象表示新的数学对象 规定 “规定”的教学

70 7。P47阅读 引进指数的需要； 感受极限思想。 8。对数的引入 说明引入对数符号的必要性 对数简单性质的发现

71 9。对数运算的性质（P59） 节首问题与表格的关系与教学处理 10。对数函数的教学 反函数的处理

72 11。函数与方程 (1)突出“零点思想”，体现数形结合 ； (2)P78例2：零点思想的拓展及化归思想的运用，教学过程中要注意对两者关系的全面分析(为什么不直接构造函数找零点？----新函数的图像 ？如何估计解的区间？) (3)注意两小节的层次性

73  如何理解函数与方程的关系？ 几何： 代数：ax + b = 0 相当于 函数y = ax + b当x = ?时y = 0?
ax2 + bx + c = 0 相当于 函数y = ax2 + bx + c当x = ?时y = 0? f(x) = 0 相当于 函数y = f(x)当x = ?时y = 0? 几何： x y O y = f(x)

74  为什么要讲二分法？  定性→定量  整体→局部  估算→技术  技法→算法 铺垫、渗透，动手、实践，探究、拓展

75  如何理解函数与不等式的关系？ 代数： y = ax + b > 0，y = ax2 + bx + c > 0
几何：通过数形结合解决不等式问题 线性规划问题 目标函数 z = ax + by + c 约束条件 a1x + b1y≤c1， a2x + b2y≥c2， x，y≥0。

76 12。用Excel进行数据拟合 人口数据 P86例5

77 13。 如何研究函数？ 两条线索： 一是抽象的数学研究，主要研究对象是符号y = f (x)（如定义域、值域、图象、单调性等）。
二是具体的实例研究，主要研究对象是y = ax，y = logax，y = xa，以及初中学的y = kx + b，y = ，y = ax2 + bx + c等函数。教师应清楚这两条线索交替并行的关系，同时要对初中所学内容进行回顾与提升。 x k

78 如何用代数语言刻画这些变化？  研究这些函数的变化 x由小到大的变化引起函数值的变化 如何用几何语言（图形）来描述函数的变化
研究函数图像的“形状”变化  研究这些函数的性质 单调性、周期性、对称性

79 设计思想与总体要求： 将集合与函数的学习过程作为渗透数学研究的一般方法的范例 背 景 数学对象(概念) 表 示 性质、运算法则等 应 用

80 14。本章涉及的思想方法  一般科学方法 观察、实验、比较、分析、综合、归纳、类比、抽象等  常用数学思想方法 函数与方程、数形结合、符号化与形式化、分类讨论、化归等思想方法。

81 15。函数由来 函数（function）一词，是德国数学家莱布尼兹（1646年~1716年）1692年首先采用的。在我国，函数一词是清代数学家李善兰（1811年~1882年）最初使用的，他在1859年与英国学者伟烈亚力（1815年~1887年）合译的《代微积拾级》一书中，将“function”译作“函数”。

82 16 为什么要讲背景？ 是学生获得对数学、对数学价值认识的需要；是数学学习的需要，使学生了解概念、结论等产生的背景，产生学习数学的冲动和欲望，即是学习情感上的需要。

83 17。为什么要讲应用？ 20世纪下半叶以来，数学应用的巨大发展是数学发展的显著特征之一。数学正在从幕后走向台前，在许多方面直接为社会创造价值。 在很长一段时间内，我们对于数学与实际、数学与其他学科的联系未能给予充分的重视，使得学生对数学的兴趣日趋减少，认为数学就是做题，学数学没用，也就是升学有用。 实践表明，开展数学应用的教学活动符合社会需要，有利于激发学生学习数学的兴趣，有利于增强学生的应用意识，有利于扩展学生的视野。

84  如何讲应用？  应用意识的两个侧面  关于数学应用与数学建模 实际情景 提出问题 数学模型 可用结果 检 验 数学结果 合乎实际
修改 不合实际

85 18. 为什么要讲联系？ 是数学学科特点的需要，是数学学习的需要，是新课程模块结构的需要。 横向联系： 函数与方程 函数与不等式
横向联系： 函数与方程 函数与不等式 函数与数列 函数与算法 函数与微积分 纵向联系：整个高中数学中多次涉及，反复 体会，螺旋上升学习函数。

86  如何讲联系？ 数学内部的联系： ——内容上的联系（包括横向联系和纵向 联系） ——方法上的联系 数学外部的联系： ——与其它学科的联系
——内容上的联系（包括横向联系和纵向 联系） ——方法上的联系 数学外部的联系： ——与其它学科的联系 ——与现实社会、日常生活的联系

87 请多提宝贵意见! 谢谢!