能带理论 - 2 （Band Theory）.

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1 能带理论 - 2 （Band Theory）

2 简约波矢 之前的讨论建立在以近自由电子近似为零级近似的微扰理论之上。这时，零级能量作为波矢 k 的函数，具有抛物线的形式。而最终的状态也可以用波矢来标记。这一点只有在以近自由电子近似作为零级近似才是可行的。 与之对应的是，简约波矢 作为平移算符本征值的标记则总可以用来标记状态。波矢和简约波矢之间有联系有区别：简约波矢在FBZ中取值，而自由电子的波矢取值没有限制；在近自由电子作为零级近似的情形下，简约波矢和波矢之间相差一个倒格矢。

3 简约波矢和自由电子波矢的这种差别表明，简
约波矢不能唯一确定一个状态。 唯一确定一个状态除了需要指定简约波矢外， 还需要指定它和自由电子波矢之间相差的倒格矢。 这个倒格矢确定该状态所属的能带。

4 Fig 4.4 能带示意图。

5 能带理论的基本结果

6 三维周期场中电子

7 周期性边界条件

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9 Fig 4.5 (1) 零级能量简并条件；(2) 简单立方格子的情况

10 这意味着在该平面上需采用简并微扰理论。三维
情况下，简并的状态可以是两个，也可以多于两个。

11 三维晶格的能带需要借助于 BZ 的概念来理解。如果在 k 空间中，把原点和所有倒格子倒格矢之间连线的中垂面都画出来，就可以把 k 空间分割成许多区域，每个区域内能量作为 k 的函数是连续的；在区域的边界处，该函数发生突变。这些区域称为布里渊区 (Brillouin Zone, BZ).

12 Fig 4.6 简单立方格子 BZ 的二维示意图

13 BZ 中能量是连续的; 属于一个 BZ 的能级构成一个能带,不同的 BZ 对应于不同的能带; 所有 BZ 的体积相等, 都等于倒格子原胞的体积;记入自旋,每个BZ 有 2N 个电子态。

14 Fig 4.7 三维晶格能带的交叠

15 与一维情况相同的是，简约波矢和平面波波矢既有联系又有区别。简约波矢取值限制在简约 BZ中，简约 BZ 就是 FBZ。对于 FBZ 以外的平面波波矢则总可以通过改变某一倒格矢而移入 FBZ。每一个简约波矢对应于能量高低不同的一系列量子态，分属于不同的能带。因而利用简约波矢标记量子态时必须标明所属能带。

16 例4.1 简单立方格子的 FBZ。 例4.2 体心立方格子的 FBZ。

17 例4.3 面心立方格子的 FBZ。

18 Fig 4.8 体心、面心立方格子 BZ 示意图

19 例4.4 面心立方格子的能带。

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21 另一方面，许多金属材料的实验结果和近自由电子近似的计算结果符合较好。

22 据此人们引入赝势（pseudo potential）来简化能带计算。在固体中，人们最关心的是价电子。原子结合成固体的过程中，价电子的运动状态发生了较大的变化，而内层电子的变化则比较小。在离子势内部，以假想的势能取代真实地势能，求解波动方程时，若不改变其能量本征值及离子实之间的区域的波函数，则称这个假想的势为赝势。实际采用的赝势总是要使离子实内部的电子波函数尽可能的平坦。利用赝势计算的波函数称为赝势波函数。

23 赝势包含离子势和价电子的作用，是有效势，
可以有多种形式。人们利用赝势方法对很多金属材 料作了能带计算，计算结果和近自由电子近似模型 相近。目前，赝势方法也被用来研究半导体的价带 和导带。

24 The End